最后更新: 2025-04-30 08:09 查看: 16 次反馈同步训练

Fourier 变换的应用

§2 Fourier 变换的应用

在这一节，我们将利用 Fourier 变换来求解三类典型偏微分方程的定解问题．

例 8.7 求解热传导方程的 Cauchy 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_t-a^2 u_{x x}=0, \quad x \in R , \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x), \quad x \in R
\end{array}\right.
$$

解 在第六章 $\S 1$ ，应用相似变换法，我们已经给出了 Cauchy 问题（2．1）的求解公式．在这里我们将用 Fourier 变换来求解 Cauchy 问题（2．1）．

对 Cauchy 问题（2．1）作 Fourier 变换，并利用性质8．1 及推论8．1，有

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \widehat{u}(\xi, t)+a^2 \xi^2 \widehat{u}(\xi, t)=0, \quad \xi \in R , \quad t>0 \\
\left.\widehat{u}(\xi, t)\right|_{t=0}=\widehat{\varphi}(\xi), \quad \xi \in R
\end{array}\right.
$$

其中 $\widehat{u}(\xi, t), \widehat{\varphi}(\xi)$ 分别是 $u(x, t)$ 及 $\varphi(x)$ 关于 $x$ 的 Fourier 变换．
解常微分方程的 Cauchy 问题（2．2），得

$$
\widehat{u}(\xi, t)=\widehat{\varphi}(\xi) e^{-a^2 \xi^2 t}
$$

对（2．3）式求 Fourier 逆变换，得

$$
u(x, t)=\left(\widehat{\varphi}(\xi) e^{-a^2 \xi^2 t}\right)^{\vee}
$$

设

$$
(g(x, t))^{\wedge}=e^{-a^2 \xi^2 t},
$$

由 $\S 1$ 例 8.5 知，

$$
g(x, t)=\frac{1}{a \sqrt{2 t}} e^{-\frac{x^2}{4 a^2 t}} .
$$

于是，由性质 8.7 及（2．4），（2．5），（2．6）三式得

$$
u(x, t)=(\widehat{\varphi} \widehat{g})^{\vee}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \varphi * g=\frac{1}{2 a \sqrt{\pi t}} \int_{-\infty}^{\infty} \varphi(\xi) e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4 a^2 t}} d \xi .
$$

这就是我们在第六章 $\S 1$ 所得到的关于热传导方程 Cauchy 问题（2．1）的 Pois－ son 公式（1．11）．

注 8.4 对于高维热传导方程的 Cauchy 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_t-a^2\left(u_{x_1 x_1}+u_{x_2 x_2}+\cdots+u_{x_n x_n}\right)=0, \quad x \in R ^n, \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x), \quad x \in R ^n
\end{array}\right.
$$

我们同样可以利用高维 Fourier 变换求出它的解的表达式：

$$
\begin{aligned}
u(x, t)= & \frac{1}{\left(4 \pi a^2 t\right)^{\frac{n}{2}}} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} \varphi\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right) . \\
& e^{-\frac{\left(x_1-\xi_1\right)^2+\left(x_2-\xi_2\right)^2+\cdots+\left(x_n-\xi_n\right)^2}{4 a^2 t}} d \xi_1 d \xi_2 \cdots d \xi_n
\end{aligned}
$$

例 8.8 求解一维齐次波动方程的 Cauchy 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2 u_{x x}=0, \quad x \in R , \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi(x), \quad x \in R
\end{array}\right.
$$

解 在第五章 $\S 1$ ，应用特征线法，我们已经给出了 Cauchy 问题（2．10）的求解公式．在这里我们将用 Fourier 变换来求解 Cauchy 问题（2．10）。

对 Cauchy 问题（2．10）作 Fourier 变换，并利用性质8．1和推论8．1，有

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d^2}{d t^2} \widehat{u}(\xi, t)+a^2 \xi^2 \widehat{u}(\xi, t)=0, \quad \xi \in R , \quad t>0 \\
\left.\widehat{u}(\xi, t)\right|_{t=0}=\widehat{\varphi}(\xi),\left.\quad \widehat{u}_t(\xi, t)\right|_{t=0}=\widehat{\psi}(\xi), \quad \xi \in R
\end{array}\right.
$$

其中 $\widehat{u}(\xi, t), \widehat{\varphi}(\xi), \widehat{\psi}(\xi)$ 分别是 $u(x, t), \varphi(x)$ 及 $\psi(x)$ 关于 $x$ 的 Fourier 变换．
解常微分方程的 Cauchy 问题（2．11），得

$$
\widehat{u}(\xi, t)=\frac{1}{2} \widehat{\varphi}(\xi)\left(e^{i a \xi t}+e^{-i a \xi t}\right)-\frac{i}{2 a \xi} \widehat{\psi}(\xi)\left(e^{i a \xi t}-e^{-i a \xi t}\right)
$$

利用性质 8.2 ，得

$$
\left(\widehat{\varphi}(\xi) e^{ \pm i a \xi t}\right)^{\vee}=\left[(\varphi(x \pm a t))^{\wedge}\right]^{\vee}=\varphi(x \pm a t)
$$

从而可以求出

$$
\left[\frac{1}{2} \widehat{\varphi}(\xi)\left(e^{i a \xi t}+e^{-i a \xi t}\right)\right]^{\vee}=\frac{1}{2}[\varphi(x+a t)+\varphi(x-a t)]
$$

另一方面，由 Fourier 变换的反演公式得

$$
\begin{aligned}
{\left[\frac{i}{2 a \xi} \widehat{\psi}(\xi)\left(e^{i a \xi t}-e^{-i a \xi t}\right)\right]^{\vee} } & =\frac{1}{\sqrt{2 \pi

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