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非齐次方程的 Cauchy 问题

1.2 非齐次方程的 Cauchy 问题

我们考虑非齐次热传导方程的 Cauchy 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_t-a^2 u_{x x}=f(x, t), \quad x \in R , \quad t>0, \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x), \quad x \in R .
\end{array}\right.
$$

由线性方程的叠加原理，问题（1．20）可分解为如下两个问题来求解：

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_t-a^2 u_{x x}=0, \quad x \in R , \quad t>0, \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x), \quad x \in R
\end{array}\right.
$$

及

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_t-a^2 u_{x x}=f(x, t), \quad x \in R , \quad t>0, \\
\left.u\right|_{t=0}=0, \quad x \in R .
\end{array}\right.
$$

即若 $u_1(x, t), u_2(x, t)$ 分别是 Cauchy 问题（1．21），（1．22）的解，则 $u(x, t)=$ $u_1(x, t)+u_2(x, t)$ 是 Cauchy 问题（1．20）的解．

Cauchy 问题（1．21）的求解我们已经讨论过．下面我们用第四章 $\S 1$ 关于求解非齐次波动方程的 Duhamel 原理的方法来求解 Cauchy 问题（1．22）．

引理 6.2 （齐次化原理）若函数 $w(x, t ; \tau)$ 是 Cauchy 问题

$$
\begin{cases}w_t-a^2 w_{x x}=0, & x \in R , \quad t>\tau, \\ \left.w\right|_{t=\tau}=f(x, \tau), & x \in R \end{cases}
$$

的解，则函数

$$
u(x, t)=\int_0^t w(x, t ; \tau) d \tau
$$

是 Cauchy 问题（1．22）的解．
证 由（1．24）式，有

$$
\begin{aligned}
u_t(x, t) & =\left.w(x, t ; \tau)\right|_{\tau=t}+\int_0^t w_t(x, t ; \tau) d \tau \\
& =f(x, t)+\int_0^t w_t(x, t ; \tau) d \tau,
\end{aligned}
$$

且

$$
u_{x x}(x, t)=\int_0^t w_{x x}(x, t ; \tau) d \tau,
$$

于是

$$
u_t-a^2 u_{x x}=f(x, t)+\int_0^t\left(w_t(x, t ; \tau)-a^2 w_{x x}(x, t ; \tau)\right) d \tau .
$$

由假设 $w(x, t ; \tau)$ 是问题（1．23）的解知

$$
u_t-a^2 u_{x x}=f(x, t) .
$$

另一方面，由（1．24）式易知 $u(x, 0)=0$ ．这就给出了引理的证明．

为了应用 Poisson 公式（1．13）来求解 Cauchy 问题（1．23），令 $t^{\prime}=t-\tau$ ，得 Cauchy 问题：

$$
\begin{cases}w_{t^{\prime}}-a^2 w_{x x}=0, & x \in R , \quad t^{\prime}>0 \\ \left.w\right|_{t^{\prime}=0}=f(x, \tau), & x \in R \end{cases}
$$

易知问题（1．25）的解为

$$
\bar{w}\left(x, t^{\prime} ; \tau\right)=\int_{-\infty}^{\infty} G\left(x-y, t^{\prime}\right) f(y, \tau) d y
$$

从而问题（1．23）的解为

$$
w(x, t ; \tau)=\bar{w}(x, t-\tau ; \tau)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y, t-\tau) f(y, \tau) d y
$$

由引理 6.2 及（1．13）式，我们能得到 Cauchy 问题（1．20）的解：

$$
u(x, t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y, t) \varphi(y) d y+\int_0^t \int_{-\infty}^{\infty} G(x-y, t-\tau) f(y, \tau) d y d \tau
$$

若对自由项 $f(x, t)$ 及初值 $\varphi(x)$ 给出适当的条件，用类似于定理 6.1 的证明方法，我们可以证明由公式（1．27）确定的函数 $u(x, t)$ 确实是 Cauchy 问题（1．20）的解。

定理 6.2 若 $\varphi(x) \in C( R ), f(x, t) \in C(( R ) \times(0, \infty))$ ，且均有界，则由 Pois－ son 公式（1．27）确定的函数 $u(x, t)$ 是 Cauchy 问题（1．20）的解．

证明留给读者完成．

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