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Green 函数

§2 Green 函数

2．1 Green 函数的定义
设 $\Omega$ 是 $R ^n(n \geqslant 3)$ 中的有界区域，$\Gamma$ 为它的边界，函数 $u(x)$ 在 $\Omega$ 内调和，在 $\bar{\Omega}=\Omega+\Gamma$ 上有连续的一阶偏导数，则对区域 $\Omega$ 内的任一点 $x^0$ ，由调和函数的性质 7.2 知

$$
u\left(x^0\right)=\frac{1}{(n-2) \omega_n} \int_{\Gamma}\left(\frac{1}{r^{n-2}} \frac{\partial u}{\partial \nu}-u \frac{\partial}{\partial \nu}\left(\frac{1}{r^{n-2}}\right)\right) d S(x),
$$

其中 $r$ 是点 $x^0$ 到动点 $x \in \Gamma$ 的距离．今后为了明确起见，我们也用 $r=\left|x-x^0\right|$ 表示．
公式（2．1）给出了区域 $\Omega$ 内的调和函数的积分表达式，它将 $u$ 在 $\Omega$ 内任一点 $x^0$ 处的值用 $u$ 及其导数在边界 $\Gamma$ 上的值表示出来．这自然使我们想到能否利用它来求解边值问题。但由于在表达式（2．1）中必须同时知道 $u$ 及 $\frac{\partial u}{\partial \nu}$ 在边界 $\Gamma$ 上的值，才能求出 $u$ 在 $\Omega$ 内的值，因此，还不能直接应用它来求解 Dirichlet 问题或 Neumann 问题．为了求解 Dirichlet 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
\Delta_n u=0, \quad x \in \Omega \subset R ^n, \quad n \geqslant 3 \\
\left.u\right|_{\Gamma}=\varphi(x), \quad x \in \Gamma
\end{array}\right.
$$

我们自然想到设法将公式（2．1）中的 $\frac{\partial u}{\partial \nu}$ 这一项消去，这就引出了 Green 函数的概念及相应的讨论．

给定一个函数 $g(x)$ ，设它在区域 $\Omega$ 内是调和的，且在 $\bar{\Omega}=\Omega+\Gamma$ 上有连续的一阶偏导数．对函数 $u$ 和 $g$ 应用第二 Green 公式，得

$$
\int_{\Gamma}\left(u \frac{\partial g}{\partial \nu}-g \frac{\partial u}{\partial \nu}\right) d S(x)=0
$$

现在将（2．1）式与（2．3）式相加，就有

$$
u\left(x^0\right)=\int_{\Gamma}\left[\left(\frac{1}{(n-2) \omega_n r^{n-2}}-g\right) \frac{\partial u}{\partial \nu}-u \frac{\partial}{\partial \nu}\left(\frac{1}{(n-2) \omega_n r^{n-2}}-g\right)\right] d S(x) .
$$

若在曲面 $\Gamma$ 上函数 $g$ 与 $\frac{1}{(n-2) \omega_n r^{n-2}}$ 的值相等，即

$$
\left.g\right|_{\Gamma}=\frac{1}{(n-2) \omega_n r^{n-2}}, \quad x \in \Gamma,
$$

那么（2．4）式中含有 $\frac{\partial u}{\partial \nu}$ 的项就消去了，这就是我们构造函数 $g(x)$ 的目的．为了简洁地讨论问题，令

$$
G\left(x ; x^0\right)=\frac{1}{(n-2) \omega_n r^{n-2}}-g\left(x ; x^0\right),
$$

由（2．4）式即得

$$
u\left(x^0\right)=-\int_{\Gamma} u(x) \frac{\partial G\left(x ; x^0\right)}{\partial \nu} d S(x),
$$

从而 Dirichlet 问题（2．2）的解就可表示为

$$
u\left(x^0\right)=-\int_{\Gamma} \varphi(x) \frac{\partial G\left(x ; x^0\right)}{\partial \nu} d S(x) .
$$

我们把由（2．6）式给出的函数 $G\left(x ; x^0\right)$ 称为 Laplace 方程的 Dirichlet 问题的 Green函数．

这样一来，求解 Laplace 方程的 Dirichlet 问题的关键是决定 Green 函数 $G\left(x ; x^0\right)$ ．由（2．6）式知求解 Green 函数 $G\left(x ; x^0\right)$ 的关键是：对任意给定的 $x^0 \in \Omega$ ，在 $\Omega$ 内寻找一个关于变量 $x$ 的调和函数 $g\left(x ; x^0\right)$ ，使它在边界 $\Gamma$ 上取值 $\frac{1}{(n-2) \omega_n r^{n-2}}$ ．

因此，具有一般边值 $\varphi(x)$ 的 Dirichlet 问题（2．2）的求解，可化为求解一个具有特殊边值的 Dirichlet 问题：

$$
\left\{\begin{aligned}
& \Delta_n u=0, \quad x \in \Omega, \\
&\left.u\right|_{\Gamma}=\frac{1}{(n-2) \omega_n r^{n-2}}, \quad x \in \Gamma
\end{aligned}\right.
$$

我们将把这种求解方法称为 Green 函数法．
对于一般区域，要求解这种具有特殊边值的 Dirichlet 问题（2．9），通常也是非常困难的，因此 Green 函数法并不能有效地用来解决一般区域的 Laplace 方程第一边值问题．但是，并不能因此就否定了 Green 函数法的意义，因为 Green 函数仅依赖于区域，而与边值条件无关．关于 Green 函数法的意义，我们概括如下：
（i）对于 Laplace 方程，若求得了某个区域上的 Green 函数，则这个区域上具有任意边值条件的 Dirichlet 问题解的存在性也就得到了解决，而且它的解可用积分表达式（2．8）给出。
（ii）对于某些特殊的区域，如球，半空间和第一卦限等，Green 函数的确可以用初等方法求得，而这些特殊区域上的 Dirichlet 问题在偏微分方程的研究中起着重要的作用。
（iii）可以利用公式（2．8）讨论解的性质．

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