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球与半空间上的 Dirichlet 问题

§3 球与半空间上的 Dirichlet 问题

对于一些特殊区域，我们可以用镜像法（或对称开拓法）找出它的 Green 函数，从而解决第一边值问题在这些区域上解的存在性问题．作为例子，这里考虑三维球与半空间上的 Dirichlet 问题．
3.1 球上的 Dirichlet 问题

设 $K$ 是以原点 $O$ 为心 $R$ 为半径的球，其表面用 $S$ 表示．我们的问题是：求一个函数，它在球 $K$ 内调和，在 $\bar{K}$ 上连续，且在球面 $S$ 上取给定的函数值 $\varphi$ ，即

求解定解问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
\Delta_3 u=0, \quad x \in K \\
\left.u\right|_S=\varphi(x), \quad x \in S
\end{array}\right.
$$

下面先找出球 $K$ 上的 Green 函数．这个问题的关键是：在球 $K$ 内任给一点 $P_0\left(x^0\right)$ ，找一个在 $K$ 内调和的函数 $g\left(x ; x^0\right)$ ，使得当 $x \in S$ 时 $g\left(x ; x^0\right)=\frac{1}{4 \pi\left|x-x^0\right|}$ ．由调和函数基本解的性质知，对任意的常数 $A$ ，当 $y \notin \bar{K}$ 时，函数 $g(x ; y)=\frac{A}{|x-y|}$ 关于 $x$ 在 $K$ 内调和。剩下的问题是：如何确定常数 $A$ 及点 $y \notin \bar{K}$ ，使得当 $x \in S$ 时，有

$$
\frac{A}{|x-y|}=\frac{1}{4 \pi\left|x-x^0\right|}
$$

具体做法如下：
设 $P_0\left(x^0\right)$ 是 $K$ 内任一点，用 $\rho_0$ 表示它到原点 $O$ 的距离，在射线 $O P_0$ 上取一点 $P_1(y)$ 使得

$$
\rho_0 \rho_1=R^2
$$
其中 $\rho_1$ 是点 $P_1$ 到原点 $O$ 的距离．我们把点 $P_1$ 称为点 $P_0$ 关于球面 $S$ 的对称点（或镜像点）．今在球面 $S$ 上任取一点 $P(x)$（如图 7－3）．

考察 $\triangle O P P_0$ 与 $\triangle O P_1 P$ ，它们有一个公共角 $\angle P O P_0$ ，由（3．2）式知此夹角的两对应边成比例，因此这两个三角形相似，由此推出

$$
\frac{\left|x-x^0\right|}{|x-y|}=\frac{\rho_0}{R}
$$

或者

$$
\frac{1}{\left|x-x^0\right|}=\frac{R}{\rho_0} \frac{1}{|x-y|} .
$$
 ![图片](/uploads/2025-04/ff4649.jpg)
 
 $$
\frac{\left|x-x^0\right|}{|x-y|}=\frac{\rho_0}{R}
$$

或者

$$
\frac{1}{\left|x-x^0\right|}=\frac{R}{\rho_0} \frac{1}{|x-y|}
$$

从（3．3）式不难看出，对于球 $K$ 内的任一点 $P(x)$ ，只要取 $A=\frac{R}{4 \pi \rho_0}$ ，则函数

$$
g\left(x ; x^0\right)=\frac{R}{4 \pi \rho_0|x-y|},
$$

于是球 $K$ 上的 Green 函数具有如下形式：

$$
G\left(x ; x^0\right)=\frac{1}{4 \pi\left|x-x^0\right|}-\frac{R}{4 \pi \rho_0|x-y|}
$$

显然，$g\left(x ; x^0\right)$ 作为 $x$ 的函数，在球 $K$ 内是调和的，因此，$G\left(x ; x^0\right)$ 作为 $x$ 的函数，在球 $K$ 内除 $x^0$ 点外是调和的，且在球面 $S$ 上的点 $x$ 处有 $G\left(x ; x^0\right)=0$ ，这表明函数（3．4）具备 Green 函数的所有条件．

我们用 $\alpha$ 表示 $O P$ 与 $O P_0$ 之间的夹角，$\rho$ 表示点 $P$ 到原点 $O$ 的距离，则由余弦定理，有

$$
\begin{aligned}
\left|x-x^0\right|^2 & =\rho_0^2+\rho^2-2 \rho_0 \rho \cos \alpha \\
|x-y|^2 & =\rho_1^2+\rho^2-2 \rho_1 \rho \cos \alpha
\end{aligned}
$$

代入（3．4）式，得

$$
\begin{aligned}
G\left(x ; x^0\right) & =\frac{1}{4 \pi}\left(\frac{1}{\sqrt{\rho_0^2+\rho^2-2 \rho_0 \rho \cos \alpha}}-\frac{R}{\rho_0 \sqrt{\rho_1^2+\rho^2-2 \rho_1 \rho \cos \alpha}}\right) \\
& =\frac{1}{4 \pi}\left(\frac{1}{\sqrt{\rho_0^2+\rho^2-2 \rho_0 \rho \cos \alpha}}-\frac{R}{\sqrt{R^4+\rho_0^2 \rho^2-2 R^2 \rho_0 \rho \cos \alpha}}\right)
\end{aligned}
$$

它在球面 $S$ 上的法向导数为

$$
\begin{aligned}
\left.\frac{\partial G}{\partial \nu}\right|_S & =\left.\frac{\partial G}{\partial \rho}\right|_{\rho=R} \\
& =-\left.\frac{1}{4 \pi}\left(\frac{\rho-\rho_0 \cos \alpha}{\left(\rho_0^2+\rho^2-2 \rho_0 \rho \cos \alpha\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{R\left(\rho_0^2 \rho-R^2 \rho_0 \cos \alpha\right)}{\left(R^4+\rho_0^2 \rho^2-2 R^2 \rho_0 \rho \cos \alpha\right)^{\frac{3}{2}}}\right)\right|_{\rho=R} \\
& =-\frac{1}{4 \pi R} \frac{R^2-\rho_0^2}{\left(R^2+\rho_0^2-2 R \rho_0 \cos \alpha\right)^{\frac{3}{2}}},
\end{aligned}
$$

于是由 §2 的公式（2．8），我们得到 Dirichlet 问题（3．1）的解为

$$
u\left(x^0\right)=-\iint_S \varphi(x) \frac{\partial G\left(x ; x^0\right)}{\partial \nu} d S(x)=\frac{1}{4 \pi R} \iint_S \frac{\left(R^2-\rho_0^2\right) \varphi(x)}{\left(R^2+\rho_0^2-2 R \rho_0 \cos \alpha\right)^{\frac{3}{2}}} d S(x)
$$

若注意到 $\left(R^2+\rho_0^2-2 R \rho_0 \cos \alpha\right)^{\frac{1}{2}}=\left|x-x^0\right|$ ，则（3．6）式可写成

$$
u\left(x^0\right)=\frac{1}{4 \pi R} \iint_S \frac{R^2-\rho_0^2}{\left|x-x^0\right|^3} \varphi(x) d S(x)=\frac{1}{4 \pi R} \iint_S \frac{R^2-\left|x_0\right|^2}{\left|x-x^0\right|^3} \varphi(x) d S(x),
$$

我们把公式（3．6）或（3．7）称为球上的 Poisson 公式．
若记 $\left(\rho_0, \theta_0, \phi_0\right)$ 为点 $P_0\left(x^0\right)$ 的球坐标，$(R, \theta, \phi)$ 为球面 $S$ 上点 $P(x)$ 的球坐标，则向量 $\overrightarrow{O P_0}, \overrightarrow{O P}$ 可分别表示为

$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{O P_0}=\rho_0\left(\sin \theta_0 \cos \phi_0, \sin \theta_0 \sin \phi_0, \cos \theta_0\right) \\
& \overrightarrow{O P}=R(\sin \theta \cos \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \theta)
\end{aligned}
$$

所以，

$$
\begin{aligned}
\cos \alpha & =\frac{\left\langle\overrightarrow{O P_0}, \overrightarrow{O P}\right\rangle}{\left|\overrightarrow{O P_0}\right||\overrightarrow{O P}|} \\
& =\sin \theta_0 \cos \phi_0 \sin \theta \cos \phi+\sin \theta_0 \sin \phi_0 \sin \theta \sin \phi+\cos \theta_0 \cos \theta \\
& =\cos \theta_0 \cos \theta+\sin \theta_0 \sin \theta \cos \left(\phi-\phi_0\right)
\end{aligned}
$$

从而，公式（3．6）的球坐标形式为

$$
u\left(\rho_0, \theta_0, \phi_0\right)=\frac{R}{4 \pi} \int_0^{2 \pi} \int_0^\pi \frac{\left(R^2-\rho_0^2\right) \varphi(\theta, \phi)}{\left(R^2+\rho_0^2-2 R \rho_0 \cos \alpha\right)^{\frac{3}{2}}} \sin \theta d \theta d \phi .
$$

Dirichlet 问题（3．1）的解的表达式已写出来了，但它是否真的是解，还需要加以验证．

定理 7.3 设函数 $\varphi(x)$ 在球面 $S$ 上连续，则 Poisson 公式（3．7）给出在球 $K$ 上定解问题（3．1）的解．

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