最后更新: 2025-04-30 08:00 查看: 0 次反馈刷题

半空间上的 Dirichlet 问题

3.2 半空间上的 Dirichlet 问题

求解三维半空间上的 Dirichlet 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
\Delta_3 u=0, \quad x=\left(x_1, x_2, x_3\right) \in R _{+}^3=\left\{\left(x_1, x_2, x_3\right) \mid\left(x_1, x_2\right) \in R ^2, x_3>0\right\}, \\
\left.u\right|_{x_3=0}=\varphi\left(x_1, x_2\right), \quad\left(x_1, x_2\right) \in R ^2 .
\end{array}\right.
$$

下面先找出上半空间 $R _{+}^3$ 上的 Green 函数．这个问题的关键是：在上半空间 $R _{+}^3$ 内任给一点 $P_0\left(x^0\right)$ ，其中 $x^0=\left(x_1^0, x_2^0, x_3^0\right)$ ，找一个在 $R _{+}^3$ 内调和的函数 $g\left(x ; x^0\right)$ ，使得当 $x \in \partial R _{+}^3=\left\{\left(x_1, x_2, x_3\right) \mid\left(x_1, x_2\right) \in R ^2, x_3=0\right\}$ 时，$g\left(x ; x^0\right)=\frac{1}{4 \pi\left|x-x^0\right|}$ ．由调和函数基本解的性质知，对任意的常数 $A$ ，当 $y \notin \overline{ R _{+}^3}$ 时，函数 $g(x ; y)=\frac{A}{|x-y|}$关于 $x$ 在 $R _{+}^3$ 内调和．剩下的问题是：如何确定常数 $A$ 及点 $y \notin \overline{ R _{+}^3}$ ，使得当 $x \in \partial R _{+}^3$ 时，有

$$
\frac{A}{|x-y|}=\frac{1}{4 \pi\left|x-x^0\right|} .
$$

显然，若取 $A=\frac{1}{4 \pi}, P_1(y)$ 为 $P_0\left(x^0\right)$ 关于平面 $O-x_1 x_2$ 的对称点，即 $P_1\left(x_1^0, x_2^0,-x_3^0\right)$ （如图 7－5），则当 $x \in \partial R _{+}^3$ 时，有

$$
\frac{1}{|x-y|}=\frac{1}{\left|x-x^0\right|} .
$$

![图片](/uploads/2025-04/ed47ab.jpg)
 
 所以，所求的 Green 函数为

$$
G\left(x ; x^0\right)=\frac{1}{4 \pi\left|x-x^0\right|}-\frac{1}{4 \pi|x-y|},
$$

它在 $\partial R _{+}^3$ 的外法向（即 $x_3$ 轴的负向）导数为

$$
\begin{aligned}
\left.\frac{\partial G\left(x ; x^0\right)}{\partial \nu}\right|_{\partial R _{+}^3} & =-\left.\frac{\partial G\left(x ; x^0\right)}{\partial x_3}\right|_{x_3=0}=-\left.\frac{1}{4 \pi} \frac{\partial}{\partial x_3}\left(\frac{1}{\left|x-x^0\right|}-\frac{1}{|x-y|}\right)\right|_{x_3=0} \\
& =\left.\frac{1}{4 \pi}\left(\frac{x_3-x_3^0}{\left|x-x^0\right|^3}-\frac{x_3+x_3^0}{|x-y|^3}\right)\right|_{x_3=0} \\
& =-\frac{1}{2 \pi} \frac{x_3^0}{\left[\left(x_1-x_1^0\right)^2+\left(x_2-x_2^0\right)^2+\left(x_3^0\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}
\end{aligned}
$$

于是由（2．8）式我们得到 Dirichlet 问题（3．16）的解为

$$
\begin{aligned}
u\left(x^0\right) & =-\iint_{\partial R _{+}^3} \varphi(x) \frac{\partial G\left(x ; x^0\right)}{\partial \nu} d S(x) \\
& =\frac{x_3^0}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\varphi\left(x_1, x_2\right)}{\left[\left(x_1-x_1^0\right)^2+\left(x_2-x_2^0\right)^2+\left(x_3^0\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}} d x_1 d x_2
\end{aligned}
$$

容易验证在一定条件下，（3．17）式定义的函数确实是 Dirichlet 问题（3．16）的解．
定理 7.4 若 $\varphi\left(x_1, x_2\right)$ 在 $R ^2$ 上有界连续，则函数

$$
u(x)=\frac{x_3}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\varphi(\xi, \eta) d \xi d \eta}{\left[\left(x_1-\xi\right)^2+\left(x_2-\eta\right)^2+x_3^2\right]^{\frac{3}{2}}}
$$

属于 $C^{\infty}\left( R _{+}^3\right)$ ，且是 Dirichlet 问题（3．16）的解．

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