最后更新: 2025-04-30 07:59 查看: 13 次反馈同步训练

球与半空间上的 Dirichlet 问题

§3 球与半空间上的 Dirichlet 问题

对于一些特殊区域，我们可以用镜像法（或对称开拓法）找出它的 Green 函数，从而解决第一边值问题在这些区域上解的存在性问题．作为例子，这里考虑三维球与半空间上的 Dirichlet 问题．
3.1 球上的 Dirichlet 问题

设 $K$ 是以原点 $O$ 为心 $R$ 为半径的球，其表面用 $S$ 表示．我们的问题是：求一个函数，它在球 $K$ 内调和，在 $\bar{K}$ 上连续，且在球面 $S$ 上取给定的函数值 $\varphi$ ，即

求解定解问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
\Delta_3 u=0, \quad x \in K \\
\left.u\right|_S=\varphi(x), \quad x \in S
\end{array}\right.
$$

下面先找出球 $K$ 上的 Green 函数．这个问题的关键是：在球 $K$ 内任给一点 $P_0\left(x^0\right)$ ，找一个在 $K$ 内调和的函数 $g\left(x ; x^0\right)$ ，使得当 $x \in S$ 时 $g\left(x ; x^0\right)=\frac{1}{4 \pi\left|x-x^0\right|}$ ．由调和函数基本解的性质知，对任意的常数 $A$ ，当 $y \notin \bar{K}$ 时，函数 $g(x ; y)=\frac{A}{|x-y|}$ 关于 $x$ 在 $K$ 内调和。剩下的问题是：如何确定常数 $A$ 及点 $y \notin \bar{K}$ ，使得当 $x \in S$ 时，有

$$
\frac{A}{|x-y|}=\frac{1}{4 \pi\left|x-x^0\right|}
$$

具体做法如下：
设 $P_0\left(x^0\right)$ 是 $K$ 内任一点，用 $\rho_0$ 表示它到原点 $O$ 的距离，在射线 $O P_0$ 上取一点 $P_1(y)$ 使得

$$
\rho_0 \rho_1=R^2
$$
其中 $\rho_1$ 是点 $P_1$ 到原点 $O$ 的距离．我们把点 $P_1$ 称为点 $P_0$ 关于球面 $S$ 的对称点（或镜像点）．今在球面 $S$ 上任取一点 $P(x)$（如图 7－3）．

考察 $\triangle O P P_0$ 与 $\triangle O P_1 P$ ，它们有一个公共角 $\angle P O P_0$ ，由（3．2）式知此夹角的两对应边成比例，因此这两个三角形相似，由此推出

$$
\frac{\left|x-x^0\right|}{|x-y|}=\frac{\rho_0}{R}
$$

或者

$$
\frac{1}{\left|x-x^0\right|}=\frac{R}{\rho_0} \frac{1}{|x-y|} .
$$
 ![图片](/uploads/2025-04/ff4649.jpg)
 
 $$
\frac{\left|x-x^0\right|}{|x-y|}=\frac{\rho_0}{R}
$$

或者

$$
\frac{1}{\left|x-x^0\right|}=\frac{R}{\rho_0} \frac{1}{|x-y|}
$$

从（3．3）式不难看出，对于球 $K$ 内的任一点 $P(x)$ ，只要取 $A=\frac{R}{4 \pi \rho_0}$ ，则函数

$$
g\left(x ; x^0\right)=\frac{R}{4 \pi \rho_0|x-y|},
$$

于是球 $K$ 上的 Green 函数具有如下形式：

$$
G\left(x ; x^0\right)=\frac{1}{4 \pi\left|x-x^0\right|}-\frac{R}{4 \pi \rho_0|x-y|}
$$

显然，$g\left(x ; x^0\right)$ 作为 $x$ 的函数，在球 $K$ 内是调和的，因此，$G\left(x ; x^0\right)$ 作为 $x$ 的函数，在球 $K$ 内除 $x^0$ 点外是调和的，且在球面 $S$ 上的点 $x$ 处有 $G\left(x ; x^0\right)=0$ ，这表明函数（3．4）具备 Green 函数的所有条件．

我们用 $\alpha$ 表示 $O P$ 与 $O P_0$ 之间的夹角，$\rho$ 表示点 $P$ 到原点 $O$ 的距离，则由余弦定理，有

$$
\begin{aligned}
\left|x-x^0\right|^2 & =\rho_0^2+\rho^2-2 \rho_0 \rho \cos \alpha \\
|x-y|^2 & =\rho_1^2+\rho^2-2 \rho_1 \rho \cos \alpha
\end{aligned}
$$

代入（3．4）式，得

$$
\begin{aligned}
G\left(x ; x^0\right) & =\frac{1}{4 \pi}\left(\frac{1}{\sqrt{\rho_0^2+\rho^2-2 \rho_0 \rho \cos \alpha}}-\frac{R}{\rho_0 \sqrt{\rho_1^2+\rho^2-2 \rho_1 \rho \cos \alpha}}\right) \\
& =\frac{1}{4 \pi}\left(\frac{1}{\sqrt{\rho_0^2+\rho^2-2 \rho_0 \rho \cos \alpha}}-\frac{R}{\sqrt{R^4+\rho_0^2 \rho^2-2 R^2 \rho_0 \rho \cos \alpha}}\right)
\end{aligned}
$$

它在球面 $S$ 上的法向导数为

$$
\begin{aligned}
\left.\frac{\partial G}{\partial \nu}\right|_S & =\left.\frac{\partial G}{\partial \rho}\right|_{\rho=R} \\
& =-\left.\frac{1}{4 \pi}\left(\frac{\rho-\rho_0 \cos \a

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