最后更新: 2025-04-30 06:34 查看: 10 次反馈同步训练

多个自变量的情形与特征二次型

2.2 多个自变量的情形

我们仅考虑主部具有常系数的多个自变量的二阶线性偏微分方程：

$$
\sum_{i, j=1}^n a_{i j} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}+\sum_{i=1}^n b_i\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \frac{\partial u}{\partial x_i}+c\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) u=f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right),
$$

其中 $a_{i j}=a_{j i}$ 为常数．现在将利用特征概念对方程（2．23）进行分类．我们知道方程（2．23）的特征方程可写为

$$
\sum_{i, j=1}^n a_{i j} \alpha_i \alpha_j=0
$$

记

$$
D =\sum_{i, j=1}^n a_{i j} \alpha_i \alpha_j,
$$

我们称它为方程（2．23）的特征二次型．
根据线性代数的知识，可通过一个非奇异线性变换

$$
\left(\begin{array}{c}
\alpha_1 \\
\alpha_2 \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{array}\right)= B \left(\begin{array}{c}
\beta_1 \\
\beta_2 \\
\vdots \\
\beta_n
\end{array}\right)
$$

将特征二次型 $(2.24)$ 化成标准形

$$
D =\sum_{i=1}^n \lambda_i \beta_i^2
$$

其中系数 $\lambda_i$ 取值 $0,-1$ 或 1 ，即存在可逆矩阵 $B$ ，使得 $B ^{ T } A B = \Lambda$ ，其中 $\Lambda =$ $\operatorname{diag}\left(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\right)$ ，且
$$
A =\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right), \quad B =\left(\begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
b_{n 1} & b_{n 2} & \cdots & b_{n n}
\end{array}\right)
$$

作自变量变换

$$
\left(\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right)= B ^{T}\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)
$$

或

$$
\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)=\left( B ^{T}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right)
$$

则（2．23）式可化成（见附录 II）

$$
\sum_{i=1}^n \lambda_i \frac{\partial^2 u}{\partial y_i^2}+\sum_{i=1}^n B_i\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right) \frac{\partial u}{\partial y_i}+C\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right) u=F\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)
$$

我们称方程（2．28）为方程（2．23）的标准形．
定义 2.3 若方程 $(2.28)$ 中的 $n$ 个系数 $\lambda_i(i=1,2, \cdots, n)$ 全是 1 或全是 -1 ，则称方程 $(2.23)$ 为椭圆型偏微分方程；若 $\lambda_i$ 中有一个为 $1, n-1$ 个为 -1 ，或者一个为 $-1, n-1$ 个为 1 ，则称方程（2．23）为双曲型偏微分方程；若 $\lambda_i$ 全不为零，但取 1 或 -1 的个数都超过 1 ，这时我们称方程（2．23）为超双曲型偏微分方程；若 $\lambda_i$ 中有一个为零，其余全为 1 或全为 -1 ，则称方程 $(2.23)$ 为抛物型偏微分方程。

按照以上所给的分类标准，考虑我们在第一章中导出的几个经典方程，它们的类型应是：波动方程属于双曲型，热传导方程属于抛物型，Laplace 方程属于椭圆型。

注 2.4 上面列出的分类只包含了一部分情

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