最后更新: 2025-04-30 06:30 查看: 16 次反馈同步训练

第一标准型与第二标准型

§2 二阶方程的分类
2.1 两个自变量的情形

一般的含有两个自变量的线性偏微分方程可写成如下形式：

$$
a u_{x x}+2 b u_{x y}+c u_{y y}+d u_x+e u_y+g u=f,
$$

其中 $a, b, c, d, e, g$ 和 $f$ 都是 $x, y$ 的已知函数，且在 $O-x y$ 平面上的某区域 $\Omega$ 内具有二阶连续偏导数．假设在 $\Omega$ 内的每一点处，$a, b, c$ 都不同时为零．

在对方程（2．1）进行分类之前，我们先回顾平面二次曲线

$$
a x^2+2 b x y+c y^2+d x+e y+f=0
$$

的分类，这将对方程（2．1）的分类有很重要的启示作用．
我们知道二次曲线是依据判别式 $\Delta=b^2-a c$ 的符号来进行分类的，即当 $\Delta>0$ 时，我们称二次曲线（2．2）为双曲线；当 $\Delta=0$ 时，称为抛物线；当 $\Delta<0$ 时，称为椭圆线．之所以能以此作为分类依据，是因为判别式 $\Delta$ 的符号在可逆线性变换下具有不变性．事实上，任意选取一个可逆的线性变换

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\alpha_1 \xi+\beta_1 \eta, \\
y=\alpha_2 \xi+\beta_2 \eta,
\end{array}\right.
$$

其中 $J=\left|\begin{array}{ll}\alpha_1 & \beta_1 \\ \alpha_2 & \beta_2\end{array}\right| \neq 0$ ，则二次曲线的方程 $(2.2)$ 变为如下形式：

$$
A \xi^2+2 B \xi \eta+C \eta^2+D \xi+E \eta+F=0
$$

通过直接计算，可得到方程（2．2）的判别式 $\Delta=b^2-a c$ 与方程（2．4）的判别式 $\Delta^{\prime}=B^2-A C$ 之间有如下关系：

$$
\Delta^{\prime}=J^2 \Delta
$$

（2．5）式表明，在任意选取的可逆线性变换（2．3）下，二次曲线判别式的符号保持不变。

仿照平面二次曲线的分类，我们首先试图对方程（2．1）作可逆自变量变换

$$
\left\{\begin{array}{l}
\xi=\varphi(x, y), \\
\eta=\psi(x, y),
\end{array}\right.
$$

记 Jacobi 行列式

$$
J_1=\left|\begin{array}{ll}
\varphi_x & \varphi_y \\
\psi_x & \psi_y
\end{array}\right|
$$

则 $J_1 \neq 0$ ．在可逆自变量变换（2．6）下，方程（2．1）变为如下形式：

$$
A \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2}+2 B \frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta}+C \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}+D \frac{\partial u}{\partial \xi}+E \frac{\partial u}{\partial \eta}+G u=F
$$

其中

$$
\begin{gathered}
A(\xi, \eta)=a \varphi_x^2+2 b \varphi_x \varphi_y+c \varphi_y^2 \\
B(\xi, \eta)=a \varphi_x \psi_x+b\left(\varphi_x \psi_y+\varphi_y \psi_x\right)+c \varphi_y \psi_y, \\
C(\xi, \eta)=a \psi_x^2+2 b \psi_x \psi_y+c \psi_y^2
\end{gathered}
$$

设 $\Delta=b^2-a c$ 为方程（2．1）的判别式，$\Delta^{\prime}=B^2-A C$ 为方程（2．8）的判别式．经简单计算易知

$$
\Delta^{\prime}=J_1^2 \Delta,
$$

这表明在可逆自变量变换下，方程判别式的符号保持不变．
注 2.1 在可逆自变量变换（2．6）下，二阶线性偏微分方程（2．1）仍化为二阶线性偏微分方程（2．8）．事实上，由

$$
\left|\begin{array}{ccc}
\varphi_x^2 & 2 \varphi_x \varphi_y & \varphi_y^2 \\
\varphi_x \psi_x & \varphi_x \psi_y+\varphi_y \psi_x & \varphi_y \psi_y \\
\psi_x^2 & 2 \psi_x \psi_y & \psi_y^2
\end{array}\right|=J_1^3 \neq 0
$$

知 $A(\xi, \eta), B(\xi, \eta), C(\xi, \eta)$ 不同时为零．
利用判别式的符号在可逆自变量变换下的不变性，我们来对方程（2．1）进行分类．

定义 2.1 设 $\Omega \subset R ^2$ 是一个区域，$\left(x_0, y_0\right) \in \Omega$ ．
（i）若 $\Delta\left(x_0, y_0\right)>0$ ，则称方程（2．1）在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处为双曲型偏微分方程；若在 $\Omega$ 内的每一点处，方程（2．1）都是双曲型的，则称方程（2．1）在 $\Omega$ 内为双曲型偏微分方程；
（ii）若 $\Delta\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则称方程（2．1）在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处为抛物型偏微分方程；若在 $\Omega$ 内的每一点处，方程（2．1）都是抛物型的，则称方程（2．1）在 $\Omega$ 内为抛物型偏微分方程；
（iii）若 $\Delta\left(x_0, y_0\right)<0$ ，则称方程（2．1）在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处为椭圆型偏微分方程；若在 $\Omega$ 内的每一点处，方程（2．1）都是椭圆型的，则称方程（2．1）在 $\Omega$ 内为椭圆型偏微分方程．

注 2.2 根据连续性，由 $\Delta$ 在一点大于零或小于零可推得 $\Delta$ 在该点的某邻域中也是如此．所以方程为双曲型或椭圆型的性质总是在一个区域中成立的，即若方程 $(2.1)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 是双曲型或椭圆型的，则它必在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的某邻域内是双曲型或椭圆型的．但是，$\Delta$ 在一点等于零并不能告诉我们它在这一点的邻域中的符号．因此，我们又有：

定义 2.2 若方程（2．1）在区域 $\Omega$ 的一个子区域上为双曲型的，在 $\Omega$ 的另一个子区域上为椭圆型的，则称方程（2．1）在区域 $\Omega$ 中为混合型方程；若方程（2．1）在区域 $\Omega$ 的一个子区域上为双曲型的，在 $\Omega$ 的其余点（不一定构成子区域）上为抛物型的，则称方程（2．1）在区域 $\Omega$ 中为退化双曲型方程；若方程（2．1）在区域 $\Omega$ 的一个子区域上为椭圆型的，在 $\Omega$ 的其余点（不一定构成子区域）上为抛物型的，则称方程（2．1）在区域 $\Omega$ 中为退化椭圆型方程．

由（2．12）式我们知道，在可逆自变量变换（2．6）下，方程的类型保持不变，即可逆自变量变换（2．6）将双曲型偏微分方程（抛物型偏微分方程，椭圆型偏微分方程）仍变为双曲型偏微分方程（抛物型偏微分方程，椭圆型偏微分方程）．因此，为了求解方程（2．1），我们常常需要找一个可逆的自变量变换，将方程（2．1）化成简单形式，即标准形。

下面我们分别给出双曲型，抛物型和椭圆型偏微分方程的标准形．为了简便，我们不

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