最后更新: 2026-06-11 08:01 查看: 274 次纠错评论(0) 课件开VIP

二项分布的泊松估计与中心极限定理估计

## 二项分布的泊松估计与中心极限定理估计

德莫弗-拉普拉斯定理和泊松分布都可以估算二项分布，那么如何区分他们的应用场景呢？

首先，德莫弗-拉普拉斯定理估算二项分布，适用于二项分布当$n$很大时的情况。这时候二项分布可以用正态分布来近似。定理的条件是$n$足够大，而$p$不接近$0$或$1$，这样$np$和$n(1-p)$都大于$5$之类的。这时候用正态分布来近似计算二项分布的概率会更方便，尤其是计算区间概率的时候，比如$P(a ≤ X ≤ b)$。

而泊松分布估算二项分布，它通常是在$n$很大而$p$很小的情况下，且$λ=np$保持适中时，用来近似二项分布。比如，当事件发生的概率$p$很小，但试验次数$n$很大，这时候泊松分布可以用一个参数$λ$来近似二项分布。例如，稀有事件的发生次数，比如电话呼叫中心每小时接到的电话数，或者某段时间内网站的访问量。

**1. 核心条件与数学原理**
| 方法 | 适用条件 | 数学原理 |
|-------------------------|-----------------------------------------------------------------------------|-----------------------------------------------------------------------------|
| 德莫弗-拉普拉斯定理 | - 试验次数 $n$ 极大 - 成功概率 $p$ 适中（$np$ 和 $n(1-p)$ 均大于5） | 基于中心极限定理，将二项分布 $B(n,p)$ 近似为正态分布 $N(np, np(1-p))$。 |
| 泊松分布近似 | - 试验次数 $n$ 极大 - 成功概率 $p$ 极小（$\lambda = np$ 适中） | 基于泊松定理，当 $n \to \infty$ 且 $p \to 0$ 时，二项分布收敛于泊松分布 $P(\lambda)$。 |

关键区别：  
• 德莫弗-拉普拉斯要求 $p$ 不接近0或1（保证正态性），而泊松要求 $p$ 极小但 $\lambda$ 适中。

• 德莫弗-拉普拉斯是中心极限定理的特例，泊松是二项分布在稀有事件下的极限形式。

---

**2. 近似形式与计算特点**
| 方法 | 近似分布形式 | 计算优势 | 典型场景 |
|-------------------------|------------------------|-----------------------------------------------------------------------------|-----------------------------------------------------------------------------|
| 德莫弗-拉普拉斯定理 | 正态分布 $N(np, \sigma^2)$ | 适用于计算区间概率（如 $P(a \leq X \leq b)$），可直接用标准正态表查询。 | - 抛硬币1000次中正面数超过60次的概率 - 工业质检中次品数的估计。 |
| 泊松分布近似 | 泊松分布 $P(\lambda)$ | 适用于离散事件计数（如稀有事件），计算更简单，无需处理大组合数。 | - 电话呼叫中心每小时来电数 - 放射性物质衰变计数。 |

关键区别：  
• 德莫弗-拉普拉斯通过连续性修正（如 $P(X \leq k) \approx P(Z \leq \frac{k+0.5 - np}{\sqrt{npq}})$）提高精度，而泊松直接替换为离散公式。

• 泊松在 $p$ 极小时更高效（如 $p=0.001$，$n=10^6$，$\lambda=1000$）。

---

**3. 误差与适用范围**
| 方法 | 误差来源 | 适用范围 |
|-------------------------|-----------------------------------------------------------------------------|-----------------------------------------------------------------------------|
| 德莫弗-拉普拉斯定理 | - 当 $p$ 接近0或1时误差较大 - 需满足 $np(1-p) \geq 5$ 才能保证精度。 | - 二项分布对称性较好时（如 $p=0.5$） - 需要高精度连续概率的场景。 |
| 泊松分布近似 | - 当 $\lambda$ 较大时（如 $\lambda > 20$）误差增加 - 不适用于非稀有事件。 | - 事件发生概率极低但试验次数极大（如保险索赔、网站访问量）。 |

关键区别：  
• 德莫弗-拉普拉斯在 $p$ 中等时更优，泊松在 $p$ 极小时更优。

• 泊松无法处理高频率事件（如抛硬币正面数），而德莫弗-拉普拉斯可覆盖更广范围。

---

**4. 实际应用对比**
**案例1：抛硬币问题**
• 条件：抛硬币 $n=1000$ 次，求正面数超过60次的概率。

• 德莫弗-拉普拉斯：

$$
  \mu = 500, \quad \sigma = \sqrt{250} \approx 15.81, \quad P(X > 60) \approx P\left(Z > \frac{60.5 - 500}{15.81}\right) \approx 0.0228
  $$  
• 泊松：不适用（因 $p=0.5$ 不满足极小条件）。

**案例2：罕见故障检测**
• 条件：某设备每天故障概率 $p=0.001$，运行 $n=10^6$ 天，求至少2次故障的概率。

• 泊松：

$$
\lambda = 1000, \quad P(X \geq 2) = 1 - P(0) - P(1) = 1 - e^{-1000}(1 + 1000) \approx 1
$$  
• 德莫弗-拉普拉斯：误差大（因 $p$ 极小）。

核心差异口诀：  
>  德莫弗-拉普拉斯正态逼近，泊松定理为稀有小概率 
>  当事件发生频率适中时用正态，极低时用泊松。

通过合理选择方法，可显著提升二项分布计算的效率和精度。
还要注意，德莫弗-拉普拉斯是中心极限定理的应用，而泊松分布是基于二项分布在稀有事件下的极限情况。两者的数学推导不同，泊松分布是通过让n趋近无穷，p趋近0，保持λ不变得到的，而德莫弗-拉普拉斯则是让n趋近无穷，p保持适中，使得np和n(1-p)都趋近无穷。

## 例题

`例` 每颗炮弹命中飞机的概率为 0.01 ，求 500 发炮弹中命中 5 发的概率．
解 500 发炮弹中命中飞机的炮弹数目 $X$ 服从二项分布，$n=500, p=0.01, n p=5$ ， $\sqrt{n p q} \approx 2.2$ ．下面用 3 种方法计算并加以比较．
（1）用二项分布公式计算：

$$
P\{X=5\}=\mathrm{C}_{500}^5 \times(0.01)^5 \times(0.99)^{495} \approx 0.17635 .
$$

（2）用泊松公式计算，直接查表可得：

$$
n p=\lambda=5, \quad k=5, \quad P_5(5) \approx 0.175467 .
$$

（3）用拉普拉斯局部极限定理计算：

$$
P\{X=5\} \approx \frac{1}{\sqrt{n p q}} \varphi\left(\frac{5-n p}{\sqrt{n p q}}\right) \approx 0.1793 .
$$

可见，后者不如前者精确．

`例`  一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 $3^{\circ}$ 的概率为 $p=1 / 3$ ，若船舶遭受了 90000 次波浪冲击，问其中有 $29500 \sim 30500$ 次纵摇角度大于 $3^{\circ}$ 的概率是多少？

解 我们将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验，并假定各次试验是独立的．在 90000 次波浪冲击中纵摇角度大于 $3^{\circ}$ 的次数记为 $X$ ，则 $X$ 是一个随机变量，且有 $X \sim b$（ $90000,1 / 3$ ）。其分布律为

$$
P\{X=k\}=\left(\begin{array}{cc}
90 & 000 \\
k
\end{array}\right)\left(\frac{1}{3}\right)^k\left(\frac{2}{3}\right)^{90000-k}, k=0,1, \cdots, 90000 .
$$

所求的概率为

$$
P\{29500 \leqslant X \leqslant 30500\}=\sum_{k=29500}^{30500}\binom{90000}{k}\left(\frac{1}{3}\right)^k\left(\frac{2}{3}\right)^{90000-k} .
$$

要直接计算是麻烦的，我们利用棣莫弗一拉普拉斯定理来求它的近似值．即有

$$
\begin{aligned}
P & \{29500 \leqslant X \leqslant 30500\} \\
& =P\left\{\frac{29500-n p}{\sqrt{n p(1-p)}} \leqslant \frac{X-n p}{\sqrt{n p(1-p)}} \leqslant \frac{30500-n p}{\sqrt{n p(1-p)}}\right\} \\
& \approx \int_{\frac{29500-p h}{\sqrt{n p(1-p)}} \sqrt{\frac{30500-m p}{\sqrt{n p(1-p)}}}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-t^2 / 2} \mathrm{~d} t=\Phi\left(\frac{30500-n p}{\sqrt{n p(1-p)}}\right)-\Phi\left(\frac{29500-n p}{\sqrt{n p(1-p)}}\right),
\end{aligned}
$$

其中 $n=90000, p=1 / 3$ ．即有

$$
P\{29500 \leqslant X \leqslant 30500\} \approx \Phi\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}\right)-\Phi\left(-\frac{5 \sqrt{2}}{2}\right)=0.9995 .
$$

`例`  对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、 1 名家长、2名家长来参加会议的概率分别为 $0.05 、 0.8 、 0.15$ ．若学校共有 400 名学生，设各学生参加会议的家长人数相互独立，且服从同一分布．
（1）求参加会议的家长人数 $X$ 超过 450 的概率；
（2）求有 1 名家长来参加会议的学生人数不多于 340 的概率．
解（1）以 $X_k(k=1,2, \cdots, 400)$ 记第 $k$ 个学生来参加会议的家长人数，则 $X_k$ 的分布律为
 ![图片](/uploads/2025-12/3fa6fd.jpg)
 
 易知 $E\left(X_k\right)=1.1, D\left(X_k\right)=0.19, k=1,2, \cdots, 400$ 。而 $X=\sum_{k=1}^{400} X_k$ 。由定理，随机变量

$$
\frac{\sum_{k=1}^{400} X_k-400 \times 1.1}{\sqrt{400} \sqrt{0.19}}=\frac{X-400 \times 1.1}{\sqrt{400} \sqrt{0.19}}
$$

近似服从正态分布 $N(0,1)$ ，于是

$$
\begin{aligned}
P\{X>450\} & =P\left\{\frac{X-400 \times 1.1}{\sqrt{400} \sqrt{0.19}}>\frac{450-400 \times 1.1}{\sqrt{400} \sqrt{0.19}}\right\} \\
& =1-P\left\{\frac{X-400 \times 1.1}{\sqrt{400} \sqrt{0.19}} \leqslant 1.147\right\} \\
& \approx 1-\Phi(1.147)=0.1251 .
\end{aligned}
$$

（2）以 $Y$ 记有一名家长参加会议的学生人数，则 $Y \sim b(400,0.8)$ ，由近似定理

$$
\begin{aligned}
& P\{Y \leqslant 340\} \\
& \quad=P\left\{\frac{Y-400 \times 0.8}{\sqrt{400 \times 0.8 \times 0.2}} \leqslant \frac{340-400 \times 0.8}{\sqrt{400 \times 0.8 \times 0.2}}\right\}
\end{aligned}
$$

$$
=P\left\{\frac{Y-400 \times 0.8}{\sqrt{400 \times 0.8 \times 0.2}} \leqslant 2.5\right\} \approx \Phi(2.5)=0.9938 .
$$

`例`一工人修理一台机器需两个阶段，第一阶段所需时间（小时）服从均值为 0.2 的指数分布，第二阶段服从均值为 0.3 的指数分布，且与第一阶段独立．现有 20 台机器需要修理．求他在 8 小时内完成的概率．

解 设修理第 $i$ 台机器 $(i=1,2, \cdots$, 20 $)$ 第一阶段耗时 $X_i$ ，第二阶段耗时 $Y_i$ ，则共耗时 $Z_i= X_i+Y_i$ 。

由已知 $E\left(X_i\right)=0.2, E\left(Y_i\right)=0.3$ ，故

$$
\begin{aligned}
& E\left(Z_i\right)=E\left(X_i\right)+E\left(Y_i\right)=0.5 \\
& D\left(Z_i\right)=D\left(X_i\right)+D\left(Y_i\right)=0.2^2+0.3^2=0.13
\end{aligned}
$$

由中心极限定理， 20 台机器需要修理的时间近似服从正态分布，即

$$
\sum_{i=1}^{20} Z_i \stackrel{\text { 近似 }}{\sim} N(20 \times 0.5,20 \times 0.13)=N(10,2.6) \text {, }
$$

所以概率为

$$
P\left\{\sum_{i=1}^{20} Z_i \leqslant 8\right\} \approx \Phi\left(\frac{8-10}{\sqrt{2.6}}\right)=\Phi(-1.24)=0.1075 .
$$

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