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序言1：复数的前世今生

## 历史的印记
**复数(complex number)**，最初诞生于16世纪，到现在已经过了四百多年了。现在，高中生基本上都知道，复数这个词讲的是一个形如 $a+b\mathrm{i} $ 的整体，这里 $a, b$ 是通常的实数，而 $\mathrm{i}$  和任何普通的数都不同，具有 $\mathrm{i}^2=-1$ 这个性质。这个发现最终对整个数学界有深远的影响，把许多原来根本不同的东西统一起来，解释了许多原来似乎不能理解的事情。
尽管今天复数仍在发展，但是，事实上，在复数诞生后的二三百年里，可以说几乎没有进展。

在那些如笛卡儿、费马、莱布尼茨那样伟大的智者甚至还有牛顿这样神话般的天才出生而又逝去的年代里，复数就像真空一样，在这些数学家或者物理学家里，完全被忽略,被无视，这就不得不道出一个残酷的事实：**复数从一开始得到的并不是拥抱与赞美，相反，复数从一出生就开始遭受到的是嘲笑、怀疑、甚至是敌意**．

### 复数的出生
1545 年出版的**卡丹诺**(Cardano,意大利数学家) 的《大术》（Ars Magna）一书，通常被认为是复数的出生证。然而，即使在卡丹诺的著作中，这种数也是一被引入就被他当作＂既不可捉摸又没有用处＂而加以摒弃。
1572年 庞贝利(Bombelli,意大利数学家)在他 1572 年出版的《代数》 （ $L^{\prime}$ Algebra）一书中才第一次对复数进行了实际的计算．甚至这时，庞贝利还否认复数的运算是他自己的创新，说＂所有这些似乎是以诡辩而不是以真理为基础的＂．

1702 年，莱布尼茨还把 $-1$ 的平方根描述为＂介乎存在与不存在之间的两栖类＂。

这种对复数的抵触情绪也在这个时期使用的名词上反映出来。我们把复数分为：实数和虚数。实数的英文是 Real Number，他表示的是“真实的数”，而虚数的英文是 imaginary Number，表示的是“虚构的数”。甚至到 1770 年时情况还很混乱，甚至像欧拉这样伟大的数学家还去论证 $\sqrt{-2} \sqrt{-3}=\sqrt{6}$

麻烦的根源似乎来自心理上或哲学上。你有1个苹果，我有1个梨，在实数里，数字“1”表示的是真实存在而且有具体意义的东西，但是复数呢？ 如果谁也不知道怎样回答＂什么是复数＂这个问题，那可能就永远无法让大家接受复数。
### 初见曙光
直到 18 世纪末，这个问题才有了令人满意的答案。  韦塞尔 (Wessel，挪威测量学家) 、阿尔冈 (Argand,法国会计) 和高斯(Gauss,德国数学家)，相继独立然而很快一个接一个地认识到，可以给复数一个简单的具体的几何解释，即平面上的点（或向量）：应该把 $a+\mathrm{i} b$ 这个神秘的东西看成 $x y$ 平面上以 $(a, b)$ 为坐标的点，或等价地看成连接原点到此点的向量．见图 1－1．这样来看待的平面记作 $\mathbb{C}$ ，并称为复平面。

![图片](/uploads/2026-01/12072f.jpg)
 
 对两个复数的加法和乘法现在也可以赋予确定的几何意义，即解释为平面上相应的点（或向量）的几何运算．图 1-2a 演示了加法的法则：

> 两个复数之和 $A+B$ 由通常向量加法的平行四边形法则给出 ...(1.1)

注意，这与图1－1是一致的，因为（举例来说） $4+3 \mathrm{i}$ 确实是 4 与 3 i 之和．
图 1-2b 画出了不那么明显的乘法法则：

> $A B$ 之长是 $A$ 之长与 $B$ 之长的乘积，$A B$ 的辐角是 $A$ 与 $B$ 的辐角之和 ...(1.2)

![图片](/uploads/2026-01/73dd01.jpg)
 
现在终于有了某种办法使这种数有意义了―――它们现在终于成了合法的研究对象了. 不管怎么说,伟大发现的闸门即将开启.

> **把复数理解为复平面上的点或者向量**

**这短短的几个字，人类花了300多年的时间才搞明白**。令人吃惊，绝大多数复数运算的基本规律（由柯西、黎曼等人得出）前后仅仅也就花了30多年，整个复数大厦就建立了起来！

对这门学科的历史肯定可能有别的看法．但是有一点必须提到，如果事先不具备复平面的几何知识，黎曼、柯西等人提出的思想是完全不可能的。

## 回顾：虚数的诞生

> 复数的形式是$a+b\mathrm{i}$,如果$a=0$，则称呼$b\mathrm{i}$ 为虚数，也叫做纯虚数。$a$是实数比较容易理解，那么 $b\mathrm{i}$ 是什么意思？让我们把时间倒回到四百年前，来进一步看看当时的数学界对虚数的认知。

今天的高中教育，书本上很容易一句话告诉我们：把复数看成复平面上的一个点或者向量。那么在16世纪的数学家是如何想到的呢？

### 四百年前数学界对虚数的认知

许多教科书都按一种方便的历史虚构来引入复数，即以求解二次方程$x^2+1=0$ 来引入虚数的产生，稍微复杂点的二次方程为

$$
x^2=m x+c ...(1.3)
$$

大约在公元前2000年，古希腊人就已经知道这种方程的一种解法，它等价于现代的公式

$$
x=\frac{1}{2}\left(m \pm \sqrt{m^2+4 c}\right)
$$

但是如果 $m^2+4 c$ 为负会如何？正是这个问题使得卡丹诺考虑负数的平方根．到这一步为止，这些教科书在历史方面都是正确的，但是再往下就会读到这样的话：因为需要方程(1.3)有解，就迫使我们严肃地考虑复数,进而引入$i^2=-1$。

**如果你今天仍然是这么想的，以这种方式引入复数，那么你和16世纪的数学家一样，几乎没有什么区别，仍然没有触及复数灵魂深处最本质的东西**

事实上，我们已经指出，卡丹诺毫不迟疑地摒弃这种解说，说这种思想是＂没有用处＂的。

并不是卡丹诺缺少继续追究这件事所需的想象力，而是他很有理由不去这样做．
### 古希腊人对方程的理解
对于古希腊人，**数学就是几何学的代名词**，所以，如(1.3)那样的代数关系式并不是作为代数问题来看待的，(1.3)只是解决一个真正的几何问题的载体。例如， (1.3)可以看成求抛物线 $y=x^2$ 与直线 $y=m x+c$ 的交点．见图 1-3．
 
  ![图片](/uploads/2026-01/483d99.jpg)
  
参考上图，在 $L_1$ 的情况下，问题确实有解；从代数上说，$\left(m^2+4 c\right)>0$ ，而两个交点则由上式给出．

把$L_1$ 想象为动直线，往下移，如果相切的时候，方程有一个解，且交点被称作切点。

在继续往下移，移动到$L_2$的位置。在 $L_2$ 的情况下，这个问题显然没有解；从代数上说，$\left(m^2+4 c\right)<0$ ，公式中出现了＂不可能＂的数正确地宣示了解的不存在．上面这个结论，在古希腊时期，就已经得到了结果，所以，并不是二次方程让我们认识到了复数，真正让我们深入思考复数意义的是三次方程的解。

### 三次方程的解
16世纪，数学家发现了三次方程的求根公式，人们发现，任何一个三次方程都可以转换为 $x^3 = 3px + 2q$ 的形式，而卡丹诺给出了三次方程的解的公式。为了这个公式，甚至还产生了激烈纷争，详见 [一元三次方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2899)

即形如  
$$
x^3 - 3px - 2q = 0
$$

的解由判别式$\Delta = q^2 - p^3$ 的符号决定。

#### 1. 判别式与根的个数
设$\Delta = q^2 - p^3$，其符号决定方程实根的个数：
- 当$\boldsymbol{\Delta > 0}$ 时：1 个实根，2 个共轭复根
- 当$\boldsymbol{\Delta = 0}$ 时：3 个实根（至少有 2 个相等）
- 当$\boldsymbol{\Delta < 0}$ 时：3 个互不相等的实根（不可约情形，需用三角函数求解）

#### 2. 求根公式

**情形1：$\Delta \ge 0$（卡尔达诺形式解）**
令
$$
u = \sqrt[3]{q+\sqrt{q^2-p^3}}, \quad v = \sqrt[3]{q-\sqrt{q^2-p^3}}
$$
满足$uv = p$，则方程的根为
$$
\begin{cases}
x_1 = u + v \\
x_2 = \omega u + \omega^2 v \\
x_3 = \omega^2 u + \omega v
\end{cases}
$$
其中$\omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$，$\omega^2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ 是三次单位根。

**情形2：$\Delta < 0$（三角函数形式解）**
此时$p>0$，令$x = 2\sqrt{p}\cos\theta$，代入原方程并利用三倍角公式$\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$，可得
$$
\cos3\theta = \frac{q}{p^{\frac{3}{2}}}
$$
解得
$$
\theta = \frac{1}{3}\arccos\left(\frac{q}{p^{\frac{3}{2}}}\right) + \frac{2k\pi}{3}, \quad k=0,1,2
$$
因此三个实根为
$$
x_k = 2\sqrt{p}\cos\left( \frac{1}{3}\arccos\left(\frac{q}{p^{\frac{3}{2}}}\right) + \frac{2k\pi}{3} \right), \quad k=0,1,2
$$

**3. 特殊情况（$\Delta = 0$）**
当$q^2 = p^3$ 时，$u = v = \sqrt[3]{q}$，此时三个实根为
$$
x_1 = 2\sqrt[3]{q}, \quad x_2 = x_3 = -\sqrt[3]{q}
$$

一般的三次方程，可以看成他和$x$轴的交点，共有3种情况：

![图片](/uploads/2026-01/d99bf3.jpg)

你可以用 $x^3=6 x+6$ 带入去试一试，解一下这个三次方程。

### 庞贝利的发现
上面三次公式可以简化为一个核心公式

$$
x=\sqrt[3]{q+\sqrt{q^2-p^3}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{q^2-p^3}} ...(1.4)
$$

这个公式出现大约 30 年后，庞贝利看出来它有一些奇怪的悖论式的地方,庞贝利人为的构造了一个较为简单的方程，即$x^3=15 x+4$，他构造时已经知道该方程有一个实数根$x=4$, 带入上述求根公式，得到下面3个解：
$$
\left \{
\begin{array}{l}
x_1=\sqrt[3]{2+11 {i}}+\sqrt[3]{2-11 {i}} ...① \\
x_2=-2+\sqrt{3}...②  \\
x_3=-2-\sqrt{3}...③\\
\end{array}
\right.
$$

**神奇的事情发生了，方程原本设定的实数根$x=4$ 没有了，显然 ②③ 一定不等于4，因此我们就必须硬着头承认**

$$
\sqrt[3]{2+11 {i}}+\sqrt[3]{2-11 {i}}=4
$$

我们说过，古希腊人对方程的研究主要采用几何图形的思想，把 $x^3=15 x+4$ 拆开来看

$$
\left \{
\begin{array}{l}
y_1=x^3 \\
y_2=15x+4
\end{array}
\right.
$$
 
而$y_1=x^3$表示整个平面数轴上的一条曲线，他一定会和直线相交，即一定有一个实数解。

![图片](/uploads/2026-01/c119a3.jpg)
 
 ### 庞贝利的思考

庞贝利在与这个悖论斗争中，忽发＂奇想＂：如果在上式中设 $\sqrt[3]{2+11 \mathrm{i}}=2+n \mathrm{i}$ ， $\sqrt[3]{2-11 \mathrm{i}}=2-n \mathrm{i}$ ，说不定就会给出 $x=4$ ．当然，为了使此法可行，他必须假设两个复数 $A=a+\mathrm{i} \widetilde{a}$ 与 $B=b+\mathrm{i} \widetilde{b}$ 的加法需服从一个似乎近情理的法则：

$$
A+B=(a+\mathrm{i} \widetilde{a})+(b+\mathrm{i} \widetilde{b})=(a+b)+\mathrm{i}(\widetilde{a}+\widetilde{b}) ...(1.5)
$$

其次，如果真正有一个值 $n$ 能使 $\sqrt[3]{2+11 \mathrm{i}}=2+n \mathrm{i}$ ，他就必须去计算 $(2+\mathrm{i} n)^3$ 。为此，他假设可以像通常代数中那样把括号乘开，于是

$$
(a+\mathrm{i} \widetilde{a})(b+\mathrm{i} \widetilde{b})=a b+\mathrm{i}(a \widetilde{b}+\widetilde{a} b)+\mathrm{i}^2 \widetilde{a} \widetilde{b} .
$$

利用 $\mathrm{i}^2=-1$ ，他得出结论说两个复数的乘积应由下式给出：

$$
A B=(a+\mathrm{i} \widetilde{a})(b+\mathrm{i} \widetilde{b})=(a b-\widetilde{a} \widetilde{b})+\mathrm{i}(a \widetilde{b}+\widetilde{a} b) ...(1.6)
$$

这个法则判明了他的＂奇想＂胜利，因为现在他能够证明 $(2+\mathrm{i})^3=2+11 \mathrm{i}$ ，请读者学完本章自行验证．

因此，庞贝利给出了两个复数相加和相乘的基本法则，正是根据这2个法则，后续的数学家高斯、柯西等人意识到，如果把复数看成复平面上的一个点或向量更容易对复数进行讨论，由此开启了复数世界的大门。

### 高斯的n次方程的根
一旦当我们承认复数的存在，复平面的存在，就会得到一个重要结论：$x$ 的n方程有$n$个根，这些根均匀的分布在一个圆上。即假设$x^n=1$,那么，他就应该有n个根，这些根均匀的分布在单位圆上，详见 [虚根定理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1865)

![img-text](/uploads/2024-09/fee09a.jpg)

1799 年高斯在博士论文中对代数学基本定理给出严谨证明，其中进一步明确了实系数多项式复根成对出现的性质，使该定理的逻辑基础更加坚实，**即n次复系数多项式在复数域上恰有n个根（重根按重数计算）** 这个定理被称作 **代数学基本定理**，他是后续研究多项式理论的重要工具。

## 复变函数
一旦了解了复数的几何意义就可以以复数为变量建立函数。但是这说起来容易做起来。为了方便和实数比较，我们以简单的平方为例，介绍实数和复数对函数的不用意义。
### 实数平方 $y=x^2$
传统的， $y=x^2$是非常简单的实数函数，我们在初中就学过，他的图像是一个抛物线，如下图：当$x$取一个值，会有一个$y$值和他对应，然后把$(x,y)$ 对应的点描绘在二维平面上，就得到了$y=x^2$的图像。

![图片](/uploads/2025-05/c2b152.jpg){width=200px}
 
 ### 复数平方 $w=z^2$
 当我们把实数里的想法移到复数函数里，采用数形结合的方法思考，就会遇到问题。以复数平方为例: $w=z^2$ , **因为 $z$ 是二维平面上一个点， $w$ 也是二维平面上的一点， 如果要画出 $w=z^2$ 图像，我们需要在四维空间里。 可是我们本身生活在三维空间里，怎么办呢？**
 这难不倒数学家，那就画两个二维：把$z$称为原像，把 $w$称为镜像。（想象一下照镜子），有了这个思路，我们看看怎么表示复数的函数。
 
> 注意：在《复变函数》这门课里，约定$z$平面就是$xoy$平面，约定$w$平面就是$uov$平面，这已经成为了学界的共识。

![图片](/uploads/2026-01/c90ed8.jpg)
 
 
 
#### 直角坐标系
 让我们用实数还原一下就可以了
 令$z=x+yi$ , 令 $w=u+vi$， 所以 $w=z^2$ 就变成
 $u+iv=x^2-y^2+2xyi$
 因为实部和实部相等，虚部和虚部相等，所以
 
 $u=x^2-y^2$
 $v=2xy$
 
 上式表明，每取$z$上的一个点$(x,y)$ 会有$w$上的$ (x^2-y^2, 2xy)$ 和他对应。但是这么看实在看不出 $z$ 和 $w$ 的关系，**但是假如我们做一下限制**，情况又不同。

现在，假设在原始平面中 $x$ 和 $y$ 的大小以某种方式变化，那么在图像平面中，$u$ 和 $v$ 的相应行为是什么？

**情况1**
从$z$平面上看，让 **$x$ 和 $y$ 以使得 $x^2-y^2=$常数**   的方式变化，在这种情况下，前一个方程U定义了一族红色双曲线。然后，让 $x$ 和 $y$ 以使得 **$2 x y=$常数** 的方式变化，在这种情况下，后一个方程v定义了一族蓝色双曲线，见下图 
 
  ![图片](/uploads/2025-05/2a2c39.jpg){WIDTH=300PX}
 
 
从$w$平面上看，因为 $u$ 和 $v$ 只是常数，分别用相应颜色的红色垂直线和蓝色水平线在图中表示（想象传统坐标系里$x=1,y=1$ 都表示的是一条直线），因为在图像平面中，$u$代表水平分量，而 $v$ 代表垂直分量,见下图
 
  ![图片](/uploads/2025-05/7ac1e8.jpg){WIDTH=300PX}
 
 
 如果把这2个合起来，图像如下
 
  ![图片](/uploads/2026-01/e98e82.jpg)
  
你可以这样理解：当你在z平面沿着红色曲线行走，那么你的影子(像)在w平面将沿着直线移动。
  
 
 **请注意上面这张图，我们从右边往左看，你可以把他理解为：直角坐标系到曲线坐标系的转换，坐标系在线性代数里叫做基，因此，也叫做基变换，一旦说到基变换，就会离不开雅可比矩阵和雅可比行列式，所以，我们可以使用基变换的视角理解他，详见 [雅可比行列式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3560) 和 [雅可比矩阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1239)**
  
 #### 从极坐标角度看
 由于采用直角坐标系表示复数图像较为复杂，很多情况下，可以使用极坐标，
 
将 $z$ 平面以极坐标形式记录为：

$$
z=r e^{i \theta}
$$

其对应的图像 $w=z^2$ 为：

$$
w=r^2 e^{i 2 \theta}
$$

这表示，函数 $f(z)=z^2$ 视为映射时，相当于对平面进行缩放（根据 $r>1$ 或 $r<1$ 进行放大或缩小），并围绕原点逆时针旋转 $\theta$ ——即为在向量场部分构造输出点 $Z$ ，且当输入点为 $z=(1,2)$

下面是一个平面区域的映射示例：一个圆形扇区，被两条以原点为中心的半径分别为 1 和 2的圆弧，以及两条从原点发出的射线（分别与实轴成 $\pi / 12$ 和 $\pi / 6$ 的角度）所包围的区域，输入平面或原始平面位于左侧，而输出平面或图像平面位于右侧

![图片](/uploads/2025-05/5dcc6b.jpg){width=400px}
  
  
 ## 复变函数的几何意义

通过上面的介绍可以看到，对于复变函数，主要是从图形变换的角度进行理解（而且使用极坐标模式更方便）， 下图显示了 $w=z^2$的变化，直觉上看，两个图形都一样都是字母$T$，只是后者比前者大了一些，虽然这里理解的比较粗略，但是大的思考方式是对的，他反应了图形的变化。
 
  ![图片](/uploads/2025-05/6cb3dc.jpg){width=500px}
 
 这种变换的思想甚至可以推广到球映射，如下图
  ![图片](/uploads/2025-05/64b248.jpg){width=500px}
  
**复变函数**是定义在复平面上的函数，将一个复数映射到另一个复数。因为一个复数是平面上的一个点，所以，复变函数相当于对平面上一个点映射为另外一个平面上的一个点。

由于点构成线，线构成面。当一个几何体都被从z平面映射到w平面上后，从直观上看，就是图像变换。
 
而在《[线性代数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=212)》里，主要就研究图像变换（其中涉及到向量，可以认为复数就是向量），因此，如果你有线性代数的基础，理解《复变函数》，可能更容易。

下图现实了图形的变化:复平面上的一个图像，经过不同的映射，会产生各种绚丽多彩的图像。 
 
  ![图片](/uploads/2025-01/12c7dd.jpg){width=700px}
  
## 解析函数的“刚性”的函数
在《复变函数》这门课里，主要研究的是解析函数（也就是可导的函数），解析函数最大的特征是：他是“刚性”的，或者说 **解析函数（全纯函数）的局部性质（比如在一个小区域上的取值、导数等）会强制决定它的整体性质**。他不能像光滑函数那样随意修改局部而不改变整体。

作为对比，实可微函数很“软、自由、随意变形”，而复变解析函数极度“硬、约束极强、牵一发而动全身”，几乎没有自由微调的空间，这就是刚性。

### 一元实函数 $y=f(x)$是柔软的
一元实函数 $y=f(x)$是柔软的，只要图像光滑、可导就行：
- 你可以随便改一小段函数值，旁边稍微平滑过渡一下，依然可导、依然光滑；
- 导数存在只约束局部斜率，局部和局部之间几乎互不牵制；
- 自由度极高，想怎么画曲线基本都可以。

参考下图，假设有一段光滑曲线，在端点处只要光滑，可以“续接”无穷条曲线，这就是一元实函数“柔软”的表现。更通俗的说，如果要延拓实函数（包括多元的），可以有去穷多种延拓方法。
 ![图片](/uploads/2026-05/95d09f.jpg){width=500px}
 
### 解析函数 $w=f(z)$是刚性的

第一层意思：解析函数的核心枷锁：柯西-黎曼条件
复函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在区域内解析，必须处处满足：
$$
\begin{cases}
\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y}\\[6pt]
\dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{\partial v}{\partial x}
\end{cases}
$$
这不是普通可微，是**实部和虚部被死死绑定**：
- 知道了实部 $u$，**虚部 $v$ 几乎被唯一确定**（差一个常数）；
- 知道虚部，实部也被锁死；
**不能随便改一点，一改就破坏CR方程，立刻不解析。**
这是第一层刚性：**实部虚部不独立，强耦合约束**。

第二层刚性：局部决定整体（最关键）
实函数：改一个点附近的值，不影响远处。
解析函数完全反过来：

> **解析函数在区域内，只要知道任意一个小邻域里的函数值，整个区域的函数值被唯一完全确定。**

通俗说：解析延拓**：一小块函数完全唯一延拓到更大区域，没有第二种延拓方式 
你没法只改解析函数一小部分而不动整体，牵一发必动全身，完全不能自由局部微调——这就是刚性。

这也导致解析函数有一个特征： 唯一性定理：两个解析函数只要在聚点无穷多的点集上相等，就**整个区域恒等**。

> 如果把解析函数比喻为一杯糖水，当你要尝试糖水的甜度时，只要品尝一点点，就能推断出整杯水的甜度。

对于光滑曲面来说，过一点$M$可以做一个切平面，参考下图，假设过$M$点，有2条曲线，那么由这2个曲线，就可以确定了曲面的形状。您可以自己脑补一下，在圆锥上切2刀形成2个曲线，进而由着2个曲线，就可以“还原”整个圆锥曲面。 同样，在球面上切两刀，形成2个曲线，由这2个曲线进而可以“还原”整个球面，这就是光滑曲面刚性的简单理解。

![图片](/uploads/2026-05/ee6861.jpg){WIDTH=600PX}
 
 
 
下图显示了$w=z^2$实部三维图像

![图片](/uploads/2026-05/c5959d.jpg){WIDTH=600PX}

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