最后更新: 2025-04-30 07:53 查看: 19 次反馈同步训练

调和函数的性质

1.3 调和函数的基本性质

性质 7.1 设 $u(x)$ 是有界区域 $\Omega$ 内的调和函数，且在闭区域 $\bar{\Omega}=\Omega+\Gamma$ 上有连续的一阶偏导数，则

$$
\int_{\Gamma} \frac{\partial u}{\partial \nu} d S(x)=0 .
$$

证 利用第二 Green 公式，在（1．4）式中取 $v=1, u$ 为所给的调和函数，就可得到（1．11）式．

由此性质可得出，Laplace 方程的第二边值问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
\Delta_n u=0, \quad x \in \Omega, \\
\left.\frac{\partial u}{\partial \nu}\right|_{\Gamma}=\varphi
\end{array}\right.
$$

有解的必要条件是函数 $\varphi$ 满足

$$
\int_{\Gamma} \varphi d S(x)=0 .
$$

性质 7.2 设 $u(x)$ 是 $R ^n(n \geqslant 3)$ 中有界区域 $\Omega$ 内的调和函数，且在闭区域 $\bar{\Omega}=\Omega+\Gamma$ 上有连续的一阶偏导数，则在 $\Omega$ 内的任一点 $x^0$ 处有

$$
u\left(x^0\right)=\frac{1}{(n-2) \omega_n} \int_{\Gamma}\left(\frac{1}{r^{n-2}} \frac{\partial u}{\partial \nu}-u \frac{\partial}{\partial \nu}\left(\frac{1}{r^{n-2}}\right)\right) d S(x)
$$

证 利用基本积分公式（1．8）即得。
公式（1．12）表明，一个区域内的调和函数在该区域内任一点的函数值，都可由边界上的函数值和导数值所决定．

类似地，对于二维空间的情形，我们可以利用（1．10）式得到

$$
u\left(x^0\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_{\Gamma}\left(\ln \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \nu}-u \frac{\partial}{\partial \nu}\left(\ln \frac{1}{r}\right)\right) d l(x)
$$

其中 $\Gamma$ 是平面上有界区域 $\Omega$ 的边界．

性质 7.3 （平均值定理）设 $u(x)$ 是 $R ^n(n \geqslant 3)$ 中区域 $\Omega$ 内的调和函数， $x^0$ 是 $\Omega$ 内的任一点，以 $x^0$ 为心 $R$ 为半径作球 $K_R$ ，只要球 $K_R$ 连同其边界 $\Gamma_R$ 包含在 $\Omega$ 内，就有公式

$$
u\left(x^0\right)=\frac{1}{\omega_n R^{n-1}} \int_{\Gamma_R} u d S(x)
$$

证 将公式（1．12）应用于球面 $\Gamma_R$ 上，得到

$$
u\left(x^0\right)=\frac{1}{(n-2) \omega_n} \int_{\Gamma_R}\left(\frac{1}{r^{n-2}} \frac{\partial u}{\partial \nu}-u \frac{\partial}{\partial \nu}\left(\frac{1}{r^{n-2}}\right)\right) d S(x)
$$

由于在 $\Gamma_R$ 上 $r=R$ ，故由性质 7.1 知上式右端第一项的积分值为零，又因为在球面上外法线方向与半径的方向一致，于是

$$
\left.\left(\frac{\partial}{\partial \nu}\left(\frac{1}{r^{n-2}}\right)\right)\right|_{\Gamma_R}=\left.\left(\frac{d}{d r}\left(\frac{1}{r^{n-2}}\right)\right)\right|_{\Gamma_R}=\frac{2-n}{R^{n-1}}
$$

所以有

$$
u\left(x^0\right)=\frac{1}{\omega_n R^{n-1}} \int_{\Gamma_R} u d S(x)
$$

我们把调和函数的这一性质称为平均值定理，公式（1．14）称为平均值公式，即调和函数在球心处的值等于它在球面上的平均值．

注 7.2 对区域 $\Omega$ 内的下调和（上调和）函数 $u$ ，我们有

$$
u\left(x^0\right) \leqslant \frac{1}{\omega_n R^{n-1}} \int_{\Gamma_R} u d S(x), \quad\left(u\left(x^0\right) \geqslant \frac{1}{\omega_n R^{n-1}} \int_{\Gamma_R} u d S(x)\right)
$$

证明留给读者自己完成。
性质 7.4 （强极值原理）假设不恒为常数的函数 $u(x)$ 在

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