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Green函数性质

2．2 Green 函数的几个重要性质
性质 7.5 在区域 $\Omega$ 内的 Green 函数 $G\left(x ; x^0\right)$ ，除去点 $x^0$ 外处处都是调和的，当 $x \rightarrow x^0$ 时，$G\left(x ; x^0\right)$ 趋于无穷大，且与 $\frac{1}{r^{n-2}}$ 同阶．

证明留给读者完成．
性质 7.6 在区域 $\Omega$ 的边界 $\Gamma$ 上，$G\left(x ; x^0\right) \equiv 0$ ．
性质 $7.7 \int_{\Gamma} \frac{\partial G\left(x ; x^0\right)}{\partial \nu} d S(x)=-1$ 。
证 容易验证 $u \equiv 1$ 是边值问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
\Delta_n u=0, \quad x \in \Omega, \\
\left.u\right|_{\Gamma} \equiv 1
\end{array}\right.
$$

的解，在（2．8）式中取 $\varphi(x) \equiv 1$ 即可得证．
性质 7.8 在区域 $\Omega$ 内的任一点 $x \neq x^0$ 处，都有

$$
0<G\left(x ; x^0\right)<\frac{1}{(n-2) \omega_n r^{n-2}}
$$

证 任意固定 $x^1 \in \Omega, x^1 \neq x^0$ ，以 $x^0$ 为中心 $\varepsilon_1(>0)$ 为半径作一球 $K_{\varepsilon_1}$ ，使得 $x^1 \in \Omega \backslash K_{\varepsilon_1}$ ．因为 $G\left(x ; x^0\right)$ 在边界 $\Gamma$ 上等于零，由于当 $x \rightarrow x^0$ 时， $G\left(x ; x^0\right) \rightarrow+\infty$ ，故存在 $0<\varepsilon_2<\varepsilon_1$ ，使得 $G\left(x ; x^0\right)$ 在以 $x^0$ 为中心 $\varepsilon_2$ 为半径的球面上取正值．在区域 $\Omega_0=\Omega \backslash K_{\varepsilon_2}$（ $K_{\varepsilon_2}$ 表示以 $x^0$ 为中心 $\varepsilon_2$ 为半径的球）上考虑 $G\left(x ; x^0\right)$ ，根据调和函数的强极值原理，在区域 $\Omega_0$ 内的任一点，都有

$$
G\left(x ; x^0\right)>0
$$

特别地，$x^1 \in \Omega \backslash K_{\varepsilon_1} \subset \Omega_0$ ，因此

$$
G\left(x^1 ; x^0\right)>0
$$

由 $x^1$ 的任意性即知对区域 $\Omega$ 内的任一点 $x \neq x^0$ ，有

$$
G\left(x ; x^0\right)>0
$$

又因为函数 $g\left(x ; x^0\right)$ 在区域 $\Omega$ 内调和，在边界 $\Gamma$ 上取正值 $\frac{1}{(n-2) \omega_n r^{n-2}}$ ，由强极值原理，在 $\bar{\Omega}$ 上有 $g>0$ ，从而推得

$$
G\left(x ; x^0\right)<\frac{1}{(n-2) \omega_n r^{n-2}}
$$

综上所述，在区域 $\Omega$ 内，成立不等式

$$
0<G\left(x ; x^0\right)<\frac{1}{(n-2) \omega_n r^{n-2}}, \quad x \neq x^0 .
$$

性质 7.9 （对称性）设 $P_1(x)$ 和 $P_2(y)$ 是区域 $\Omega$ 内的任意两点，则有

$$
G(x ; y)=G(y ; x) .
$$

证 分别以 $P_1, P_2$ 为心，以充分小的正数 $\delta$ 为半径作球 $K_1, K_2$ ，使得它们彼此不相交，且都包含在 $\Omega$ 内，球的表面分别为 $\Gamma_1, \Gamma_2$（如图 7－2）．
 ![图片](/uploads/2025-04/3e1031.jpg)
 记 $\Omega^{\prime}$ 为 $\Omega$ 中挖去球 $K_1, K_2$ 后剩下的部分，它的边界为 $\Gamma^{\prime}=\Gamma+\Gamma_1+\Gamma_2$ ，其中 $\Gamma$ 是 $\Omega$ 的边界．在区域 $\Omega^{\prime}$ 上对函数 $G(z ; x)$ 和 $G(z ; y)$ 应用第二 Green 公式并注意到 $\left.G(z ; x)\right|_{\Gamma}=\left.G(z ; y)\right|_{\Gamma}=0$ ，于是得到

$$
\int_{\Gamma_1+\Gamma_2}\left[G(z ; x) \frac{\partial G(z ; y)}{\partial \nu}-G(z ; y) \frac{\partial G(z ; x)}{\partial \nu}\right] d S(z)=0
$$

即

$$
\begin{aligned}
& \int_{\Gamma_1}\left[G(z ; x) \frac{\partial G(z ; y)}{\partial \nu}-G(z ; y) \frac{\partial G(z ; x)}{\partial \nu}\right] d S(z)+ \\
& \int_{\Gamma_2}\left[G(z ; x) \frac{\partial G(z ; y)}{\partial \nu}-G(z ; y) \frac{\partial G(z ; x)}{\partial \nu}\right] d S(z)=0
\end{aligned}
$$

对（2．10）式取 $\delta \rightarrow 0^{+}$时的极限，左端第一项积分的极限为 $-G(x ; y)$ ，第二项积分的极限为 $G(y ; x)$ ．事实上，曲面 $\Gamma_1$ 上的积分

$$
\begin{aligned}
I_1= & \int_{\Gamma_1}\left[G(z ; x) \frac{\partial G(z ; y)}{\partial \nu}-G(z ; y) \frac{\partial G(z ; x)}{\partial \nu}\right] d S(z) \\
= & \int_{\Gamma_1}\left[\frac{1}{(n-2) \omega_n|z-x|^{n-2}} \frac{\partial G(z ; y)}{\partial \nu}-G(z ; y) \frac{\partial}{\partial \nu}\left(\frac{1}{(n-2) \omega_n|z-x|^{n-2}}\right)\right] d S(z)+ \\
& \int_{\Gamma_1}\left[-g(z ; x) \frac{\partial G(z ; y)}{\partial \nu}+G(z ; y) \frac{\partial g(z ; x)}{\partial \nu}\right] d S(z) .
\end{aligned}
$$

由于在球 $K_1$ 内，$g(z ; x)$ 和 $G(z ; y)$ 关于 $z$ 都是调和函数，且在 $\Gamma_1$ 上具有连续的一阶偏导数，故由第二 Green 公式知，上式第二项积分为零．于是

$$
I_1=\int_{\Gamma_1}\left[\frac{1}{(n-2) \omega_n|z-x|^{n-2}} \frac{\partial G(z ; y)}{\partial \nu}-G(z ; y) \frac{\partial}{\partial \nu}\left(\frac{1}{(n-2) \omega_n|z-x|^{n-2}}\right)\right] d S(z),
$$

因为 $\frac{\partial G(z ; y)}{\partial \nu}$ 在球 $K_1$ 上有界，所以（2．11）式中第一项的极限为零，即

$$
\int_{\Gamma_1} \frac{1}{(n-2) \omega_n|z-x|^{n-2}} \frac{\partial G(z ; y)}{\partial \nu} d S(z) \rightarrow 0, \quad \delta \rightarrow 0^{+}
$$

又因为函数 $G(z ; y)$ 在点 $P_1$ 是连续的，所以

$$
\begin{aligned}
& -\int_{\Gamma_1} G(z ; y) \frac{\partial}{\partial \nu}\left(\frac{1}{(n-2) \omega_n|z-x|^{n-2}}\right) d S(z) \\
= & -\frac{1}{\omega_n \delta^{n-1}} \int_{\Gamma_1} G(z ; y) d S(z) \rightarrow-G(x ; y), \quad \delta \rightarrow 0^{+} .
\end{aligned}
$$

于是得到

$$
\lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} I_1=-G(x ; y) .
$$
对于曲面 $\Gamma_2$ 上的积分

$$
I_2=\int_{\Gamma_2}\left[G(z ; x) \frac{\partial G(z ; y)}{\partial \nu}-G(z ; y) \frac{\partial G(z ; x)}{\partial \nu}\right] d S(z),
$$

同理可得

$$
\lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} I_2=G(y ; x) .
$$

最后由（2．10）式即可推出

$$
G(x ; y)=G(y ; x) .
$$

性质 7.9 表明 Green 函数 $G\left(x ; x^0\right)$ 是关于动点 $x$ 与点 $x^0$ 的对称函数．
注 7.4 关于第二边值问题即 Neumann 问题的求解，我们也可以像上面那样定义 Green 函数，将（2．1）式中含有 $u$ 的项消去，从而得到 Laplace 方程的第二边值问题解的表达式．需要注意的是，这里也同样把问题归结为解一个特殊的 Neumann 问题．

注 7.5 对于区域 $\Omega$ 内 Poisson 方程

$$
\Delta_n u=f(x), \quad x \in \Omega
$$

的各种边值问题，在知道它的一个特解的条件下，都可以化归为 Laplace 方程相应的边值问题．这里以第一边值问题为例加以说明．事实上，设 $u_1$ 是 Poisson 方程（2．12）的一个特解，为了求解区域 $\Omega$ 上的定解问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
\Delta_n u=f(x), \quad x \in \Omega \\
\left.u\right|_{\Gamma}=\varphi(x), \quad x \in \Gamma
\end{array}\right.
$$

令 $v=u-u_1$ ，则函数 $v$ 满足 Laplace 方程的第一边值问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
\Delta_n v=0, \quad x \in \Omega \\
\left.v\right|_{\Gamma}=\varphi(x)-\left.u_1\right|_{\Gamma}
\end{array}\right.
$$

另一方面，对于 Poisson 方程的 Dirichlet 问题（2．13），亦可用 Green 函数法写出解的表达式．和推导（2．8）式一样，由基本积分公式（1．8）知与（2．1）式相对应的表达式为

$$
u\left(x^0\right)=\frac{1}{(n-2) \omega_n} \int_{\Gamma}\left(\frac{1}{r^{n-2}} \frac{\partial u}{\partial \nu}-u \frac{\partial}{\partial \nu}\left(\frac{1}{r^{n-2}}\right)\right) d S(x)-\frac{1}{(n-2) \omega_n} \int_{\Omega} \frac{f}{r^{n-2}} d x
$$

由第二 Green 公式（1．4）知，与（2．3）式相对应的表达式为

$$
\int_{\Gamma}\left(u \frac{\partial g}{\partial \nu}-g \frac{\partial u}{\partial \nu}\right) d S(x)+\int_{\Omega} g f d x=0
$$

将（2．14）式与（2．15）式相加，得

$$
\begin{aligned}
u\left(x^0\right)= & \int_{\Gamma}\left[\left(\frac{1}{(n-2) \omega_n r^{n-2}}-g\right) \frac{\partial u}{\partial \nu}-u \frac{\partial}{\partial \nu}\left(\frac{1}{(n-2) \omega_n r^{n-2}}-g\right)\right] d S(x)+ \\
& \int_{\Omega}\left(g-\frac{1}{(n-2) \omega_n r^{n-2}}\right) f d x
\end{aligned}
$$

应用 Green 函数的记号（2．6），上式可改写为

$$
u\left(x^0\right)=-\int_{\Gamma} \varphi(x) \frac{\partial G\left(x ; x^0\right)}{\partial \nu} d S(x)-\int_{\Omega} G\left(x ; x^0\right) f(x) d x .
$$

这样一来，如果我们能求出区域 $\Omega$ 上的 Green 函数 $G\left(x ; x^0\right)$ ，由表达式（2．17），我们亦能在区域 $\Omega$ 上求出 Poisson 方程的 Dirichlet 问题（2．13）的解．

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