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半直线上的热传导方程的混合问题

1.3 半直线上的热传导方程的混合问题

考虑侧表面绝热的均匀细杆，当细杆的一端固定，并已知初始温度与细杆在固定端点的温度，则杆上的温度分布 $u(x, t)$ 满足混合问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_t-a^2 u_{x x}=f(x, t), \quad 0<x<\infty, \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x), \quad 0 \leqslant x<\infty \\
\left.u\right|_{x=0}=\mu(t), \quad t \geqslant 0
\end{array}\right.
$$

为了更清楚地讨论热的反射问题，我们仅考虑 $f(x, t) \equiv 0, \mu(t) \equiv 0$ 的情形，即考虑混合问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_t-a^2 u_{x x}=0, \quad 0<x<\infty, \quad t>0, \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x), \quad 0 \leqslant x<\infty, \\
\left.u\right|_{x=0}=0, \quad t \geqslant 0 .
\end{array}\right.
$$

与第五章波的反射的讨论相类似，我们先考虑 Cauchy 问题

$$
\begin{cases}u_t-a^2 u_{x x}=0, & x \in R , \quad t>0, \\ \left.u\right|_{t=0}=\Phi(x), & x \in R .\end{cases}
$$

由 Poisson 公式（1．11）可写出问题（1．30）的解的表达式：

$$
u(x, t)=\frac{1}{2 a \sqrt{\pi t}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x-y)^2}{4 a^2 t}} \Phi(y) d y
$$

显然，有如下结论：
（i）在 $x \in R , t>0$ 上，（1．31）式处处满足问题（1．30）中的方程．特别地，在 $x>$ $0, t>0$ 上，（1．31）式也满足方程，这表明（1．31）式满足问题（1．29）中的方程．
（ii）（1．31）式满足问题（1．30）中的初值条件．若希望将（1．31）式限制在 $x \geqslant 0$ ， $t>0$ 上后成为问题（1．29）的解，必须要求当 $x \geqslant 0$ 时，$\Phi(x)=\varphi(x)$ ．
（iii）若希望（1．31）式限制在 $x \geqslant 0, t>0$ 上后成为问题（1．29）的解，还必须要求

$$
\left.u(x, t)\right|_{x=0}=\frac{1}{2 a \sqrt{\pi t}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{y^2}{4 a^2 t}} \Phi(y) d y=0
$$

我们知道，使（1．32）式成立的一个最简单的充分条件是取 $\Phi(x)$ 为奇函数．
基于以上分析，得到求解混合问题（1．29）的步骤如下：
第一步：构造辅助 Cauchy 问题（1．30），其中在问题（1．30）中 $\Phi(x)$ 满足

$$
\Phi(x)=\left\{\begin{array}{l}
\varphi(x), \quad x \geqslant 0 \\
-\varphi(-x), \quad x<0
\end{array}\right.
$$

则由 Poisson 公式（1．11）知（1．31）式为问题（1．30）的解。由以上分析知，若将表达式（1．31）限制在 $x \geqslant 0, t>0$ 上，则它必为混合问题（1．29）的解．

第二步：将表达式（1．31）改写成 $\varphi$ 的解析表达式：

$$
\begin{aligned}
u(x, t) & =\frac{1}{2 a \sqrt{\pi t}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x-y)^2}{4 a^2 t}} \Phi(y) d y \\
& =\frac{1}{2 a \sqrt{\pi t}}\left\{-\int_{-\infty}^0 e^{-\frac{(x-y)^2}{4 a^2 t}} \varphi(-y) d y+\int_0^{\infty} e^{-\frac{(x-y)^2}{4 a^2 t}} \varphi(y) d y\right\} \\
& =\frac{1}{2 a \sqrt{\pi t}} \int_0^{\infty}\left(e^{-\frac{(x-y)^2}{4 a^2 t}}-e^{-\frac{(x+y)^2}{4 a^2 t}}\right) \varphi(y) d y,
\end{aligned}
$$

即

$$
u(x, t)=\frac{1}{2 a \sqrt{\pi t}} \int_0^{\infty}\left(e^{-\frac{(x-y)^2}{4 a^2 t}}-e^{-\frac{(x+y)^2}{4 a^2 t}}\right) \varphi(y) d y
$$

用类似的方法，我们可以考虑第二边值问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_t-a^2 u_{x x}=0, \quad 0<x<\infty, \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x), \quad 0 \leqslant x<\infty \\
\left.u_x\right|_{x=0}=0, \quad t \geqslant 0
\end{array}\right.
$$

其解为

$$
u(x, t)=\frac{1}{2 a \sqrt{\pi t}} \int_0^{\infty}\left(e^{-\frac{(x-y)^2}{4 a^2 t}}+e^{-\frac{(x+y)^2}{a^2 t^2}}\right) \varphi(y) d y .
$$

注 6.5 对于问题（1．28），令 $v(x, t)=u(x, t)-\mu(t)$ ，则问题（1．28）化为

$$
\left\{\begin{array}{l}
v_t-a^2 v_{x x}=f(x, t)-\mu^{\prime}(t), \quad 0<x<\infty, \quad t>0, \\
\left.v\right|_{t=0}=\varphi(x)-\mu(0), \quad 0 \leqslant x<\infty \\
\left.v\right|_{x=0}=0, \quad t \geqslant 0 .
\end{array}\right.
$$

由叠加原理，问题（1．37）可分解为如下两个问题来求解：
（II）$\left\{\begin{array}{l}v_t-a^2 v_{x x}=f(x, t)-\mu^{\prime}(t), \quad 0<x<\infty, \quad t>0, \\ \left.v\right|_{t=0}=0, \quad 0 \leqslant x<\infty, \\ \left.v\right|_{x=0}=0, \quad t \geqslant 0 .\end{array}\right.$

问题（I）的求解在前面已经讨论过．问题（II）的求解可借用问题（1．29）的求解及齐次化原理获得。

注 6.6 如果我们令 $v(x, t)=u(x, t)-\mu(t) x$ ，那么我们也可以讨论第二边值问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_t-a^2 u_{x x}=f(x, t), \quad 0<x<\infty, \quad t>0, \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x), \quad 0 \leqslant x<\infty, \\
\left.u_x\right|_{x=0}=\mu(t), \quad t \geqslant 0 .
\end{array}\right.
$$

例 6.2 求解混合问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_t-a^2 u_{x x}=0, \quad 0<x<\infty, \quad t>0, \\
\left.u\right|_{t=0}=x^3, \quad 0 \leqslant x<\infty, \\
\left.u\right|_{x=0}=0, \quad t \geqslant 0
\end{array}\right.
$$

解 由于函数 $u(x, 0)=x^3$ 为奇函数，考虑 Cauchy 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_t-a^2 u_{x x}=0, \quad x \in R , \quad t>0, \\
\left.u\right|_{t=0}=x^3, \quad x \in R ,
\end{array}\right.
$$

由热传导方程 Cauchy 问题的 Poisson 公式（1．11）得 Cauchy 问题（1．40）的解为

$$
\begin{aligned}
u(x, t) & =\frac{1}{2 a \sqrt{\pi t}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x-y)^2}{4 a^2 t}} y^3 d y \\
& =\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\xi^2}(2 a \sqrt{t} \xi+x)^3 d \xi \\
& =\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\xi^2}\left(8 a^3 t^{\frac{3}{2}} \xi^3+12 a^2 t \xi^2 x+6 a \sqrt{t} \xi x^2+x^3\right) d \xi \\
& =\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\xi^2}\left(12 a^2 t \xi^2 x+x^3\right) d \xi \\
& =6 a^2 x t+x^3
\end{aligned}
$$

从而混合问题（1．39）的解为 $u(x, t)=6 a^2 x t+x^3, x \geqslant 0, t>0$ ．

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