最后更新: 2025-04-30 07:54 查看: 13 次反馈同步训练

Green 函数

§2 Green 函数

2．1 Green 函数的定义
设 $\Omega$ 是 $R ^n(n \geqslant 3)$ 中的有界区域，$\Gamma$ 为它的边界，函数 $u(x)$ 在 $\Omega$ 内调和，在 $\bar{\Omega}=\Omega+\Gamma$ 上有连续的一阶偏导数，则对区域 $\Omega$ 内的任一点 $x^0$ ，由调和函数的性质 7.2 知

$$
u\left(x^0\right)=\frac{1}{(n-2) \omega_n} \int_{\Gamma}\left(\frac{1}{r^{n-2}} \frac{\partial u}{\partial \nu}-u \frac{\partial}{\partial \nu}\left(\frac{1}{r^{n-2}}\right)\right) d S(x),
$$

其中 $r$ 是点 $x^0$ 到动点 $x \in \Gamma$ 的距离．今后为了明确起见，我们也用 $r=\left|x-x^0\right|$ 表示．
公式（2．1）给出了区域 $\Omega$ 内的调和函数的积分表达式，它将 $u$ 在 $\Omega$ 内任一点 $x^0$ 处的值用 $u$ 及其导数在边界 $\Gamma$ 上的值表示出来．这自然使我们想到能否利用它来求解边值问题。但由于在表达式（2．1）中必须同时知道 $u$ 及 $\frac{\partial u}{\partial \nu}$ 在边界 $\Gamma$ 上的值，才能求出 $u$ 在 $\Omega$ 内的值，因此，还不能直接应用它来求解 Dirichlet 问题或 Neumann 问题．为了求解 Dirichlet 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
\Delta_n u=0, \quad x \in \Omega \subset R ^n, \quad n \geqslant 3 \\
\left.u\right|_{\Gamma}=\varphi(x), \quad x \in \Gamma
\end{array}\right.
$$

我们自然想到设法将公式（2．1）中的 $\frac{\partial u}{\partial \nu}$ 这一项消去，这就引出了 Green 函数的概念及相应的讨论．

给定一个函数 $g(x)$ ，设它在区域 $\Omega$ 内是调和的，且在 $\bar{\Omega}=\Omega+\Gamma$ 上有连续的一阶偏导数．对函数 $u$ 和 $g$ 应用第二 Green 公式，得

$$
\int_{\Gamma}\left(u \frac{\partial g}{\partial \nu}-g \frac{\partial u}{\partial \nu}\right) d S(x)=0
$$

现在将（2．1）式与（2．3）式相加，就有

$$
u\left(x^0\right)=\int_{\Gamma}\left[\left(\frac{1}{(n-2) \omega_n r^{n-2}}-g\right) \frac{\partial u}{\partial \nu}-u \frac{\partial}{\partial \nu}\left(\frac{1}{(n-2) \omega_n r^{n-2}}-g\right)\right] d S(x) .
$$

若在曲面 $\Gamma$ 上函数 $g$ 与 $\frac{1}{(n-2) \omega_n r^{n-2}}$ 的值相等，即

$$
\left.g\right|_{\Gamma}=\frac{1}{(n-2) \omega_n r^{n-2}}, \quad x \in \Gamma,
$$

那么（2．4）式中含有 $\frac{\partial u}{\partial \nu}$ 的项

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