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Fourier 变换及其性质

§1 Fourier 变换及其性质

在学习常微分方程的求解时，我们介绍过 Laplace 变换，它将一个常系数的线性常微分方程的求解转化为求解函数方程及对该函数方程的解实施 Laplace 变换的逆运算．那么是否有其他形式的积分变换，能将常系数的线性偏微分方程，特别是三类典型的偏微分方程的求解变得简单呢？这就是我们下面将要介绍的 Fourier变换。
1.1 一维空间的 Fourier 变换

1．1．1 Fourier 变换及其逆变换
定义 8.1 若 $f(x) \in L^1( R )$ ，则对任意的 $\xi \in R$ ，积分

$$
\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \xi x} d x=\widehat{f}(\xi)
$$

有意义，称它为 $f(x)$ 的 Fourier 变换，记为 $\widehat{f}(\xi)$ 或 $(f(x))^{\wedge}$ ．

定理 8.1 （Fourier 积分定理）若 $f(x) \in L^1( R ) \cap C^1( R )$ ，则对任意固定的 $x \in R$ ，

$$
\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-N}^N \widehat{f}(\xi) e^{i \xi x} d \xi=f(x)
$$

证 由于 $f(x) \in L^1( R )$ ，因此含参变量的积分

$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \xi x} d x
$$

对 $\xi \in R$ 一致收敛，且为 $\xi$ 的连续函数．从而由 Fubini（富比尼）定理有

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-N}^N \widehat{f}(\xi) e^{i \xi x} d \xi & =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(\eta) d \eta \int_{-N}^N e^{i \xi(x-\eta)} d \xi \\
& =\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(\eta) \frac{\sin N(x-\eta)}{x-\eta} d \eta \\
& =\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(\eta+x) \frac{\sin N \eta}{\eta} d \eta
\end{aligned}
$$

由 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin \eta}{\eta} d \eta=\pi$ ，易知对任意的 $x \in R$ ，

$$
f(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \frac{\sin N \eta}{\eta} d \eta
$$

且对任意的 $\varepsilon>0$ ，存在 $M_1>0$ ，使得当 $M \geqslant M_1$ 时，

$$
\left|\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{-M} f(x) \frac{\sin N \eta}{\eta} d \eta\right|<\frac{\varepsilon}{8}, \quad\left|\frac{1}{\pi} \int_M^{\infty} f(x) \frac{\sin N \eta}{\eta} d \eta\right|<\frac{\varepsilon}{8} .
$$

于是对上面给定的 $M$ ，

$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-N}^N \widehat{f}(\xi) e^{i \xi x} d \xi-f(x)= \frac{1}{\pi} \\
& \int_{-\infty}^{\infty}(f(\eta+x)-f(x)) \frac{\sin N \eta}{\eta} d \eta \\
&= \frac{1}{\pi}\left(\int_{-\infty}^{-M}(f(\eta+x)-f(x)) \frac{\sin N \eta}{\eta} d \eta+\right. \\
& \int_{-M}^M(f(\eta+x)-f(x)) \frac{\sin N \eta}{\eta} d \eta+ \\
&\left.\int_M^{\infty}(f(\eta+x)-f(x)) \frac{\sin N \eta}{\eta} d \eta\right) \\
&= J_1+J_2+J_3
\end{aligned}
$$

下面讨论当 $N \rightarrow \infty$ 时，$J_i(i=1,2,3)$ 的极限．首先易知

$$
\begin{aligned}
\left|J_1\right| & \leqslant \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{-M}|f(\eta+x)| \frac{|\sin N \eta|}{|\eta|} d \eta+\left|\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{-M} f(x) \frac{\sin N \eta}{\eta} d \eta\right| \\
& \leqslant \frac{1}{\pi M} \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)| d x+\frac{\varepsilon}{8} .
\end{aligned}
$$

同理可证

$$
\left|J_3\right| \leqslant \frac{1}{\pi M} \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)| d x+\frac{\varepsilon}{8}
$$

对已给定的 $\varepsilon>0$ ，存在 $M_2>0$ ，当 $M \geqslant M_2$ 时，

$$
\frac{1}{\pi M} \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)| d x<\frac{\varepsilon}{8}
$$

于是，当 $M \geqslant M_0=\max \left\{M_1, M_2\right\}$ 时，

$$
\left|J_1\right|<\frac{\varepsilon}{4}, \quad\left|J_3\right|<\frac{\varepsilon}{4}
$$

其次，改写 $J_2$ 如下：

$$
J_2=\frac{1}{\pi} \int_{-M}^M \frac{f(\eta+x)-f(x)}{\eta} \sin N \eta d \eta=\frac{1}{\pi} \int_{-M}^M g(x, \eta) \sin N \eta d \eta
$$

其中 $g(x, \eta)=\int_0^1 f^{\prime}(x+\tau \eta) d \tau$ 是 $x, \eta$ 的连续函数．

对固定的 $M\left(\geqslant M_0\right)$ ，取 $N$ 充分大，由 Riemann－Lebesgue（黎曼－勒贝格）引理（见附录 IV），有

$$
\left|J_2\right|=\left|\frac{1}{\pi} \int_{-M}^M g(x, \eta) \sin N \eta d \eta\right|<\frac{\varepsilon}{4} .
$$

将（1．4），（1．5）两式代入（1．3）式，易知对充分大的 $N$ ，有

$$
\left|\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-N}^N \widehat{f}(\xi) e^{i \xi x} d \xi-f(x)\right|<\varepsilon .
$$

定理证毕．
公式（1．2）称为反演公式．左端的积分表示取 Cauchy 主值．由此所定义的变换称为 Fourier 逆变换，记为 $(\widehat{f}(\xi))^{\vee}$ ，因此（1．2）式亦可写成

$$
(\widehat{f})^v=f .
$$

即一个属于 $L^1( R ) \cap C^1( R )$ 的函数作了一次 Fourier 变换以后，再接着作一次 Fourier逆变换，就回到这个函数本身．

注 8.1 在应用 Fourier 变换的反演公式求解问题时，我们先不必深究上述定理的条件是否满足，而是直接应用它导出问题的形式解，然后再直接验证，以确定这个形式解就是＂真解＂。
1．1．2 基本性质
在运用 Fourier 变换求解定解问题之前，我们先介绍 Fourier 变换的一些基本性质。

性质 8.1 （线性性质）若 $f(x), g(x) \in L^1( R )$ ，则对任意常数 $\alpha_1, \alpha_2$ ，有

$$
\left(\alpha_1 f+\alpha_2 g\right)^{\wedge}=\alpha_1 \widehat{f}+\alpha_2 \widehat{g}
$$

性质 8.2 （平移性质）若 $f(x) \in L^1( R )$ ，则对任意常数 $a$ ，有

$$
(f(x-a))^{\wedge}=e^{-i a \xi} \widehat{f}(\xi)
$$

性质 8.3 （对称性质）若 $f(x) \in L^1( R )$ ，则

$$
(f(x))^{\vee}=\widehat{f}(-\xi)
$$

以上三条性质均可由 Fourier 变换及其逆变换的定义直接推出．请读者自己完成．
性质8．4（微商性质）若 $f(x), f^{\prime}(x) \in L^1( R ) \cap C( R )$ ，则

$$
\left(\frac{d f}{d x}\right)^{\wedge}=i \xi \widehat{f}
$$

证 由假设 $f(x), f^{\prime}(x) \in L^1( R ) \cap C( R )$ 知，

$$
\lim _{|x| \rightarrow \infty} f(x)=0
$$

事实上，由 $f^{\prime}(x) \in C( R )$ ，有

$$
f(x)=f(0)+\int_0^x f^{\prime}(t) d t
$$

因为 $f^{\prime}(x) \in L^1( R )$ ，故有

$$
\lim _{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=a_{ \pm}=f(0)+\int_0^{ \pm \infty} f^{\prime}(t) d t
$$

又因 $f(x) \in L^1( R )$ ，由反证法易知 $a_{ \pm}=0$ ，即（1．10）式成立．
由（1．10）式，利用分部积分公式，有

$$
\left(\frac{d f}{d x}\right)^{\wedge}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f^{\prime}(x) e^{-i \xi x} d x=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} i \xi \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \xi x} d x=i \xi \widehat{f}(\xi)
$$

证 由假设 $f(x), f^{\prime}(x) \in L^1( R ) \cap C( R )$ 知，

$$
\lim _{|x| \rightarrow \infty} f(x)=0
$$

事实上，由 $f^{\prime}(x) \in C( R )$ ，有

$$
f(x)=f(0)+\int_0^x f^{\prime}(t) d t
$$

因为 $f^{\prime}(x) \in L^1( R )$ ，故有

$$
\lim _{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=a_{ \pm}=f(0)+\int_0^{ \pm \infty} f^{\prime}(t) d t
$$

又因 $f(x) \in L^1( R )$ ，由反证法易知 $a_{ \pm}=0$ ，即（1．10）式成立．
由（1．10）式，利用分部积分公式，有

性质 8.6 （伸缩性质）若 $f(x) \in L^1( R ), k$ 为非零常数，则

$$
(f(k x))^{\wedge}=\frac{1}{|k|} \widehat{f}\left(\frac{\xi}{k}\right) .
$$

证 不失一般性，设 $k<0$ ．由定义 8.1 ，有

$$
\begin{aligned}
(f(k x))^{\wedge} & =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(k x) e^{-i \xi x} d x \\
& =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{\infty}^{-\infty} f(y) e^{-i \xi \frac{y}{k}} \frac{1}{k} d y \\
& =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\left(-\frac{1}{k}\right) \int_{-\infty}^{\infty} f(y) e^{-i \frac{\xi}{k} y} d y \\
& =\frac{1}{|k|} \hat{f}\left(\frac{\xi}{k}\right) .
\end{aligned}
$$

性质 8.7 （卷积性质）若 $f(x), g(x) \in L^1( R )$ ，则

$$
(f * g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x-y) g(y) d y \in L^1( R ),
$$

且有

$$
(f * g)^{\wedge}=\sqrt{2 \pi} \widehat{f} \widehat{g} .
$$

证 由 Fubini 定理，有

$$
\begin{aligned}
\|f * g\|_{L^1} & =\int_{-\infty}^{\infty} d x\left|\int_{-\infty}^{\infty} f(x-y) g(y) d y\right| \\
& \leqslant \int_{-\infty}^{\infty} d x \int_{-\infty}^{\infty}|f(x-y) g(y)| d y \\
& =\int_{-\infty}^{\infty}|g(y)| d y \int_{-\infty}^{\infty}|f(x-y)| d x \\
& =\|g\|_{L^1}\|f\|_{L^1} .
\end{aligned}
$$

故 $f * g \in L^1( R )$ ．再由 Fubini 定理，

$$
\begin{aligned}
(f * g)^{\wedge} & =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \xi x} d x \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y) g(y) d y \\
& =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} g(y) e^{-i \xi y} d y \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y) e^{-i \xi(x-y)} d x \\
& =\sqrt{2 \pi} \widehat{g}(\xi) \widehat{f}(\xi)
\end{aligned}
$$

性质 8.8 （Plancherel（普朗谢雷尔）定理）设 $f(x) \in L^1( R ) \cap L^2( R )$ ，则

$$
\|\widehat{f}\|_{L^2}=\|\check{f}\|_{L^2}=\|f\|_{L^2}
$$

这个性质的证明可参看参考文献［5］，这里从略．
注 8.3 由性质 8．8，按照参考文献［5］的方法，可在 $L^2$ 空间中定义 Fourier 变换及其逆变换，并由此证明定理 8.1 及性质 8．1－8．7．

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