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调和函数的性质

1.3 调和函数的基本性质

性质 7.1 设 $u(x)$ 是有界区域 $\Omega$ 内的调和函数，且在闭区域 $\bar{\Omega}=\Omega+\Gamma$ 上有连续的一阶偏导数，则

$$
\int_{\Gamma} \frac{\partial u}{\partial \nu} d S(x)=0 .
$$

证 利用第二 Green 公式，在（1．4）式中取 $v=1, u$ 为所给的调和函数，就可得到（1．11）式．

由此性质可得出，Laplace 方程的第二边值问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
\Delta_n u=0, \quad x \in \Omega, \\
\left.\frac{\partial u}{\partial \nu}\right|_{\Gamma}=\varphi
\end{array}\right.
$$

有解的必要条件是函数 $\varphi$ 满足

$$
\int_{\Gamma} \varphi d S(x)=0 .
$$

性质 7.2 设 $u(x)$ 是 $R ^n(n \geqslant 3)$ 中有界区域 $\Omega$ 内的调和函数，且在闭区域 $\bar{\Omega}=\Omega+\Gamma$ 上有连续的一阶偏导数，则在 $\Omega$ 内的任一点 $x^0$ 处有

$$
u\left(x^0\right)=\frac{1}{(n-2) \omega_n} \int_{\Gamma}\left(\frac{1}{r^{n-2}} \frac{\partial u}{\partial \nu}-u \frac{\partial}{\partial \nu}\left(\frac{1}{r^{n-2}}\right)\right) d S(x)
$$

证 利用基本积分公式（1．8）即得。
公式（1．12）表明，一个区域内的调和函数在该区域内任一点的函数值，都可由边界上的函数值和导数值所决定．

类似地，对于二维空间的情形，我们可以利用（1．10）式得到

$$
u\left(x^0\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_{\Gamma}\left(\ln \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \nu}-u \frac{\partial}{\partial \nu}\left(\ln \frac{1}{r}\right)\right) d l(x)
$$

其中 $\Gamma$ 是平面上有界区域 $\Omega$ 的边界．

性质 7.3 （平均值定理）设 $u(x)$ 是 $R ^n(n \geqslant 3)$ 中区域 $\Omega$ 内的调和函数， $x^0$ 是 $\Omega$ 内的任一点，以 $x^0$ 为心 $R$ 为半径作球 $K_R$ ，只要球 $K_R$ 连同其边界 $\Gamma_R$ 包含在 $\Omega$ 内，就有公式

$$
u\left(x^0\right)=\frac{1}{\omega_n R^{n-1}} \int_{\Gamma_R} u d S(x)
$$

证 将公式（1．12）应用于球面 $\Gamma_R$ 上，得到

$$
u\left(x^0\right)=\frac{1}{(n-2) \omega_n} \int_{\Gamma_R}\left(\frac{1}{r^{n-2}} \frac{\partial u}{\partial \nu}-u \frac{\partial}{\partial \nu}\left(\frac{1}{r^{n-2}}\right)\right) d S(x)
$$

由于在 $\Gamma_R$ 上 $r=R$ ，故由性质 7.1 知上式右端第一项的积分值为零，又因为在球面上外法线方向与半径的方向一致，于是

$$
\left.\left(\frac{\partial}{\partial \nu}\left(\frac{1}{r^{n-2}}\right)\right)\right|_{\Gamma_R}=\left.\left(\frac{d}{d r}\left(\frac{1}{r^{n-2}}\right)\right)\right|_{\Gamma_R}=\frac{2-n}{R^{n-1}}
$$

所以有

$$
u\left(x^0\right)=\frac{1}{\omega_n R^{n-1}} \int_{\Gamma_R} u d S(x)
$$

我们把调和函数的这一性质称为平均值定理，公式（1．14）称为平均值公式，即调和函数在球心处的值等于它在球面上的平均值．

注 7.2 对区域 $\Omega$ 内的下调和（上调和）函数 $u$ ，我们有

$$
u\left(x^0\right) \leqslant \frac{1}{\omega_n R^{n-1}} \int_{\Gamma_R} u d S(x), \quad\left(u\left(x^0\right) \geqslant \frac{1}{\omega_n R^{n-1}} \int_{\Gamma_R} u d S(x)\right)
$$

证明留给读者自己完成。
性质 7.4 （强极值原理）假设不恒为常数的函数 $u(x)$ 在 $R ^n(n \geqslant 3)$ 中有界区域 $\Omega$ 内调和且在闭区域 $\bar{\Omega}=\Omega+\Gamma$ 上连续，则它在 $\bar{\Omega}$ 上的最大值和最小值只能在 $\Omega$ 的边界 $\Gamma$ 上达到．

证 用反证法．假设调和函数 $u(x)$ 在 $\bar{\Omega}$ 上的最大值在 $\Omega$ 内的某一点 $x^0$ 达到，记 $u\left(x^0\right)=M$ ．

以 $x^0$ 为心 $R$ 为半径作球 $K_R$ ，使 $K_R$ 完全包含于 $\Omega$ 内，记 $K_R$ 的球面为 $\Gamma_R$ ，可以证明，在 $\Gamma_R$ 上有

$$
u \equiv M
$$

事实上，若函数 $u$ 在 $\Gamma_R$ 上某一点的值小于 $M$ ，则由连续性知，在球面 $\Gamma_R$ 上必可找到此点的一个充分小的邻域，在此邻域内有 $u<M$ ，于是在 $\Gamma_R$ 上成立不等式

$$
\frac{1}{\omega_n R^{n-1}} \int_{\Gamma_R} u d S(x)<\frac{1}{\omega_n R^{n-1}} \int_{\Gamma_R} M d S(x)=M
$$

但由平均值公式（1．14），有

$$
\frac{1}{\omega_n R^{n-1}} \int_{\Gamma_R} u d S(x)=u\left(x^0\right)=M,
$$

这就发生了矛盾．所以在球面 $\Gamma_R$ 上，必有 $u \equiv M$ ．
同理可证，在任一以 $x^0$ 为心，$\rho(\rho \leqslant R)$ 为半径的球面 $\Gamma_\rho$ 上，也有 $u \equiv M$ ．因此，在整个球 $\bar{K}_R$ 上，有

$$
u(x) \equiv M .
$$

下面证明对 $\Omega$ 内的所有点，都有 $u \equiv M$ ．为此在 $\Omega$ 内任取一点 $x$ ，由于 $\Omega$ 是区域，所以可用完全位于 $\Omega$ 内的折线 $l$ 将点 $x^0$ 和 $x$ 连接起来，设 $l$ 与边界 $\Gamma$ 的最短距离为 $d$ ，于是函数 $u$ 在以 $x^0$ 为心 $R=\frac{d}{2}$ 为半径的球 $K_R=K_1$ 上，恒等于 $M$ ，若 $l$ 与球 $K_1$ 的球面 $S_1$ 相交于 $x^1$ 点，显然，在以 $x^1$ 为心 $\frac{d}{2}$ 为半径的球 $K_2$ 上，有 $u \equiv M$ ．照此作下去，可用有限个球 $K_1, K_2, \cdots, K_m$ 将折线 $l$ 完全覆盖，而且使 $x \in K_m$ ，因为在每个球上都有 $u \equiv M$ ，所以 $u(x)=M$ ．由点 $x$ 的任意性，就可得到在整个区域 $\Omega$ 上，有

$$
u(x) \equiv M,
$$
这和函数 $u$ 在 $\Omega$ 上不恒等于常数的假设相矛盾．因此 $u$ 不能在 $\Omega$ 的内部取得它的最大值．

对于最小值的情形，由 $u$ 的最小值就是 $-u$ 的最大值，而 $-u$ 也是调和函数，从而推得函数 $u$ 也不能在 $\Omega$ 的内部取得它的最小值．

推论 7.1 （调和函数的比较原理）设 $u$ 和 $v$ 都是 $R ^n(n \geqslant 3)$ 中有界区域 $\Omega$ 内的调和函数，且在 $\Omega$ 的边界 $\Gamma$ 上连续，若在 $\Gamma$ 上有不等式 $u \leqslant v$ ，则在 $\Omega$ 内亦有 $u \leqslant v$ ．并且只有在 $\Gamma$ 上 $u \equiv v$ 时，在 $\Omega$ 内才会有等号成立的可能．

对于二维调和函数 $u(x)$ ，类似的极值原理成立．
注 7.3 （下（上）调和函数的强最大（小）值原理）设不恒为常数的函数 $u$ 是 $\Omega$ 内的下（上）调和函数，则它在 $\bar{\Omega}$ 上的最大（小）值只能在 $\Omega$ 的边界 $\Gamma$ 上达到．

证明留给读者自己完成．

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