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多个自变量的情形与特征二次型

2.2 多个自变量的情形

我们仅考虑主部具有常系数的多个自变量的二阶线性偏微分方程：

$$
\sum_{i, j=1}^n a_{i j} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}+\sum_{i=1}^n b_i\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \frac{\partial u}{\partial x_i}+c\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) u=f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right),
$$

其中 $a_{i j}=a_{j i}$ 为常数．现在将利用特征概念对方程（2．23）进行分类．我们知道方程（2．23）的特征方程可写为

$$
\sum_{i, j=1}^n a_{i j} \alpha_i \alpha_j=0
$$

记

$$
D =\sum_{i, j=1}^n a_{i j} \alpha_i \alpha_j,
$$

我们称它为方程（2．23）的特征二次型．
根据线性代数的知识，可通过一个非奇异线性变换

$$
\left(\begin{array}{c}
\alpha_1 \\
\alpha_2 \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{array}\right)= B \left(\begin{array}{c}
\beta_1 \\
\beta_2 \\
\vdots \\
\beta_n
\end{array}\right)
$$

将特征二次型 $(2.24)$ 化成标准形

$$
D =\sum_{i=1}^n \lambda_i \beta_i^2
$$

其中系数 $\lambda_i$ 取值 $0,-1$ 或 1 ，即存在可逆矩阵 $B$ ，使得 $B ^{ T } A B = \Lambda$ ，其中 $\Lambda =$ $\operatorname{diag}\left(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\right)$ ，且
$$
A =\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right), \quad B =\left(\begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
b_{n 1} & b_{n 2} & \cdots & b_{n n}
\end{array}\right)
$$

作自变量变换

$$
\left(\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right)= B ^{T}\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)
$$

或

$$
\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)=\left( B ^{T}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right)
$$

则（2．23）式可化成（见附录 II）

$$
\sum_{i=1}^n \lambda_i \frac{\partial^2 u}{\partial y_i^2}+\sum_{i=1}^n B_i\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right) \frac{\partial u}{\partial y_i}+C\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right) u=F\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)
$$

我们称方程（2．28）为方程（2．23）的标准形．
定义 2.3 若方程 $(2.28)$ 中的 $n$ 个系数 $\lambda_i(i=1,2, \cdots, n)$ 全是 1 或全是 -1 ，则称方程 $(2.23)$ 为椭圆型偏微分方程；若 $\lambda_i$ 中有一个为 $1, n-1$ 个为 -1 ，或者一个为 $-1, n-1$ 个为 1 ，则称方程（2．23）为双曲型偏微分方程；若 $\lambda_i$ 全不为零，但取 1 或 -1 的个数都超过 1 ，这时我们称方程（2．23）为超双曲型偏微分方程；若 $\lambda_i$ 中有一个为零，其余全为 1 或全为 -1 ，则称方程 $(2.23)$ 为抛物型偏微分方程。

按照以上所给的分类标准，考虑我们在第一章中导出的几个经典方程，它们的类型应是：波动方程属于双曲型，热传导方程属于抛物型，Laplace 方程属于椭圆型。

注 2.4 上面列出的分类只包含了一部分情形，还有许多情形未包含在内．若考虑到在一个区域中主部的系数是自变量的函数的情形的话，则方程的分类问题是相当复杂的．

注 2.5 对主部系数是自变量的函数的情形，即使在一个区域中方程类型不变，一般也不一定能通过可逆的自变量变换将含多个自变量的二阶方程化成标准形，仅在一些特殊情形下（如常系数的方程等）可以将方程的主部化成高维波动方程或高维 Laplace 方程的情形．

例 2.11 将方程

$$
u_{x x}-4 u_{x y}+2 u_{x z}+4 u_{y y}+u_{z z}+2 u_x+u_y-3 u=0
$$

化成标准形。
解 此方程所对应的特征二次型为

$$
D =\alpha_1^2-4 \alpha_1 \alpha_2+2 \alpha_1 \alpha_3+4 \alpha_2^2+\alpha_3^2
$$

现在我们将这个二次型化成标准形．因为

$$
\begin{aligned}
& \alpha_1^2-4 \alpha_1 \alpha_2+2 \alpha_1 \alpha_3+4 \alpha_2^2+\alpha_3^2 \\
= & \left(\alpha_1-2 \alpha_2+\alpha_3\right)^2+4 \alpha_2 \alpha_3 \\
= & \left(\alpha_1-2 \alpha_2+\alpha_3\right)^2+\left(\alpha_2+\alpha_3\right)^2-\left(\alpha_2-\alpha_3\right)^2,
\end{aligned}
$$

若令

$$
\left\{\begin{array}{l}
\beta_1=\alpha_1-2 \alpha_2+\alpha_3 \\
\beta_2=\alpha_2+\alpha_3 \\
\beta_3=\alpha_2-\alpha_3
\end{array}\right.
$$

即作线性变换

$$
\left\{\begin{array}{l}
\alpha_1=\beta_1+\frac{1}{2} \beta_2+\frac{3}{2} \beta_3, \\
\alpha_2=\frac{1}{2}\left(\beta_2+\beta_3\right), \\
\alpha_3=\frac{1}{2}\left(\beta_2-\beta_3\right),
\end{array}\right.
$$

就可将上述二次型化成如下的标准形：

$$
D =\beta_1^2+\beta_2^2-\beta_3^2,
$$

因此所给方程是一个双曲型偏微分方程．进一步，由于此线性变换的系数矩阵为
$$
B =\left(\begin{array}{ccc}
1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\
0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array}\right),
$$

故所作自变量变换为

$$
\left(\begin{array}{l}
\xi \\
\eta \\
\zeta
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\
0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array}\right)^{T}\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)
$$

即

$$
\left\{\begin{aligned}
\xi & =x \\
\eta & =\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} y+\frac{1}{2} z \\
\zeta & =\frac{3}{2} x+\frac{1}{2} y-\frac{1}{2} z
\end{aligned}\right.
$$

它可将所给的偏微分方程化成标准形：

$$
u_{\xi \xi}+u_{\eta \eta}-u_{\zeta \zeta}+2 u_{\xi}+\frac{3}{2} u_\eta+\frac{7}{2} u_\zeta-3 u=0 .
$$

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