最后更新: 2025-04-30 06:26 查看: 16 次反馈同步训练

多个自变量的情形举例

特征方向；如果曲面 $S: G=0$ 上每一点的法向均为特征方向，则称 $S: G=0$ 为偏微分方程（1．17）的特征曲面．

例 2.4 求 $n$ 维热传导方程

$$
u_t-a^2\left(u_{x_1 x_1}+u_{x_2 x_2}+\cdots+u_{x_n x_n}\right)=0
$$

的特征曲面．
解法一 设 $G\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, t\right)=0$ 是方程（1．32）的特征曲面，则

$$
-a^2\left(G_{x_1}^2+G_{x_2}^2+\cdots+G_{x_n}^2\right)=0
$$

由此导出 $G_{x_i}=0, i=1,2, \cdots, n$ ．
于是函数 $G\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, t\right)$ 仅与 $t$ 有关，特别地，取 $G\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, t\right)=$ $t-t_0, t_0$ 为任意常数，我们就得到方程（1．32）的特征曲面是 $t=t_0$ 的一个超平面．

解法二 方程（1．32）的特征方程可写为

$$
\alpha_1^2+\alpha_2^2+\cdots+\alpha_n^2=0
$$

由于 $\alpha_i$ 是其特征方向 $l$ 与 $O x_i$ 轴夹角的余弦，因此应有

$$
\alpha_0^2+\alpha_1^2+\alpha_2^2+\cdots+\alpha_n^2=1
$$

其中 $\alpha_0$ 是特征方向 $l$ 与 $O t$ 轴夹角的余弦，从而得出

$$
\alpha_0^2=1 \text { 即 } \cos \beta_0= \pm 1 \text {. }
$$

所以特征方向与 $t$ 轴的夹角为 0 或 $\pi$ ，这样方程（1．32）的特征曲面就是 $t=c(c$ 为常数）的一个超平面．

例 2.5 求 $n$ 维波动方程

$$
u_{t t}-a^2\left(u_{x_1 x_1}+u_{x_2 x_2}+\cdots+u_{x_n x_n}\right)=0
$$

的特征曲面．
解 设 $G\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, t\right)=0$ 是方程（1．33）的特征曲面，则

$$
G_t^2-a^2\left(G_{x_1}^2+G_{x_2}^2+\cdots+G_{x_n}^2\right)=0

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