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Fourier 变换的应用

§2 Fourier 变换的应用

在这一节，我们将利用 Fourier 变换来求解三类典型偏微分方程的定解问题．

例 8.7 求解热传导方程的 Cauchy 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_t-a^2 u_{x x}=0, \quad x \in R , \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x), \quad x \in R
\end{array}\right.
$$

解 在第六章 $\S 1$ ，应用相似变换法，我们已经给出了 Cauchy 问题（2．1）的求解公式．在这里我们将用 Fourier 变换来求解 Cauchy 问题（2．1）．

对 Cauchy 问题（2．1）作 Fourier 变换，并利用性质8．1 及推论8．1，有

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \widehat{u}(\xi, t)+a^2 \xi^2 \widehat{u}(\xi, t)=0, \quad \xi \in R , \quad t>0 \\
\left.\widehat{u}(\xi, t)\right|_{t=0}=\widehat{\varphi}(\xi), \quad \xi \in R
\end{array}\right.
$$

其中 $\widehat{u}(\xi, t), \widehat{\varphi}(\xi)$ 分别是 $u(x, t)$ 及 $\varphi(x)$ 关于 $x$ 的 Fourier 变换．
解常微分方程的 Cauchy 问题（2．2），得

$$
\widehat{u}(\xi, t)=\widehat{\varphi}(\xi) e^{-a^2 \xi^2 t}
$$

对（2．3）式求 Fourier 逆变换，得

$$
u(x, t)=\left(\widehat{\varphi}(\xi) e^{-a^2 \xi^2 t}\right)^{\vee}
$$

设

$$
(g(x, t))^{\wedge}=e^{-a^2 \xi^2 t},
$$

由 $\S 1$ 例 8.5 知，

$$
g(x, t)=\frac{1}{a \sqrt{2 t}} e^{-\frac{x^2}{4 a^2 t}} .
$$

于是，由性质 8.7 及（2．4），（2．5），（2．6）三式得

$$
u(x, t)=(\widehat{\varphi} \widehat{g})^{\vee}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \varphi * g=\frac{1}{2 a \sqrt{\pi t}} \int_{-\infty}^{\infty} \varphi(\xi) e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4 a^2 t}} d \xi .
$$

这就是我们在第六章 $\S 1$ 所得到的关于热传导方程 Cauchy 问题（2．1）的 Pois－ son 公式（1．11）．

注 8.4 对于高维热传导方程的 Cauchy 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_t-a^2\left(u_{x_1 x_1}+u_{x_2 x_2}+\cdots+u_{x_n x_n}\right)=0, \quad x \in R ^n, \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x), \quad x \in R ^n
\end{array}\right.
$$

我们同样可以利用高维 Fourier 变换求出它的解的表达式：

$$
\begin{aligned}
u(x, t)= & \frac{1}{\left(4 \pi a^2 t\right)^{\frac{n}{2}}} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} \varphi\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right) . \\
& e^{-\frac{\left(x_1-\xi_1\right)^2+\left(x_2-\xi_2\right)^2+\cdots+\left(x_n-\xi_n\right)^2}{4 a^2 t}} d \xi_1 d \xi_2 \cdots d \xi_n
\end{aligned}
$$

例 8.8 求解一维齐次波动方程的 Cauchy 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2 u_{x x}=0, \quad x \in R , \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi(x), \quad x \in R
\end{array}\right.
$$

解 在第五章 $\S 1$ ，应用特征线法，我们已经给出了 Cauchy 问题（2．10）的求解公式．在这里我们将用 Fourier 变换来求解 Cauchy 问题（2．10）。

对 Cauchy 问题（2．10）作 Fourier 变换，并利用性质8．1和推论8．1，有

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d^2}{d t^2} \widehat{u}(\xi, t)+a^2 \xi^2 \widehat{u}(\xi, t)=0, \quad \xi \in R , \quad t>0 \\
\left.\widehat{u}(\xi, t)\right|_{t=0}=\widehat{\varphi}(\xi),\left.\quad \widehat{u}_t(\xi, t)\right|_{t=0}=\widehat{\psi}(\xi), \quad \xi \in R
\end{array}\right.
$$

其中 $\widehat{u}(\xi, t), \widehat{\varphi}(\xi), \widehat{\psi}(\xi)$ 分别是 $u(x, t), \varphi(x)$ 及 $\psi(x)$ 关于 $x$ 的 Fourier 变换．
解常微分方程的 Cauchy 问题（2．11），得

$$
\widehat{u}(\xi, t)=\frac{1}{2} \widehat{\varphi}(\xi)\left(e^{i a \xi t}+e^{-i a \xi t}\right)-\frac{i}{2 a \xi} \widehat{\psi}(\xi)\left(e^{i a \xi t}-e^{-i a \xi t}\right)
$$

利用性质 8.2 ，得

$$
\left(\widehat{\varphi}(\xi) e^{ \pm i a \xi t}\right)^{\vee}=\left[(\varphi(x \pm a t))^{\wedge}\right]^{\vee}=\varphi(x \pm a t)
$$

从而可以求出

$$
\left[\frac{1}{2} \widehat{\varphi}(\xi)\left(e^{i a \xi t}+e^{-i a \xi t}\right)\right]^{\vee}=\frac{1}{2}[\varphi(x+a t)+\varphi(x-a t)]
$$

另一方面，由 Fourier 变换的反演公式得

$$
\begin{aligned}
{\left[\frac{i}{2 a \xi} \widehat{\psi}(\xi)\left(e^{i a \xi t}-e^{-i a \xi t}\right)\right]^{\vee} } & =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{i}{2 a \xi} \widehat{\psi}(\xi)\left(e^{i a \xi t}-e^{-i a \xi t}\right) e^{i x \xi} d \xi \\
& =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \widehat{\psi}(\xi) \frac{i}{2 a \xi}\left(\int_{x-a t}^{x+a t} i \xi e^{i \xi \tau} d \tau\right) d \xi \\
& =-\frac{1}{2 a} \int_{x-a t}^{x+a t}\left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \widehat{\psi}(\xi) e^{i \xi \tau} d \xi\right) d \tau \\
& =-\frac{1}{2 a} \int_{x-a t}^{x+a t} \psi(\tau) d \tau
\end{aligned}
$$

对（2．12）式求 Fourier 逆变换，并将（2．13）式和（2．14）式代入得

$$
u(x, t)=\frac{1}{2}[\varphi(x+a t)+\varphi(x-a t)]+\frac{1}{2 a} \int_{x-a t}^{x+a t} \psi(\tau) d \tau
$$

这就是我们在第五章 $\S 1$ 所得到的关于一维齐次波动方程方程 Cauchy 问题（1．1）， （1．2）的 d＇Alembert 公式（1．10）．

例 8.9 设 $\varphi \in L^1( R )$ ，求半平面 $y>0$ 上的 Dirichlet 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{x x}+u_{y y}=0, \quad x \in R , \quad y>0 \\
\left.u\right|_{y=0}=\varphi(x), \quad x \in R
\end{array}\right.
$$

关于 $x$ 绝对可积的有界解．

解 对 Cauchy 问题（2．15）关于 $x$ 作 Fourier 变换，并利用性质 8.1 和推论 8．1，有

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d^2}{d y^2} \widehat{u}(\xi, y)-\xi^2 \widehat{u}(\xi, y)=0, \quad \xi \in R , \quad y>0 \\
\left.\widehat{u}(\xi, y)\right|_{y=0}=\widehat{\varphi}(\xi), \quad \xi \in R
\end{array}\right.
$$

其中 $\widehat{u}(\xi, y), \widehat{\varphi}(\xi)$ 分别是 $u(x, y), \varphi(x)$ 关于 $x$ 的 Fourier 变换．
解问题（2．16）中的常微分方程，得通解

$$
\widehat{u}(\xi, y)=A(\xi) e^{\xi y}+B(\xi) e^{-\xi y}
$$

因为 $u(x, y)$ 关于 $x$ 绝对可积，从而 $\widehat{u}(\xi, y)$ 有界，所以当 $\xi>0$ 时，$A(\xi)=0$ ；当 $\xi<0$ 时，$B(\xi)=0$ ．于是 $(2.17)$ 式可写成

$$
\widehat{u}(\xi, y)= \begin{cases}B(\xi) e^{-\xi y}, & \xi>0 \\ A(\xi) e^{\xi y}, & \xi<0\end{cases}
$$

由边界条件 $\left.\widehat{u}(\xi, y)\right|_{y=0}=\widehat{\varphi}(\xi)$ 知，对任意的 $\xi \in R$ ，有

$$
\widehat{u}(\xi, y)=\widehat{\varphi}(\xi) e^{-|\xi| y}
$$

对（2．18）式求 Fourier 逆变换，得

$$
u(x, y)=\left(\widehat{\varphi}(\xi) e^{-|\xi| y}\right)^{\vee}
$$

设

$$
(g(x, y))^{\wedge}=e^{-|\xi| y}
$$

则由 Fourier 变换的反演公式，得

$$
\begin{aligned}
g(x, y) & =\left(e^{-|\xi| y}\right)^{\vee}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|\xi| y} e^{i \xi x} d \xi \\
& =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|\xi| y}(\cos \xi x+i \sin \xi x) d \xi \\
& =\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^{\infty} e^{-\xi y} \cos \xi x d \xi \\
& =\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{y}{x^2+y^2}
\end{aligned}
$$

于是，由性质 8.7 及 $(2.19),(2.20),(2.21)$ 三式，得

$$
u(x, y)=(\widehat{\varphi} \widehat{g})^{\vee}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \varphi * g=\frac{y}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\varphi(\xi)}{(x-\xi)^2+y^2} d \xi
$$

综合以上例题，我们可以看出，用 Fourier 变换求解常系数线性偏微分方程的定解问题可分为如下三步：

第一步：将方程与定解条件关于某些变量作 Fourier 变换，从而将偏微分方程定解问题化为常微分方程的 Cauchy 问题；

第二步：求解所得的常微分方程的 Cauchy 问题；
第三步：对所得的常微分方程的 Cauchy 问题的解进行 Fourier 逆变换，从而得原问题的解．

一般地说，在实际求解中，第三步是最困难的．

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