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高维空间的 Fourier 变换与例题

1.2 高维空间的 Fourier 变换

为了求解高维空间的常系数线性偏微分方程，我们还需介绍高维空间的 Fourier变换．

定义 8.2 设 $f(x) \in L^1\left( R ^n\right)$ ，那么积分

$$
\frac{1}{(2 \pi)^{\frac{n}{2}}} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\left(\xi_1 x_1+\xi_2 x_2+\cdots+\xi_n x_n\right)} d x_1 d x_2 \cdots d x_n=\widehat{f}\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right)
$$

有意义，称为 $f(x)$ 的 Fourier 变换，记为 $\widehat{f}\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right)$ 或 $(f(x))^{\wedge}$ ．】

定理 8.2 若 $f(x) \in C^1\left( R ^n\right) \cap L^1\left( R ^n\right)$ ，则对任意固定的 $x \in R ^n$ ，

$$
\begin{aligned}
\left(\widehat{f}\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right)\right)^{\vee}= & \lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{(2 \pi)^{\frac{n}{2}}} \int_{-N}^N \int_{-N}^N \cdots \int_{-N}^N \widehat{f}\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right) \\
& e^{i\left(\xi_1 x_1+\xi_2 x_2+\cdots+\xi_n x_n\right)} d \xi_1 d \xi_2 \cdots d \xi_n \\
= & f(x)
\end{aligned}
$$

其中 $\left(\widehat{f}\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right)\right)^{\vee}$ 表示函数 $\widehat{f}\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right)$ 的 Fourier 逆变换．
容易证明关于一维 Fourier 变换的性质 8．1－8．8 对于高维 Fourier 变换仍然成立．此外，根据 Fourier 变换的定义 8.2 ，我们还有下面的结论：

性质 8.9 若 $f(x)=f_1\left(x_1\right) f_2\left(x_2\right) \cdots f_n\left(x_n\right)$ ，其中 $f_i\left(x_i\right) \in L^1( R )(i=$ $1,2, \cdots, n)$ ，则有

$$
\widehat{f}\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right)=\prod_{i=1}^n \widehat{f}_i\left(\xi_i\right)
$$

1.3 典型例题

下面我们通过几个典型例题来说明如何利用 Fourier 变换的定义及基本性质求解一些具体函数的 Fourier 变换．

例 8.1 设

$$
f_1(x)= \begin{cases}1, & |x| \leqslant A \\ 0, & |x|>A\end{cases}
$$

求 $\widehat{f}_1(\xi)$ ．
解 由定义 8.1 知

$$
\widehat{f}_1(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-A}^A e^{-i \xi x} d x=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\sin \xi A}{\xi} .
$$

例 8.2 设

$$
f_2(x)= \begin{cases}e^{-x}, & x>0 \\ 0, & x<0\end{cases}
$$

求 $\widehat{f}_2(\xi)$ ．
解 由定义 8.1 知

$$
\widehat{f_2}(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_0^{\infty} e^{-(1+i \xi) x} d x=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \frac{1}{1+i \xi}
$$
例 8.3 设 $f_3(x)= e ^{-|x|}$ ，求 $\widehat{f}_3(\xi)$ ．
解 由于 $f_3(x)=f_2(x)+f_2(-x)$ ，由性质 8.1 及性质 8.6 可得

$$
\begin{aligned}
\widehat{f}_3(\xi) & =\widehat{f}_2(\xi)+\left(f_2(-x)\right)^{\wedge}=\widehat{f}_2(\xi)+\widehat{f}_2(-\xi) \\
& =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\left(\frac{1}{1+i \xi}+\frac{1}{1-i \xi}\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \frac{2}{1+\xi^2}
\end{aligned}
$$

例 8.4 求 Gauss（高斯）函数 $f_4(x)= e ^{-x^2}$ 的 Fourier 变换 $\widehat{f}_4(\xi)$ ．解 由定义 8.1 得

$$
\begin{aligned}
\widehat{f}_4(\xi) & =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} e^{-i \xi x} d x=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\left(x+\frac{1}{2} i \xi\right)^2} e^{-\frac{1}{4} \xi^2} d x \\
& =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{4} \xi^2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\left(x+\frac{1}{2} i\right)^2} d x
\end{aligned}
$$

类似于例 6.1 的计算得

$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\left(x+\frac{1}{2} i \xi\right)^2} d x=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} d x=\sqrt{\pi}
$$

于是可得

$$
\widehat{f}_4(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{1}{4} \xi^2}
$$

例 8.5 设 $f_5(x)= e ^{-A x^2}$（ $A$ 为正常数），求 $\widehat{f}_5(\xi)$ ．
解 由性质8．6，有

$$
\widehat{f}_5(\xi)=\left(f_4(\sqrt{A} x)\right)^{\wedge}=\frac{1}{\sqrt{A}} \widehat{f}_4\left(\frac{\xi}{\sqrt{A}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2 A}} e^{-\frac{\xi^2}{4 A}} .
$$

例 8.6 求函数 $f_6(x)= e ^{-A\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)}$（ $A$ 为正常数）的 Fourier 变换 $\widehat{f}\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right)$ ．

解 利用性质 8.9 及例 8.5 的结果，有

$$
\widehat{f}_6\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right)=\prod_{i=1}^n\left(e^{-A x_i^2}\right)^{\wedge}=\prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2 A}} e^{-\frac{\xi_1^2}{4 A}}=\frac{1}{(2 A)^{\frac{n}{2}}} \exp \left(-\frac{1}{4 A} \sum_{i=1}^n \xi_i^2\right)
$$

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