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多个自变量的情形

1.2 多个自变量的情形

这里我们仅对含有 $n(\geqslant 2)$ 个自变量的二阶线性方程进行讨论，它的一般形式可写为

$$
\sum_{i, j=1}^n a_{i j} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}+\sum_{i=1}^n b_i \frac{\partial u}{\partial x_i}+c u=f
$$

其中 $a_{i j}, b_i, c$ 和 $f$ 为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的已知函数，且在 $R ^n$ 中的某区域 $\Omega$ 内连续可微，并有 $a_{i j}=a_{j i}$ ．

设 $S$ 是 $R ^n$ 空间中的一个曲面，它的表达式为

$$
G\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=0
$$

若在其上给定初始数据

$$
\left\{\begin{array}{l}
\left.u\right|_{G=0}=\varphi_0\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \\
\left.\frac{\partial u}{\partial x_1}\right|_{G=0}=\varphi_1\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \\
\cdots \ldots \ldots \cdots \\
\left.\frac{\partial u}{\partial x_n}\right|_{G=0}=\varphi_n\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)
\end{array}\right.
$$

就得到定解问题（1．17）－（1．19）．现在问题的提法是：若在曲面 $S$ 上给定函数 $u$ 及其一阶偏导数的值（1．19），能否利用这些值和方程（1．17）来唯一确定函数 $u$ 的各二阶偏导数在 $S$ 上的值？

为此，我们先讨论曲面 $S$ 为超平面的情形，不妨设它的表达式为

$$
S: \quad x_n=x_n^0
$$

这时定解条件为
$$
\left\{\begin{array}{l}
\left.u\right|_{x_n=x_n^0}=\varphi_0\left(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}, x_n^0\right) \\
\left.\frac{\partial u}{\partial x_1}\right|_{x_n=x_n^0}=\varphi_1\left(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}, x_n^0\right), \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
\left.\frac{\partial u}{\partial x_n}\right|_{x_n=x_n^0}=\varphi_n\left(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}, x_n^0\right)
\end{array}\right.
$$

易知，定解条件必须满足如下相容性条件：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial \varphi_0}{\partial x_i}=\varphi_i, \quad i=1,2, \cdots, n-1 \\
\frac{\partial \varphi_j}{\partial x_i}=\frac{\partial \varphi_i}{\partial x_j}, \quad i, j=1,2, \cdots, n-1
\end{array}\right.
$$

由此可见，定解条件（1．21）中的初始数据 $\varphi_1, \varphi_2, \cdots, \varphi_{n-1}$ 完全由初始数据 $\varphi_0$ 决定，因此定解问题的提法为
$$
\left\{\begin{array}{l}
\sum_{i, j=1}^n a_{i j} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}+\sum_{i=1}^n b_i \frac{\partial u}{\partial x_i}+c u=f, \\
\left.u\right|_{x_n=x_n^0}=\bar{\varphi}_0\left(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}\right), \\
\left.\frac{\partial u}{\partial x_n}\right|_{x_n=x_n^0}=\bar{\varphi}_1\left(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}\right) .
\end{array}\right.
$$

不难看出，利用（1．22）式中的定解条件可求出除 $\frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}$ 外的所有二阶偏导数在曲面 $S$ 上的值．

关于 $\frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}$ 在曲面 $S$ 上的值，只有依靠（1．22）式中的方程来求得。改写该方程为

$$
a_{n n} \frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}=f-2 \sum_{i=1}^{n-1} a_{i n} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_n}-\sum_{i, j=1}^{n-1} a_{i j} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}-\sum_{i=1}^n b_i \frac{\partial u}{\partial x_i}-c u .
$$

于是在曲面 $S$ 上有

$$
a_{n n} \frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}=f-2 \sum_{i=1}^{n-1} a_{i n} \frac{\partial \bar{\varphi}_1}{\partial x_i}-\sum_{i, j=1}^{n-1} a_{i j} \frac{\partial^2 \bar{\varphi}_0}{\partial x_i \partial x_j}-\sum_{i=1}^{n-1} b_i \frac{\partial \bar{\varphi}_0}{\partial x_i}-b_n \bar{\varphi}_1-c \bar{\varphi}_0 .
$$

从上式不难看出，确定 $\frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}$ 的值的关键就在于其系数 $a_{n n}$ 在 $S$ 上是否为零．

若在曲面 $S$ 上 $a_{n n} \neq 0$ ，则定解问题（1．22）可在 $S$ 上唯一确定 $u$ 的各二阶偏导数的值．若在 $S$ 上有 $a_{n n}=0$ ，则一般来说，定解问题（1．22）无解；若要有解，则定解条件中的 $\bar{\varphi}_0$ 和 $\bar{\varphi}_1$ 必须满足如下相容性条件：

$$
2 \sum_{i=1}^{n-1} a_{i n} \frac{\partial \bar{\varphi}_1}{\partial x_i}+\sum_{i, j=1}^{n-1} a_{i j} \frac{\partial^2 \bar{\varphi}_0}{\partial x_i \partial x_j}+\sum_{i=1}^{n-1} b_i \frac{\partial \bar{\varphi}_0}{\partial x_i}+b_n \bar{\varphi}_1+c \bar{\varphi}_0=f .
$$

现在我们来讨论一般的曲面 $S$ ，即考虑定解问题（1．17）－（1．19）．设 $P\left(x_1^0, x_2^0, \cdots, x_n^0\right)$是曲面 $S$ 上的任意一点，且在点 $P$ 有 $\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial G}{\partial x_i}\right)^2 \neq 0$ ．不妨假定

$$
\frac{\partial G}{\partial x_n}\left(x_1^0, x_2^0, \cdots, x_n^0\right) \neq 0 .
$$

作拉直变换

$$
\left\{\begin{array}{l}
\xi_1=x_1 \\
\xi_2=x_2 \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
\xi_{n-1}=x_{n-1} \\
\xi_n=G\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)
\end{array}\right.
$$

于是

$$
\left\{\begin{aligned}
\frac{\partial u}{\partial \xi_i} & =\frac{\partial u}{\partial x_i}-\frac{\partial G}{\partial x_i}\left(\frac{\partial G}{\partial x_n}\right)^{-1} \frac{\partial u}{\partial x_n}, \quad i=1,2, \cdots, n-1 \\
\frac{\partial u}{\partial \xi_n} & =\left(\frac{\partial G}{\partial x_n}\right)^{-1} \frac{\partial u}{\partial x_n}
\end{aligned}\right.
$$

且方程（1．17）在可逆变换（1．25）下仍变为一个二阶线性方程（为什么？）

$$
\sum_{i, j=1}^n A_{i j} \frac{\partial^2 u}{\partial \xi_i \partial \xi_j}+\sum_{i=1}^n B_i \frac{\partial u}{\partial \xi_i}+c u=F
$$

改写上式为

$$
A_{n n} \frac{\partial^2 u}{\partial \xi_n^2}=F-2 \sum_{i=1}^{n-1} A_{i n} \frac{\partial^2 u}{\partial \xi_i \partial \xi_n}-\sum_{i, j=1}^{n-1} A_{i j} \frac{\partial^2 u}{\partial \xi_i \partial \xi_j}-\sum_{i=1}^n B_i \frac{\partial u}{\partial \xi_i}-c u
$$

其中

$$
A_{n n}=\sum_{i, j=1}^n a_{i j} \frac{\partial G}{\partial x_i} \frac{\partial G}{\partial x_j}, \quad A_{i n}=\sum_{j=1}^n a_{i j} \frac{\partial G}{\partial x_j}
$$

此外，容易看出：曲面 $S: G\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=0$ 在可逆自变量变换（1．25）下变为超平面 $S^{\prime}: \xi_n=0$ ，且由（1．26）式我们可求出 $u$ 及其一阶偏导数 $\frac{\partial u}{\partial \xi_i}(i=$ $1,2, \cdots, n)$ 在 $\xi_n=0$ 上的值．记

$$
\left\{\begin{array}{l}
\left.u\right|_{\xi_n=0}=\widetilde{\varphi}_0\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-1}\right), \\
\left.\frac{\partial u}{\partial \xi_n}\right|_{\xi_n=0}=\widetilde{\varphi}_1\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-1}\right),
\end{array}\right.
$$

于是我们得到 Cauchy 问题（1．28），（1．29）．由前面已讨论的情形知，在曲面 $\xi_n=$ 0 上利用定解条件（1．29）可求出除 $\frac{\partial^2 u}{\partial \xi_n^2}$ 以外的一切二阶偏导数的值．为了求出 $\frac{\partial^2 u}{\partial \xi_n^2}$ 在 $S^{\prime}: \xi_n=0$ 上的值，我们要求在 $S^{\prime}: \xi_n=0$ 上

$$
A_{n n}=\sum_{i, j=1}^n a_{i j} \frac{\partial G}{\partial x_i} \frac{\partial G}{\partial x_j} \neq 0 .
$$

这时，我们称曲面 $S$ 为方程（1．17）的非特征曲面．否则，即
$$
\sum_{i, j=1}^n a_{i j} \frac{\partial G}{\partial x_i} \frac{\partial G}{\partial x_j}=0,
$$

这时，我们称曲面 $S$ 为方程（1．17）的特征曲面．不难看出，沿着特征曲面 $S$ ，不能唯一确定 $u$ 关于 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的各二阶偏导数的值．

若记曲面 $S$ 的法线方向余弦为

$$
\cos \beta_i=\frac{\frac{\partial G}{\partial x_i}}{ \pm \sqrt{\left(\frac{\partial G}{\partial x_1}\right)^2+\left(\frac{\partial G}{\partial x_2}\right)^2+\cdots+\left(\frac{\partial G}{\partial x_n}\right)^2}}=\alpha_i, \quad i=1,2, \cdots, n,
$$

对方程（1．30）乘

$$
\begin{gathered}
\frac{1}{\left( \pm \sqrt{\left(\frac{\partial G}{\partial x_1}\right)^2+\left(\frac{\partial G}{\partial x_2}\right)^2+\cdots+\left(\frac{\partial G}{\partial x_n}\right)^2}\right)^2}, \text { 得到 } \\
\sum_{i, j=1}^n a_{i j} \alpha_i \alpha_j=0 .
\end{gathered}
$$

我们称方程（1．30）或（1．31）为偏微分方程（1．17）的特征方程；称方程（1．31）在点 $P\left(x_1^0, x_2^0, \cdots, x_n^0\right)$ 处的解 $l=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ 为偏微分方程（1．17）在点 $P$ 的

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