最后更新: 2025-06-29 20:32 查看: 81 次反馈同步训练

引言

## 复数起源：三次方程求解的困境
复数的诞生直接源于16世纪数学家对三次方程求解的探索，距今已经快500年了。意大利数学家卡尔达诺（Gerolamo Cardano）在1545年发表的《大术》中首次提出负数平方根的概念。他在解方程 $x^3 = 15x + 4$ 时，发现必须引入 $\sqrt{-121}$  才能得到实数解，尽管他认为这种“虚数”是“想象的、虚无缥缈的”，但不得不承认其工具性价值。

庞贝利在他1572年出版的《代数》一书中第一次对复数进行了实际的计算. 然而庞贝利的工作遭到同时代数学家的嘲讽， 创新者似乎还否复数是自己的创新。

到了1702年， 莱布尼茨还把$-1$的平方根描述为"介乎存在与不存在之间的两栖类" .  或许正是这种抵御的情绪也在这个时期使用的名词上反映出来。**复数也被称为虚数-imaginary，虚数，顾名思义，就是虚拟的数或者说是不存在的说明** ，从名称就可以看出，当时数学家对虚数的抵制。

## 初见曙光
在高中我们已经学过复数，知道复数是一个形如$a+ib$的整体,这里$a，b$是通常的实数,而$i$和任何普通的数都不同, 具有$i^2 = -1$这个性质. 
但是，复数到底是什么？如果这个问题无法回答，那么复数就永远难以获得发展。

很快到了18世纪末,这个问题开始出现曙光， 在高斯、韦塞尔等的支持下，复数迎来了令人满意的答案：**即复数表示平面上的一个点**。

应该把 $a+ i b$ 这个神秘的东西看成 $x y$ 平面上以 $(a, b)$ 为坐标的点，或**等价地看成连接原点到此点的向量**．如图．这样来看待的平面记作 $C$ ，并称为**复平面**． 一旦把复数等价于向量，那么向量的那些运算规则，就可以平移到复数上。

![图片](/uploads/2025-05/4bb3f5.jpg){width=500px}

#### 复数的加法

对两个复数的加法和乘法现在也可以赋予确定的几何意义，即解释为平面上相应的点（或向量）的几何运算。下图演示了加法的平行四边形法则：

![图片](/uploads/2025-05/3f633f.jpg){width=300px}

#### 复数的乘法
两个复数乘法，$A B$ 之长是 $A$ 之长与 $B$ 之长的乘积，$A B$ 的辐角是 $A$ 与 $B$ 的辐角之和．(复数的乘法不好套用在向量上，这是复数特有的性质)

![图片](/uploads/2025-05/6bce91.jpg){width=300px}

一旦复数的几何意义得到解决，复数开始进入翻天覆地的变化。

## 复变函数
一旦了解了复数的几何意义就可以以复数为变量建立函数。但是这说起来容易做起来。为了方便和实数比较，我们以简单的平方为例，介绍实数和复数对函数的不用意义。
### 实数平方 $y=x^2$
传统的， $y=x^2$是非常简单的实数函数，我们在初中就学过，他的图像是一个抛物线，如下图：当$x$取一个值，会有一个$y$值和他对应，然后把$(x,y)$ 对应的点描绘在二维平面上，就得到了$y=x^2$的图像。

![图片](/uploads/2025-05/c2b152.jpg){width=200px}
 
 ### 复数平方 $w=z^2$
 当我们把实数里的想法移到复数函数里，采用数形结合的方法思考，就会遇到问题。以复数平方为例: $w=z^2$ , **因为 $z$ 是二维平面上一个点， $w$ 也是二维平面上的一点， 如果要画出 $w=z^2$ 图像，我们需要在四维空间里。 可是我们本身生活在三维空间里，怎么办呢？**
 这难不倒数学家，那就画两个二维：把$z$称为原像，把 $w$称为镜像。（想象一下照镜子），有了这个思路，我们看看怎么表示复数的函数。
 
#### 直角坐标系
 让我们用实数还原一下就可以了
 令$z=x+yi$ , 令 $w=u+vi$， 所以 $w=z^2$ 就变成
 $u+iv=x^2-y^2+2xyi$
 因为实部和实部相等，虚部和虚部相等，所以
 
 $u=x^2-y^2$
 $v=2xy$
 
 上式表明，每取z上的一个点$(x,y)$ 会有w上的$ (x^2-y^2, 2xy)$ 和他对应。但是这么看实在看不出 z 和 w 的关系，**但是假如我们做一下限制**，情况又不同。 
 
 现在，假设在原始平面中 $x$ 和 $y$ 的大小以某种方式变化，那么在图像平面中，$u$ 和 $v$ 的相应行为是什么？

> 我们必须知道，杂乱的世界物体的运动是有规律可循的，比如地球绕太阳的椭圆运动，比如古老时钟的单摆运动。这都说明，增加一些额外的限制更能反映现实世界物体的运动情况。
 
让 **$x$ 和 $y$ 以使得 $x^2-y^2=\text{常数}$**   的方式变化，在这种情况下，前一个方程U定义了一族红色双曲线。然后，让 $x$ 和 $y

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：没有了

下一篇：第一篇复数的概念与表示

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)