最后更新: 2025-04-30 08:07 查看: 15 次反馈同步训练

高维空间的 Fourier 变换与例题

1.2 高维空间的 Fourier 变换

为了求解高维空间的常系数线性偏微分方程，我们还需介绍高维空间的 Fourier变换．

定义 8.2 设 $f(x) \in L^1\left( R ^n\right)$ ，那么积分

$$
\frac{1}{(2 \pi)^{\frac{n}{2}}} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\left(\xi_1 x_1+\xi_2 x_2+\cdots+\xi_n x_n\right)} d x_1 d x_2 \cdots d x_n=\widehat{f}\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right)
$$

有意义，称为 $f(x)$ 的 Fourier 变换，记为 $\widehat{f}\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right)$ 或 $(f(x))^{\wedge}$ ．】

定理 8.2 若 $f(x) \in C^1\left( R ^n\right) \cap L^1\left( R ^n\right)$ ，则对任意固定的 $x \in R ^n$ ，

$$
\begin{aligned}
\left(\widehat{f}\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right)\right)^{\vee}= & \lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{(2 \pi)^{\frac{n}{2}}} \int_{-N}^N \int_{-N}^N \cdots \int_{-N}^N \widehat{f}\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right) \\
& e^{i\left(\xi_1 x_1+\xi_2 x_2+\cdots+\xi_n x_n\right)} d \xi_1 d \xi_2 \cdots d \xi_n \\
= & f(x)
\end{aligned}
$$

其中 $\left(\widehat{f}\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right)\right)^{\vee}$ 表示函数 $\widehat{f}\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right)$ 的 Fourier 逆变换．
容易证明关于一维 Fourier 变换的性质 8．1－8．8 对于高维 Fourier 变换仍然成立．此外，根据 Fourier 变换的定义 8.2 ，我们还有下面的结论：

性质 8.9 若 $f(x)=f_1\left(x_1\right) f_2\left(x_2\right) \cdots f_n\left(x_n\right)$ ，其中 $f_i\left(x_i\right) \in L^1( R )(i=$ $1,2, \cdots, n)$ ，则有

$$
\widehat{f}\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right)=\prod_{i=1}^n \widehat{f}_i\left(\xi_i\right)
$$

1.3 典型例题

下面我们通过几个典型例题来说明如何利用 Fourier 变换的定义及基本性质求解一些具体函数的 Fourier 变换．

例 8.1 设

$$
f_1(x)= \begin{cases}1, & |x| \leqslant A \\ 0, & |x|>A\end{cases}
$$

求 $\widehat{f}_1(\xi)$ ．
解 由定义 8.1 知

$$
\widehat{f}_1(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-A}^A e^{-i \xi x} d x=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\sin \xi A}{\xi} .
$$

例 8.2 设

$$
f_2(x)= \begin{cases}e^{-x}, & x>0 \\ 0, & x<0\end{cases}
$$

求 $\widehat{f}_2(\xi)$ ．
解 由定义 8.1 知

$$
\widehat{f_2}(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_0^{\infty} e^{-(1+i \xi) x} d x=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \frac{1}{1+i \xi}
$$
例 8.3 设 $f_3(x)= e ^{-|x|}$ ，求 $\widehat{f}_

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