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Harnack 不等式及其应用

3．3 Harnack 不等式及其应用
设 $u(x)$ 在区域 $\Omega$ 内是一个非负的调和函数，对于 $\Omega$ 内的任一点 $M_0\left(x^0\right)$ ，作一个以 $M_0$ 为心 $R$ 为半径的球 $K$ ，使它完全位于区域 $\Omega$ 内，记球 $K$ 的表面为 $S$ ，再在球 $K$ 内任取一点 $M(x)$ ，分别用 $\rho$ 和 $r$ 表示从点 $M$ 到球心 $M_0$ 及球面 $S$ 上点 $P(y)$ 的距离，如图 7－6．
 ![图片](/uploads/2025-04/b33d33.jpg)
 显然有 $\rho<R$ ，于是有不等式

$$
R-\rho \leqslant r \leqslant R+\rho
$$

成立，从而推得

$$
\frac{1}{\omega_n R} \frac{R-\rho}{(R+\rho)^{n-1}} \leqslant \frac{1}{\omega_n R} \frac{R^2-\rho^2}{r^n} \leqslant \frac{1}{\omega_n R} \frac{R+\rho}{(R-\rho)^{n-1}} .
$$

利用 Poisson 公式（3．15）可推得

$$
\frac{R^{n-2}(R-\rho)}{(R+\rho)^{n-1}} \frac{1}{\omega_n R^{n-1}} \int_S u(y) d S(y) \leqslant u(x) \leqslant \frac{R^{n-2}(R+\rho)}{(R-\rho)^{n-1}} \frac{1}{\omega_n R^{n-1}} \int_S u(y) d S(y)
$$

再应用平均值公式（1．14），即可得到

$$
\frac{R^{n-2}(R-\rho)}{(R+\rho)^{n-1}} u\left(x^0\right) \leqslant u(x) \leqslant \frac{R^{n-2}(R+\rho)}{(R-\rho)^{n-1}} u\left(x^0\right)
$$

加强不等式可得

$$
\left(\frac{R-\rho}{R+\rho}\right)^{n-1} u\left(x^0\right) \leqslant u(x) \leqslant\left(\frac{R+\rho}{R-\rho}\right)^{n-1} u\left(x^0\right)
$$

注 7.8 对于平面上圆内的非负调和函数，我们也可以建立相应的 Harnack 不等式。

下面给出 Harnack 不等式的一个直接应用，即 Liouville（刘维尔）定理．
定理 7.5 （Liouville 定理）在全空间上有下界（或有上界）的调和函数必为常数．

证 我们仅对有下界的调和函数证明定理 7．5，对有上界的调和函数可类似地证明．设在 $R ^n$ 上 $u(x) \geqslant-M$ ，令 $v(x)=u(x)+M$ ，则 $v(x)$ 为非负调和函数．对于以坐标原点为心任意 $R$ 为半径的球 $B_R(0)$ ，应用 Harnack 不等式，得

$$
\left(\frac{R-\rho}{R+\rho}\right)^{n-1} v(0) \leqslant v(x) \leqslant\left(\frac{R+\rho}{R-\rho}\right)^{n-1} v(0) .
$$

令 $R \rightarrow \infty$ ，得 $v(x)=v(0)$ ．因此 $u(x)=v(0)-M$ 为常数．
定理证毕．
称公式（3．21）为 Harnack 不等式．

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