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热传导方程定解问题的求解

§1 热传导方程定解问题的求解

齐次热传导方程的 Cauchy 问题可以用相似变换法求解；半直线上的混合问题，同波动方程类似，根据热的反射原理，可以用延拓的方法求解；有界区间上的混合问题，可以用在第三章介绍的分离变量法求解．而非齐次方程的定解问题，则同样可用齐次化原理由相应的齐次方程的定解问题得到．
1.1 齐次方程的 Cauchy 问题

一维热传导方程的 Cauchy 问题是

$$
u_t-a^2 u_{x x}=0, \quad x \in R , \quad t>0,
$$

具有初值条件

$$
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x), \quad x \in R .
$$

它的求解我们一般采用 Fourier 变换方法；但由于其篇幅较大，我们将放在第八章中介绍。

在这一节中，我们将应用相似变换法求解 Cauchy 问题（1．1），（1．2）．为此，我们首先给出热传导方程（1．1）的解的如下性质．证明留给读者完成．

性质 6.1 设 $u(x, t)$ 是方程（1．1）的解，则对任意的 $y \in R , u(x-y, t)$ 也是方程（1．1）的解．

性质 6.2 设 $u(x, t)$ 是方程（1．1）的解，则它的各阶偏导数（比如 $u_x, u_t, u_{x t}$ ， $u_{x x}$ 等）也是方程（1．1）的解。

性质 6.3 设 $S(x, t)$ 是方程（1．1）的解，则对任意连续函数 $g(y)$ ，

$$
v(x, t)=\int_{-\infty}^{\infty} S(x-y, t) g(y) d y
$$

也是方程（1．1）的解．
性质 6.4 设 $u(x, t)$ 是方程（1．1）的解，则对任意的 $\lambda>0, u\left(\lambda x, \lambda^2 t\right)$ 也是方程（1．1）的解．

由性质 6.4 ，易知方程（1．1）存在具有如下形式的自相似解：

$$
Q(x, t)=q(\xi), \quad \xi=\frac{x}{\sqrt{t}}
$$

经过简单的计算可知 $q(\xi)$ 满足常微分方程

$$
q^{\prime \prime}+\frac{1}{2 a^2} \xi q^{\prime}=0
$$

方程（1．4）的通解可通过两次积分求出：

$$
q(\xi)=c_1 \int_0^{\xi} e^{-\frac{1}{4 a^2} \eta^2} d \eta+c_2
$$

其中 $c_1, c_2$ 是两个积分常数．
因此

$$
Q(x, t)=c_1 \int_0^{\frac{x}{\sqrt{t}}} e^{-\frac{1}{4 a^2} \eta^2} d \eta+c_2
$$

由性质6．2知

$$
S(x, t)=\frac{\partial}{\partial x} Q(x, t)=\frac{c_1}{\sqrt{t}} e^{-\frac{x^2}{4 a^2 t}}
$$

是方程（1．1）的解，从而由性质6．3 知对连续函数 $\varphi(y)$ ，

$$
v(x, t)=\int_{-\infty}^{\infty} S(x-y, t) \varphi(y) d y=\frac{c_1}{\sqrt{t}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x-y)^2}{4 a^2 t}} \varphi(y) d y
$$

也是方程（1．1）的解．为了求出 Cauchy 问题（1．1），（1．2）的解，我们利用初值条件（1．2）确定（1．7）式中的常数 $c_1$ ．

事实上，作变换 $y=x+2 a \sqrt{t} \eta$ ，则（1．7）式可改写为

$$
v(x, t)=2 a c_1 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\eta^2} \varphi(x+2 a \sqrt{t} \eta) d \eta .
$$

在（1．8）式中令 $t \rightarrow 0^{+}$，得

$$
\varphi(x)=v(x, 0)=2 a c_1 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\eta^2} \varphi(x) d \eta=2 \sqrt{\pi} a c_1 \varphi(x)
$$

因此，要使（1．7）式满足初值条件（1．2），必须取

$$
c_1=\frac{1}{2 \sqrt{\pi} a}
$$

将（1．10）式代人到（1．7）式，我们得到 Cauchy 问题（1．1），（1．2）的解为

$$
u(x, t)=\frac{1}{2 a \sqrt{\pi t}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x-y)^2}{4 a^2 t}} \varphi(y) d y
$$

我们通常称（1．11）式为 Cauchy 问题（1．1），（1．2）的 Poisson 公式，若记

$$
G(x, t)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{2 a \sqrt{\pi t}} e^{-\frac{x^2}{4 a^2 t}}, \quad t>0 \\
0, \quad t<0
\end{array}\right.
$$

那么（1．11）式可改写成

$$
u(x, t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y, t) \varphi(y

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