最后更新: 2025-04-30 06:32 查看: 0 次反馈刷题

二阶方程分类举例

下面我们通过几个例题来介绍如何对方程进行分类并化为标准形．
例 2.7 判断方程

$$
4 u_{x x}+5 u_{x y}+u_{y y}+u_x+u_y+2=0
$$

的类型并将它化成标准形．
解 因为判别式 $\Delta=b^2-a c=\frac{9}{4}>0$ ，故方程为双曲型的，它的特征方程为

$$
\frac{d y}{d x}=1, \quad \frac{d y}{d x}=\frac{1}{4},
$$

求得特征线为

$$
y-x=c_1, \quad y-\frac{x}{4}=c_2,
$$

其中 $c_1, c_2$ 为任意常数．作变换

$$
\left\{\begin{array}{c}
\xi=y-x, \\
\eta=y-\frac{x}{4},
\end{array}\right.
$$

可将方程化成双曲型第一标准形

$$
u_{\xi \eta}-\frac{1}{3} u_\eta-\frac{8}{9}=0 .
$$

若再作变换

$$
\left\{\begin{array}{l}
s=\xi-\eta, \\
t=\xi+\eta,
\end{array}\right.
$$

则方程就可化成双曲型第二标准形

$$
u_{s s}-u_{t t}-\frac{1}{3} u_s+\frac{1}{3} u_t+\frac{8}{9}=0 .
$$

例 2.8 判断方程

$$
u_{x x}+u_{x y}+u_{y y}+u_x=0
$$

的类型并将它化成标准形。
解 由于判别式 $\Delta=b^2-a c=-\frac{3}{4}<0$ ，故方程为椭圆型的，这时由特征方程给出两簇复特征线

$$
y-\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right) x=c_1, \quad y-\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right) x=c_2 .
$$
作自变量变换

$$
\left\{\begin{array}{l}
\xi=y-\frac{1}{2} x, \\
\eta=\frac{\sqrt{3}}{2} x,
\end{array}\right.
$$

于是方程就可化成标准形

$$
u_{\xi \xi}+u_{\eta \eta}-\frac{2}{3} u_{\xi}+\frac{2}{\sqrt{3}} u_\eta=0 .
$$

以上关于方程的分类及将方程化成标准形的问题，虽然我们只对二阶线性常系数方程做了比较详细的讨论，但对变系数方程（2．1）同样是成立的．这里要特别指出的是，对变系数方程来说，它的类型与点的位置有关，即可能在区域的某一部分点上为这种类型而在另一部分点上为另一种类型。

例 2.9 判断 Tricomi（特里科米）方程

$$
u_{y y}-y u_{x x}=0
$$

的类型并将它化成标准形．

解 方程的判别式为 $\Delta=y$ ．因此当 $y>0$ 时，方程是双曲型的；当 $y<0$ 时，方程是椭圆型的；当 $y=0$ 时，方程是抛物型的．下面我们将 Tricomi 方程（2．22）化成标准形。

情形 I：当 $y>0$ 时，方程（2．22）的特征方程为

$$
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{\sqrt{y}}, \quad \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{\sqrt{y}},
$$

所以在上半平面 $y>0$ 内，两簇特征线为

$$
3 x+2 y^{\frac{3}{2}}=c_1, \quad 3 x-2 y^{\frac{3}{2}}=c_2
$$

其中 $c_1, c_2$ 为任意常数，这时利用变换

$$
\left\{\begin{array}{l}
\xi=3 x-2 y^{\frac{3}{2}} \\
\eta=3 x+2 y^{\frac{3}{2}}
\end{array}\right.
$$

就可将方程（2．22）化成双曲型第一标准形

$$
u_{\xi \eta}-\frac{1}{6} \frac{u_{\xi}-u_\eta}{\xi-\eta}=0
$$

情形 II：当 $y<0$ 时，作变换

$$
\left\{\begin{array}{l}
\xi=x \\
\eta=\frac{2}{3}(-y)^{\frac{3}{2}}
\end{array}\right.
$$

就可将方程（2．22）化成标准形

$$
u_{\xi \xi}+u_{\eta \eta}+\frac{1}{3 \eta} u_\eta=0
$$

情形 III：当 $y=0$ 时，方程的标准形为 $u_{y y}=0$ ．
例 2.10 判断方程

$$
x^2 u_{x x}+2 x y u_{x y}+y^2 u_{y y}+x u_x+3 y u_y=0
$$

的类型并将它化成标准形。
解 由于判别式 $\Delta=b^2-a c=x^2 y^2-x^2 y^2=0$ ，所以方程处处都为抛物型的．这时特征方程为

$$
\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}
$$

可以看出特征线为一簇直线

$$
\frac{y}{x}=c
$$

因此作变换

$$
\left\{\begin{array}{l}
\xi=\frac{y}{x}, \\
\eta=y,
\end{array}\right.
$$

就可将原方程化成标准形

$$
\eta^2 u_{\eta \eta}+2 \xi u_{\xi}+3 \eta u_\eta=0,
$$

在 $y \neq 0$ 即 $\eta \neq 0$ 时，我们有

$$
u_{\eta \eta}=-\frac{2 \xi}{\eta^2} u_{\xi}-\frac{3}{\eta} u_\eta .
$$

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