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偏微分方程
第七篇 椭圆型方程
Harnack 不等式及其应用
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2025-04-30 08:01
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Harnack 不等式及其应用
3．3 Harnack 不等式及其应用 设 $u(x)$ 在区域 $\Omega$ 内是一个非负的调和函数，对于 $\Omega$ 内的任一点 $M_0\left(x^0\right)$ ，作一个以 $M_0$ 为心 $R$ 为半径的球 $K$ ，使它完全位于区域 $\Omega$ 内，记球 $K$ 的表面为 $S$ ，再在球 $K$ 内任取一点 $M(x)$ ，分别用 $\rho$ 和 $r$ 表示从点 $M$ 到球心 $M_0$ 及球面 $S$ 上点 $P(y)$ 的距离，如图 7－6．  显然有 $\rho<R$ ，于是有不等式 $$ R-\rho \leqslant r \leqslant R+\rho $$ 成立，从而推得 $$ \frac{1}{\omega_n R} \frac{R-\rho}{(R+\rho)^{n-1}} \leqslant \frac{1}{\omega_n R} \frac{R^2-\rho^2}{r^n} \leqslant \frac{1}{\omega_n R} \frac{R+\rho}{(R-\rho)^{n-1}} . $$ 利用 Poisson 公式（3．15）可推得 $$ \frac{R^{n-2}(R-\rho)}{(R+\rho)^{n-1}} \frac{1}{\omega_n R^{n-1}} \int_S u(y) d S(y) \leqslant u(x) \leqslant \frac{R^{n-2}(R+\rho)}{(R-\rho)^{n-1}} \frac{1}{\omega_n R^{n-1}} \int_S u(y) d S(y) $$ 再应用平均值公式（1．14），即可得到 $$ \frac{R^{n-2}(R-\rho)}{(R+\rho)^{n-1}} u\left(x^0\right) \leqslant u(x) \leqslant \frac{R^{n-
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