最后更新: 2025-06-21 17:17 查看: 1016 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

一元一次方程

## 方程的有关概念

1. 方程：含有未知数的等式叫做方程．
2. 一元一次方程的概念：只含有1个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
3. 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．
4. 解方程：求方程解的过程叫做解方程．

一元一次方向最典型的形式是  $ax=b,(a \neq 0)$, 其解为
$x=\frac{b}{a}$

## 等式的性质
**等式的性质1**：等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，结果仍相等．如果 $a＝b$，那么$ a± c＝b±c.$
**等式的性质2**：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等．如果 $a＝b$，那么 $ac＝bc$；如果$ a = b (c≠0)$，那么 $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}$

## 一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步骤：
(1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，
别漏乘．
(2) 去括号：注意括号前的系数与符号．
(3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常
数项移到方程右边，移项注意要改变符号．
(4) 合并同类项：把方程化成 ax ＝ b (a≠0)的形式．
(5) 系数化为1：方程两边同除以 x 的系数，得 x＝m 的形式.

`例` 解下列方程：
（1） $5 x-(3 x-7)=2+(3-2 x)$ ；
（2） $7 y+(3 y-5)=y-2(7-3 y)$ ．
分析：方程中含有括号，利用运算性质和分配律可以去掉括号，转化为已经会解的方程。

解：（1）去括号，得

$$
5 x-3 x+7=2+3-2 x
$$

移项，得

$$
5 x-3 x+2 x=2+3-7
$$

合并同类项，得

$$
4 x=-2
$$

把未知数 $x$ 的系数化为 1 ，得

$$
x=-\frac{1}{2}
$$

所以 $x=-\frac{1}{2}$ 是原方程的解．

（2）去括号，得

$$
7 y+3 y-5=y-14+6 y
$$

移项，合并同类项，得

$$
3 y=-9 .
$$

把未知数 $y$ 的系数化为 1 ，得

$$
y=-3
$$

所以 $y=-3$ 是原方程的解．

`例` 解方程：$\frac{2 x-0.3}{0.5}-\frac{x+0.4}{0.3}=1$ ．
分析：我们可以先运用分数的基本性质，把分母化为整数，然后再求解．
解：原方程化为 $\frac{20 x-3}{5}-\frac{10 x+4}{3}=1$ ．
方程两边都乘 15 ，去分母，得

$$
\begin{gathered}
15 \times\left(\frac{20 x-3}{5}-\frac{10 x+4}{3}\right)=15 \times 1 \\
3(20 x-3)-5(10 x+4)=15
\end{gathered}
$$

去括号，得

$$
60 x-9-50 x-20=15
$$

移项，合并同类项，得

$$
10 x=44 .
$$

把未知数 $x$ 的系数化为 1 ，得

$$
x=4.4 .
$$

所以 $x=4.4$ 是原方程的解．

`例` 如果 $x=2$ 是方程 $\frac{1}{2} x+a=-1$ 的解, 那么 $a$ 的 值是 
A. 0
B. 2
C. $-2$
D. $-6$
解析: 将 $x=2$ 代入方程得 $1+a=-1$, 解得 $a=-2$.
方法总结: 已知方程的解求字母参数的值, 将方 程的解代入方程中, 得到关于字母参数的方程, 解方程即可得字母参数的值.

`例`若 $(m+3) x^{|m|-2}+2=1$ 是关于 $x$ 的一元一次方 程, 则 $m$ 的值为  .
注意：结合一元一次方程的定义求字母参数的值, 需谨记末知数的系数不为 0 . 可的结果为 3

`例` 下列说法正确的是( )
A. $x+1=2+2 x$ 变形得到 $1=x$
B. $2 x=3 x$ 变形得到 $2=3$
C. 将方程 $2 x=\frac{3}{2}$ 系数化为 1 , 得 $x=\frac{4}{3}$
D. 将方程 $3 x=4 x-4$ 变形得到 $x=4$
方法总结：已利用等式的性质变形, 需注意符号 问题, 同时一定要谨记, 利用等式性质2变形, 等式两边同时除以一个数时, 该数不能为 0 . 选D

`例` 下列运用等式的性质, 变形正确的是  
   A. 若 $x=y$, 则 $x-5=y+5$
   B. 若 $a=b$, 则 $a c=b c$
   C. 若 $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$, 则 $2 a=3 b$
   D. 若 $x=y$, 则 $\frac{x}{a}=\frac{y}{a}$
  
  解：选B
  
 `例`  解下列方程:
    $\frac{2 x+1}{4}-1=x-\frac{10 x+1}{12}$;
   解: 去分母, 得   
   $3(2 x+1)-12=12 x-(10 x+1) $

去括号, 得 $6 x+3-12=12 x-10 x-1$.
移项, 得 $6 x-12 x+10 x=-1-3+12$.
合并同类项，得 $\quad 4 x=8$.
系数化为 1 , 得 $\quad x=2$.

`例` 解方程: $\frac{x-2}{5}=2-\frac{x+3}{2}$.
   解: 去分母, 得 $2(x-2)=20-5(x+3)$. 去括号, 得 $\quad 2 x-4=20-5 x-15$. 移项, 得 $2 x+5 x=20-15+4$. 合并同类项，得 $7 x=9$. 系数化为 1 , 得 $x=\frac{9}{7}$.

`例`解下列方程:
$\frac{3}{4}\left[\frac{4}{3}\left(\frac{1}{2} x-\frac{1}{4}\right)-8\right]=\frac{3 x}{2}$.

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