最后更新: 2025-04-30 06:26 查看: 41 次纠错评论(0) 课件开VIP

多个自变量的情形举例

特征方向；如果曲面 $S: G=0$ 上每一点的法向均为特征方向，则称 $S: G=0$ 为偏微分方程（1．17）的特征曲面．

例 2.4 求 $n$ 维热传导方程

$$
u_t-a^2\left(u_{x_1 x_1}+u_{x_2 x_2}+\cdots+u_{x_n x_n}\right)=0
$$

的特征曲面．
解法一 设 $G\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, t\right)=0$ 是方程（1．32）的特征曲面，则

$$
-a^2\left(G_{x_1}^2+G_{x_2}^2+\cdots+G_{x_n}^2\right)=0
$$

由此导出 $G_{x_i}=0, i=1,2, \cdots, n$ ．
于是函数 $G\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, t\right)$ 仅与 $t$ 有关，特别地，取 $G\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, t\right)=$ $t-t_0, t_0$ 为任意常数，我们就得到方程（1．32）的特征曲面是 $t=t_0$ 的一个超平面．

解法二 方程（1．32）的特征方程可写为

$$
\alpha_1^2+\alpha_2^2+\cdots+\alpha_n^2=0
$$

由于 $\alpha_i$ 是其特征方向 $l$ 与 $O x_i$ 轴夹角的余弦，因此应有

$$
\alpha_0^2+\alpha_1^2+\alpha_2^2+\cdots+\alpha_n^2=1
$$

其中 $\alpha_0$ 是特征方向 $l$ 与 $O t$ 轴夹角的余弦，从而得出

$$
\alpha_0^2=1 \text { 即 } \cos \beta_0= \pm 1 \text {. }
$$

所以特征方向与 $t$ 轴的夹角为 0 或 $\pi$ ，这样方程（1．32）的特征曲面就是 $t=c(c$ 为常数）的一个超平面．

例 2.5 求 $n$ 维波动方程

$$
u_{t t}-a^2\left(u_{x_1 x_1}+u_{x_2 x_2}+\cdots+u_{x_n x_n}\right)=0
$$

的特征曲面．
解 设 $G\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, t\right)=0$ 是方程（1．33）的特征曲面，则

$$
G_t^2-a^2\left(G_{x_1}^2+G_{x_2}^2+\cdots+G_{x_n}^2\right)=0
$$

这是一个一阶的完全非线性偏微分方程，不难求出它的一个隐式解为

$$
G\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, t\right)=\left(x_1-x_1^0\right)^2+\left(x_2-x_2^0\right)^2+\cdots+\left(x_n-x_n^0\right)^2-a^2\left(t-t_0\right)^2=0,
$$

其中 $\left(x_1^0, x_2^0, \cdots, x_n^0, t_0\right)$ 是区域 $R ^n \times R _{+}$中的任意给定点．因此，所求特征曲面为

$$
\left(x_1-x_1^0\right)^2+\left(x_2-x_2^0\right)^2+\cdots+\left(x_n-x_n^0\right)^2=a^2\left(t-t_0\right)^2, \quad 0 \leqslant t \leqslant t_0,
$$

它是区域 $R ^n \times R _{+}$中以 $\left(x_1^0, x_2^0, \cdots, x_n^0, t_0\right)$ 为顶点的一个锥面．
例 2.6 求 $n$ 维 Laplace 方程

$$
u_{x_1 x_1}+u_{x_2 x_2}+\cdots+u_{x_n x_n}=0
$$

的特征曲面．
解法一 设 $G\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=0$ 是方程（1．35）的特征曲面，则

$$
G_{x_1}^2+G_{x_2}^2+\cdots+G_{x_n}^2=0,
$$

由此导出 $G_{x_i}=0, i=1,2, \cdots, n$ ．
这表明方程（1．35）不存在正规特征曲面．
解法二 方程（1．35）的特征方程可写为

$$
\alpha_1^2+\alpha_2^2+\cdots+\alpha_n^2=0 .
$$

这表明方程（1．35）没有特征方向，因此不存在正规特征曲面．

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