科数网
学习首页
题库
高中数学
高等数学
线性代数
概率统计
实变函数
复变函数
离散数学
数论
群论
公式
高中数学公式
高等数学公式
线性代数公式
概率论公式
初中数学公式
关于
高中
高数
线性
公式
高中数学公式
高等数学公式
线性代数公式
概率论公式
初中数学公式
游客,
登录
注册
在线学习
高等数学
第二章 一元函数微分学
复合函数求导法则
最后
更新:
2024-11-10 07:50
●
参与者
查看:
554
次
纠错
分享
参与项目
词条搜索
复合函数求导法则
## 复合函数求导法则 > 复合函数的求导法则分为**一元函数的求导法则**和**多元函数(偏导数)的求导法则**,本文介绍的一元函数的求导法则,要查看多元函数的求导发展,请点击 [多元函数复合求导链式法则](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=385) ### 复合函数的正确分解 $y=f[g(x)]$ 由内函数 $u=g(x)$ 和外函数 $y=f(u)$ 复合而成. 例如, $y=\sin ^2 x$ 由 $u=\sin x$ 和 $y=u^2$ 复合而成, $y=\ln \frac{x^2-1}{x^2+1}$ 由 $u=\frac{x^2+1}{x^2-1}$ 和 $y=\ln u$ 复合而成. ### 显函数与隐函数的表示方式 函数 $y=f(x)$ 表示变量 $y$ 与 $x$ 之间的对应关系, 这种对应关系可以用不同的方式表达。例如, $y=\sin x, y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ ,用这种方式表达的函数叫作**显函数**. 但也有些函数的表达方式不是这样,如 $x \mathrm{e}^y-y+1=0 , \quad x+y^3+1=0 \quad$ 通过一个方程确定变量 $y$ 与 $x$ 之间的对应关系,这样的函数称为**隐函数**. ### 由参数确定的方程 在实际问题中,函数 $y$ 与自变量 $x$ 可能不是直接由 $y=f(x)$ 表示, 而是通过一参变量 $t$ 来表示,即 $$ \left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array}\right. $$ 比如 $$ \left\{\begin{array}{l} x=\sin^2 t \\ y=\cos^2 t \end{array}\right. $$ 对于 显函数、隐函数和参数方程确定的函数进行求导统称为符合函数求导。 ## 复合函数的求导法则 如果 $y=f(u)$ 在点 $u$ 处可导, $u=g(x)$ 在点 $x$ 处可导,则复合函数 $y=f[g(x)]$ 在点 $x$ 处可导,则有如下结论 $$\boxed{ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x} \text { (即 } y^{\prime}(x)=f^{\prime}(u) \cdot g^{\prime}(x) ) } $$ **证明**:由 $u=g(x)$ 在点 $x$ 处连续(可导 $\Rightarrow$ 连续)知, 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时, $\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x) \rightarrow 0$ 故 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \alpha=\lim _{\Delta u \rightarrow 0} \alpha=0$ 因此, $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[f^{\prime}(u) \frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha \frac{\Delta u}{\Delta x}\right]=f^{\prime}(u) g^{\prime}(x) \text { 即 } \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x} $$ > 在实际应用中,可将 $\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d z} \cdot \frac{d z}{d x}$ 看作是**分数的约分**过程。 复合函数的求导法则也称为**链式法则**, 它可推广到有限个函数复合的情形. 比如,若 $y=f(u) , u=g(v)$ 和 $v=h(x)$ 可导,则 $y=f\{g[h(x)]\}$ $$ \boxed{ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} v} \cdot \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} x}=f^{\prime}(u) \cdot g^{\prime}(v) \cdot h^{\prime}(x) } $$ > 复合函数求导,犹如剥洋葱,一层层从外往里剥,直到剥到最里层。最里层即是微分表里所载的16个[基本微分函数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1274),这种法则被称为**洋葱法则**。 ## 例题 `例` 求下列函数的导数 (1) $y=e^{2x}$ 设 $y=\mathrm{e}^u, u=2 x$ 则 $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=\left(\mathrm{e}^u\right)^{\prime} \cdot(2 x)^{\prime}=\mathrm{e}^u \cdot 2=2 \mathrm{e}^u=2 \mathrm{e}^{2 x} $$ (2) $y=\sin x^2$ 设 $y=\sin u, u=x^2$ ,则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=(\sin u)^{\prime} \cdot\left(x^2\right)^{\prime}=\cos u \cdot 2 x=2 x \cos x^2$ (3) $y=\left(x^2+1\right)^{10}$ 设 $y=u^{10}, u=x^2+1$ ,则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=10 u^9 \cdot 2 x=10\left(x^2+1\right)^9 \cdot 2 x=20 x\left(x^2+1\right)^9$ (4) $y=\sqrt{1-x^2} \quad$ 函数 $y=\sqrt{1-x^2}$ 可以看作由 $y=\sqrt{u}$ 和 $u=1-x^2$ 复合而成,故 $$ y^{\prime}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=(\sqrt{u})^{\prime} \cdot\left(1-x^2\right)^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot(-2 x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} $$ 在实际做题过程中,我们通常不写出中间函数,而是一气呵成,中间函数这在大脑里闪存,然后立刻写出他的导数。 `例` 求下列符合函数的倒数 (1)$y=\ln (\sin x)$ $$ y^{\prime}=\frac{1}{\sin x} \cdot(\sin x)^{\prime}=\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x=\cot x $$ (2) $y=\cos ^2 x$ $$ y^{\prime}=2 \cos x \cdot(\cos x)^{\prime}=2 \cos x \cdot(-\sin x)=-\sin 2 x $$ (3) $y=\mathrm{e}^{\sin \frac{x}{2}}$ 函数 $y=\mathrm{e}^{\sin \frac{x}{2}}$ 由 $y=\mathrm{e}^u$ 和 $u=\sin v$ 及 $v=\frac{x}{2}$ 复合而成,故 $$ y^{\prime}=\left(\mathrm{e}^u\right)^{\prime} \cdot(\sin u) \cdot\left(\frac{x}{2}\right)^{\prime}=\mathrm{e}^u \cdot \cos v \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\prime}=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{\sin \frac{x}{2}} \cos \frac{x}{2} $$ (4) $y=\left(x+\sin ^2 x\right)^3$ $$ \begin{aligned} y^{\prime} & =\left[\left(x+\sin ^2 x\right)^3\right]^{\prime}=3\left(x+\sin ^2 x\right)^2\left(x+\sin ^2 x\right)^{\prime} \\ & =3\left(x+\sin ^2 x\right)^2\left[1+2 \sin x \cdot(\sin x)^{\prime}\right] \\ & =3\left(x+\sin ^2 x\right)^2(1+\sin 2 x) \end{aligned} $$ `例` 求 $y=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ 的导数. 解 $y^{\prime}=\frac{1}{\sqrt[2]{\frac{1-x}{1+x}}} \cdot\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}} \cdot \frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2}=\frac{1}{(1-x) \sqrt{1-x^2}}$ `例` 求函数 $y=\ln \sqrt{x^2+1}$ 的导数. 解 因为 $y=\frac{1}{2} \ln \left(x^2+1\right)$ ,所以 $$ y^{\prime}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2+1} \cdot\left(x^2+1\right)^{\prime}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2+1} \cdot 2 x=\frac{x}{x^2+1} . $$ `例` 求幂指函数 $y=x^{\frac{1}{x}}(x>0, x \neq 1)$ 的导数. 解 由对数的性质可知, $y=x^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{\ln x^{\frac{1}{x}}}=\mathrm{e}^{\frac{\ln x}{x}}$ ,因此 $$ y^{\prime}=\left(x^{\frac{1}{x}}\right)^{\prime}=\left(\mathrm{e}^{\frac{\ln x}{x}}\right)^{\prime}=\mathrm{e}^{\frac{\ln x}{x}} \cdot\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{\prime}=x^{\frac{1}{x}} \frac{1-\ln x}{x^2} $$ `例` 已知 $f(u)$ 可导,求函数 $y=f(\tan x)$ 的导数. 解 $y=f(\tan x)$ 由 $y=f(u)$ 和 $u=\tan x$ 复合而成,由复合函数求导法则可知, $y^{\prime}=[f(\tan x)]^{\prime}=f^{\prime}(u) \cdot(\tan x)^{\prime}$ , 即 $y^{\prime}=[f(\tan x)]^{\prime}=f^{\prime}(\tan x) \cdot(\tan x)^{\prime}=f^{\prime}(\tan x) \cdot \sec ^2 x$ > 注 求此类含抽象函数的导数时,应特别注意记号表示的真实含义. 此例中, $f^{\prime}(\tan x)$ 表示对 $\tan x$ 求导,而 $[f(\tan x)]^{\prime}$ 表示对 $x$ 求导. `例` 设 $\left\{\begin{array}{l}x=\sin t \\ y=t \sin t+\cos t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数 $)$ ,求 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}$ 解: 因为 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{(t \sin t+\cos t)_t^{\prime}}{(\sin t)_t^{\prime}}=t$所以 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=(t)_x^{\prime}=\frac{(t)_t^{\prime}}{(\sin t)_t^{\prime}}=\frac{1}{\cos t}$ ,所以 $$ \left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}=\left.\frac{1}{\cos t}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2} . $$ ### 在线教程 本节课程在线教程:[《高等数学》同济版复合函数求导法则](https://www.bilibili.com/video/BV1Eb411u7Fw?spm_id_from=333.788.videopod.episodes&vd_source=ce36ec6d3df912c631a78d26e9e63ed8&p=26) ## 多元函数复合求导链式法则 相比一元复合函数的求导法则,多元复合函数的求导法则要复杂的多。要查看多元函数的求导法则,请点击 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=385)
上一篇:
求导公式
下一篇:
二阶导数极其意义
本文对您是否有用?
有用
(
0
)
无用
(
0
)
如果本文对你有用,我们感觉很高兴, 随着规模的增长,我们需要更多资金支持, 欢迎您
打赏作者
索引
高中数学(教程)
高中数学(公式)
高等数学(教程)
高等数学(公式)
线性代数(教程)
线性代数(公式)
赞助商:
启明星会议室预约
题库
关于本站
广告赞助
科数网是专业专业的数学网站。