最后更新: 2024-04-21 19:59 查看: 402 次反馈刷题

二元一次方程

## 定义
含有两个末知数，并且含有末知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程。
所有二元一次方程都可化为 $a x+b y+c=0(a 、 b \neq 0)$ 的一般式形式。

**二元一次方程组**
含有两个末知数两个方程组成的集合叫做二元一次方程组。
二元一次方程组可以使用代入消元法或加减消元法。
**(1)代入消元法**
代入消元法就是先利用其中一个方程，将含有其中一个末知数的代数式表示另一个末知数。然后代入另一个方程，从而将这组方程转化成解两个一元一次方程的方法。
求

$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x-1=9 \\
x+y=36
\end{array}\right.
$$

解: $2 x-1=9$ 可以解得

$$
x=5
$$

又由于 $x+y=36$ ，带入 $x$ 得 $5+y=36$
从而求出

$$
y=36-5=31
$$

所以最终结果是:

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=5 \\
y=31
\end{array}\right.
$$

**(2)加减消元法**
加减消元法就是将两个方程相加或相减，从而消去其中一个末知数，从而将这组方程转化成解两个一元一次方程的方法。
通常可以先将其中一方程的两边同时乘以一个不是 0 的数，使其中一个末知数的系数与另外一个方程对应的系数相同或为相反数，再将两个方程相加或相减。 例如

$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x+3 y=13 \ldots(1) \\
5 x-2 y=4 \ldots(2)
\end{array}\right.
$$

解:
将(1) $* 2$ 变为
$4 x+6 y=26 \ldots(3)$
将(2) $* 3$ 变为
$15 x-6 y=12 \ldots(4)$
将 $(3)+(4)$ 消去 $y$ 得到
$19 x=38$
所以 $x=2$
将 $x=2$ 带入(1) 得到

$4+3 y=13$

【例1】若 $x^{2 m-1}+5 y^{3 n-2 m}=7$ 是二元一次方程, 求m，n
解析: 由二元一次方程的定义可得: $\left\{\begin{array}{l}2 m-1=1 \\ 3 n-2 m=1\end{array}\right.$,
解得: $\left\{\begin{array}{l}m=1, \\ n=1 .\end{array}\right.$

【例2】已知方程 $(m-3) x^{|n|-1}+(n+2 y)^{y^2-8}=0$ 是关于 $x  ｙ$ 的二元一次方程, 求 $m, n$ 的值.
解: 由题可得: $|n|-1=1, m \neq 3, m^2-8=1, n \neq-2$.
解得: $m=-3, n=2$.

【例3】已知 $x=1, y=-2$ 是二元一次方程组 $-\left[\begin{array}{l}a x-2 y=3, \\ x-b y=4\end{array}\right.$ 的 解, 求 $a, b$ 的值.
解: 把 $x=1, y=-2$ 代入二元一次方程组得 $\left\{\begin{array}{l}a+4=3 \text {, } \\ 1+2 b=4\end{array}\right.$, 解得: $a=-1, b=1.5$.

【例4】已知 $x=1, y=-2$ 满足 $(a x-2 y-3)^2+|x-b y+4|=0$, 求 $a+b$ 的值.
解: 由题意可得: $\left\{\begin{array}{l}a x-2 y-3=0, \\ x-b y+4=0 .\end{array}\right.$ 把 $x=1, y=-2$ 代入方程组
可得: $\left\{\begin{array}{l}a+4=3 \text {, } \\ 1+2 b=-4\end{array}\right.$, 解得: $a=-1, b=-2.5$, 则 $a+b=-3.5$.

【例5】用加减消元法解方程组 $\left\{\begin{array}{l}3(x-1)=4(y-4) \text {, } \\ 5(y-1)=3(x+5) \text {. }\end{array}\right.$
解: 化简整理得 $\begin{cases}3 x-3=4 y-16, & \text { (1) } \\ 3 x+15=5 y-5, & \text { (2) }\end{cases}$
由(2)-(1)得 $18=y+11$, 解得 $y=7$,
把 $y=7$ 代入(1)得 $3 x=28-16+3$,
解得 $x=5$.
由此可得二元一次方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=5 \\ y=7\end{array}\right.$

【例6】已知 $-4 x^{m+n} y^{m-n}$ 与 $-2 x^{7-m} y^{1+n}$ 是同类项, 求 $m, n$ 的值.
解: 由题意得 $\left\{\begin{array}{l}m+n=7-m, \\ m-n=1+n .\end{array}\right.$
解得 $\quad\left\{\begin{array}{l}m=3, \\ n=1 .\end{array}\right.$

【例7】某汽车运输队要在规定的天数内运完一批货物, 如果减少6辆汽车则要再运 3 天才能完成任务; 如果增 加4辆汽车, 则可提前一天完成任务, 那么这个汽车运 输队原有汽车多少辆? 原规定运输的天数是多少?

解: 设这个汽车运输队原有汽车 $x$ 辆, 原规定完成的天 数为 $y$ 天, 每辆汽车每天的运输量为 1 . 根据题意可得 $\left\{\begin{array}{l}(x-6)(y+3)=x y \text {, } \\ (x+4)(y-1)=x y \text {. }\end{array}\right.$
化简整理得 $\left\{\begin{array}{l}3 x-6 y=18, \text { (1) } \\ -x+4 y=4, \text { (2) }\end{array}\right.$
由(2)可得 $x=4 y-4$, (3)
把(3)代入(1) 可得 $3(4 y-4)-6 y=18$, 解得 $y=5$.
把 $y=5$ 代入(3)得 $x=16$. 由此可得 $\left\{\begin{array}{l}x=16 \text {, } \\ y=5 \text {. }\end{array}\right.$
答: 原有汽车 16 辆, 原规定完成的天数为 5 天.

【例8】某校七年级安排宿舍, 若每间宿舍住 6 人, 则有 4 人住 不下, 若每间住 7 人, 则有 1 间只住 3 人, 且空余 11 间宿 舍, 求该年级寄宿学生有多少人? 宿舍有多少间?
解: 设该年级寄宿学生有 $x$ 人, 宿舍有 $y$ 间.
根据题意可得 $\left\{\begin{array}{l}6 y+4=x, \\ 7(y-11-1)=x-3,\end{array}\right.$
解得 $\left\{\begin{array}{l}x=514, \\ y=85 .\end{array}\right.$
答: 该年级寄宿学生有 514 人, 宿舍有 85 间.

【列9】. 方程组 $\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y=k, \\ 3 x+5 y=k+2\end{array}\right.$ 中, $x$ 与 $y$ 的和为 12 , 求 $k$ 的值.
解: $k=14$ （提示: $\left\{\begin{array}{l}x=2 k-6, \\ y=4-k\end{array}\right.$ )

【例10】 $A 、 B$ 两地相距36千米.甲从 $A$ 地出发步行到 $B$ 地, 乙从 $B$ 地出发步行到 $A$ 地. 两人同时出发, 4 小时相遇, 6 小时后, 甲 所余路程为乙所余路程的 2 倍,求两人的速度.
解: 设甲、乙的速度分别为 $x$ 千米/时和 $y$ 千米/时. 依题意可得: $\left\{\begin{array}{l}4 x+4 y=36, \\ 4 y-2 x=2(4 x-2 y)\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=4, \\ y=5 \text {. }\end{array}\right.$ 答: 甲、乙的速度分别为 4 千米/时和 5 千米/时.

## 方程组的解

#### 例题1
解方程
$\left\{\begin{array}{l}4 x+3 y=7 \\ 12 x+9 y=21\end{array}\right.$

解:

$$
\left\{\begin{array}{l}
4 x+3 y=7 \\
12 x+9 y=21
\end{array}\right.
$$

如果把1式乘以 3 , 得
$$
12 x+9 y=21
$$
相减可得: $0=0$.

这个结果并不奇怪, 仔细观察原方程组, 就会发现, 第二个方程式正是 第一个方程 $\times 3$ 的结果. 这说明所给方程组, 实质上是一个二元一次方程, 因此, 可以断定: 原方程组有无数多个解.

#### 例题2
$\left\{\begin{array}{l}4 x+3 y=7 \\ 8 x+6 y=11\end{array}\right.$

解：
$$
\left\{\begin{array}{l}
4 x+3 y=7 \\
8 x+6 y=11
\end{array}\right.
$$
$(2) \times 2$ 可得：
$$
8 x+6 y=14
$$
(2)-(1) 可得: $0=-3$, 这是不可能的.
因此，原方程组就是矛盾方程组，无解．
通过这一例题，你能不能发现：方程组如果有无数多解或无解，它们两个
方程的各项系数之间应该具有什么规律和特点？

> 方程组的解分为有解和无解。有解又分为唯一解和无穷多解。
而在无穷多解离，我们可以找到他的一个基础解系，基础解系可以表示他所有的解的可能，这些内容，是后续《线性代数》里研究的重要内容。

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