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调和函数

§1 调 和 函 数

为了研究调和函数，我们先用散度定理推导出一个重要的积分公式，称之为 Green 公式，利用它能证明基本积分公式，从而将调和函数在一区域内的值表示成它在该区域边界上的曲面积分，由此得出调和函数的许多重要性质，如平均值定理，强极值原理等。

1．1 Green 公式
设函数 $u\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 和 $v\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 在 $n$ 维空间 $R ^n$ 中的区域 $\Omega$ 内有连续的二阶偏导数，在 $\bar{\Omega}=\Omega+\Gamma$（ $\Gamma$ 为 $\Omega$ 的边界）上连续且有连续的一阶偏导数。在散度定理（见附录 I）中令

$$
P_i=u \frac{\partial v}{\partial x_i}, \quad i=1,2, \cdots, n
$$

就得到

$$
\iint \cdots \int_{\Omega} \sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i}\left(u \frac{\partial v}{\partial x_i}\right) d x_1 d x_2 \cdots d x_n=\iint \cdots \int_{\Gamma} u \sum_{i=1}^n \frac{\partial v}{\partial x_i} \cos \left(\nu, x_i\right) d S(x)
$$

其中 $\nu$ 表示区域 $\Omega$ 的单位外法向量．为了便于区别空间的维数，正如第一章所指出的那样，今后我们将用 $\Delta_n$ 表示 $n$ 维空间 $R ^n$ 中的 Laplace 算子，即 $\Delta_n=\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+$ $\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}+\cdots+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}$ ．今后为了书写简洁，我们将分别用 $\int_{\Omega}$ 和 $\int_{\Gamma}$ 表示 $\iint \cdots \int_{\Omega}$ 和 $\iint \cdots \int_{\Gamma}$ ．

这样一来，（1．1）式可改写成为

$$
\int_{\Omega} u \Delta_n v d x+\int_{\Omega} \sum_{i=1}^n u_{x_i} v_{x_i} d x=\int_{\Gamma} u \frac{\partial v}{\partial \nu} d S(x)
$$

其中 $\frac{\partial}{\partial \nu}$ 表示沿曲面 $\Gamma$ 的外法向导数， $d S(x)$ 表示曲面 $\Gamma$ 上的面积单元．
若将（1．2）式中的 $u$ 和 $v$ 互相对换，又得

$$
\int_{\Omega} v \Delta_n u d x+\int_{\Omega} \sum_{i=1}^n v_{x_i} u_{x_i} d x=\int_{\Gamma} v \frac{\partial u}{\partial \nu} d S(x) ...(1.3)
$$

我们把（1．2）式与（1．3）式都称作第一 Green 公式．

若将（1．2）式与（1．3）式相减，则得

$$
\int_{\Omega}\left(u \Delta_n v-v \Delta_n u\right) d x=\int_{\Gamma}\left(u \frac{\partial v}{\partial \nu}-v \frac{\partial u}{\partial \nu}\right) d S(x), ...(1.4)
$$

我们把（1．4）式称为第二 Green 公式．
1.2 调和函数与基本解

定义 7.1 对于函数 $u\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ，若它在 $n$ 维空间 $R ^n$ 中的有界区域 $\Omega$ 内有直到二阶的连续偏导数，且在 $\Omega$ 内满足 Laplace 方程

$$
\Delta_n u=u_{x_1 x_1}+u_{x_2 x_2}+\cdots+u_{x_n x_n}=0,
$$

若 $\Omega$ 是无界区域，则除上面的要求外，还应要求当点 $x=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 趋于无穷远时，函数 $u$ 一致趋于零．即对于任意小的正数 $\varepsilon$ ，存在正数 $A$ ，使得当点 $P(x)$ 与坐标原点的距离 $r>A$ 时，总有

$$
|u(x)|<\varepsilon .
$$

按照这个定义，有时我们把 Laplace 方程（1．5）也称作调和方程．由于 Laplace 方程是线性齐次的，因此，线性齐次方程的叠加原理表明：调和函数的线性组合仍是调和函数．

下面我们给出调和方程的基本解．改写 $n(n \geqslant 3)$ 维空间的调和方程为球坐标形式，对任意给定的点 $x^0=\left(x_1^0, x_2^0, \cdots, x_n^0\right)$ ，设球坐标变换为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1-x_1^0=r \cos \theta_1, \\
x_2-x_2^0=r \sin \theta_1 \cos \theta_2 \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
x_{n-1}-x_{n-1}^0=r \sin \theta_1 \cdots \sin \theta_{n-2} \cos \theta_{n-1}, \\
x_n-x_n^0=r \sin \theta_1 \cdots \sin \theta_{n-2} \sin \theta_{n-1},
\end{array}\right.
$$

则（1．5）式可化为

$$
\begin{aligned}
\Delta_n u= & \frac{1}{r^{n-1}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{n-1} \frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial^2 u}{\partial \theta_1^2}+\frac{(n-2) \cos \theta_1}{\sin \theta_1} \frac{\partial u}{\partial \theta_1}\right)+ \\
& \frac{1}{r^2} \sum_{i=2}^{n-1} \frac{1}{\sin ^2 \theta_1 \cdots \sin ^2 \theta_{i-1}}\left(\frac{\partial^2 u}{\partial \theta_i^2}+\frac{(n-1-i) \cos \theta_i}{\sin \theta_i} \frac{\partial u}{\partial \theta_i}\right)=0 .
\end{aligned}
$$

由（1．6）式可以看出，方程（1．5）的球对称解 $u=u(r)$ 满足以 $r$ 为自变量的常微分方程

$$
\frac{1}{r^{n-1}} \frac{d}{d r}\left(r^{n-1} \frac{d u}{d r}\right)=0
$$

其通解可写为

$$
u=\frac{c_1}{r^{n-2}}+c_2
$$

这里 $c_1, c_2$ 是任意常数．所以函数

$$
u=\frac{1}{r^{n-2}}\left(r=\left|x-x^0\right|=\sqrt{\left(x_1-x_1^0\right)^2+\left(x_2-x_2^0\right)^2+\cdots+\left(x_n-x_n^0\right)^2}\right)
$$

是一个球对称特解，从而推得 $\frac{1}{r^{n-2}}$ 在任一不包含点 $x^0$ 的区域内是调和的，它在点 $x^0$ 处有奇性．

若用 $\omega_n$ 表示 $R ^n$ 中单位球面的表面积，则称函数 $\frac{1}{(n-2) \omega_n r^{n-2}}(n \geqslant 3)$ 为 $n$维 Laplace 方程（1．5）的基本解，它对研究 $n$ 维 Laplace 方程起着重要的作用．

注 7.1 基本解在 $x \neq x^0$ 时关于 $x$ 或 $x^0$ 都是调和函数且无穷次可微．
下面，考虑二维 Laplace 方程 $\Delta_2 u=u_{x_1 x_1}+u_{x_2 x_2}=0$ ，在极坐标变换

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1=x_1^0+r \cos \theta \\
x_2=x_2^0+r \sin \theta
\end{array}\right.
$$

下它可化为

$$
\Delta_2 u=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}=0
$$

于是我们可以获得二维 Laplace 方程的基本解 $\frac{1}{2 \pi} \ln \frac{1}{r}$ ，它对研究二维 Laplace 方程起着重要的作用．

定理 7.1 设函数 $u(x)$ 在 $n(n \geqslant 3)$ 维空间 $R ^n$ 中的有界区域 $\Omega$ 内二阶连续可微，在闭区域 $\bar{\Omega}=\Omega+\Gamma$ 上连续且有连续的一阶偏导数，则当点 $P_0\left(x^0\right) \in \Omega$ 时，有

$$
u\left(x^0\right)=\frac{1}{(n-2) \omega_n} \int_{\Gamma}\left(\frac{1}{r^{n-2}

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