最后更新: 2025-06-29 20:32 查看: 115 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

引言

## 复数起源：三次方程求解的困境
复数的诞生直接源于16世纪数学家对三次方程求解的探索，距今已经快500年了。意大利数学家卡尔达诺（Gerolamo Cardano）在1545年发表的《大术》中首次提出负数平方根的概念。他在解方程 $x^3 = 15x + 4$ 时，发现必须引入 $\sqrt{-121}$  才能得到实数解，尽管他认为这种“虚数”是“想象的、虚无缥缈的”，但不得不承认其工具性价值。

庞贝利在他1572年出版的《代数》一书中第一次对复数进行了实际的计算. 然而庞贝利的工作遭到同时代数学家的嘲讽， 创新者似乎还否复数是自己的创新。

到了1702年， 莱布尼茨还把$-1$的平方根描述为"介乎存在与不存在之间的两栖类" .  或许正是这种抵御的情绪也在这个时期使用的名词上反映出来。**复数也被称为虚数-imaginary，虚数，顾名思义，就是虚拟的数或者说是不存在的说明** ，从名称就可以看出，当时数学家对虚数的抵制。

## 初见曙光
在高中我们已经学过复数，知道复数是一个形如$a+ib$的整体,这里$a，b$是通常的实数,而$i$和任何普通的数都不同, 具有$i^2 = -1$这个性质. 
但是，复数到底是什么？如果这个问题无法回答，那么复数就永远难以获得发展。

很快到了18世纪末,这个问题开始出现曙光， 在高斯、韦塞尔等的支持下，复数迎来了令人满意的答案：**即复数表示平面上的一个点**。

应该把 $a+ i b$ 这个神秘的东西看成 $x y$ 平面上以 $(a, b)$ 为坐标的点，或**等价地看成连接原点到此点的向量**．如图．这样来看待的平面记作 $C$ ，并称为**复平面**． 一旦把复数等价于向量，那么向量的那些运算规则，就可以平移到复数上。

![图片](/uploads/2025-05/4bb3f5.jpg){width=500px}

#### 复数的加法

对两个复数的加法和乘法现在也可以赋予确定的几何意义，即解释为平面上相应的点（或向量）的几何运算。下图演示了加法的平行四边形法则：

![图片](/uploads/2025-05/3f633f.jpg){width=300px}

#### 复数的乘法
两个复数乘法，$A B$ 之长是 $A$ 之长与 $B$ 之长的乘积，$A B$ 的辐角是 $A$ 与 $B$ 的辐角之和．(复数的乘法不好套用在向量上，这是复数特有的性质)

![图片](/uploads/2025-05/6bce91.jpg){width=300px}

一旦复数的几何意义得到解决，复数开始进入翻天覆地的变化。

## 复变函数
一旦了解了复数的几

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