最后更新: 2024-11-10 07:50 查看: 1566 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

复合函数求导法则

## 复合函数求导法则

> 复合函数的求导法则分为**一元函数的求导法则**和**多元函数(偏导数)的求导法则**，本文介绍的一元函数的求导法则，要查看多元函数的求导发展，请点击 [多元函数复合求导链式法则](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=385)

### 复合函数的正确分解 
$y=f[g(x)]$ 由内函数 $u=g(x)$ 和外函数 $y=f(u)$ 复合而成.
例如， $y=\sin ^2 x$ 由 $u=\sin x$ 和 $y=u^2$ 复合而成，
$y=\ln \frac{x^2-1}{x^2+1}$ 由 $u=\frac{x^2+1}{x^2-1}$ 和 $y=\ln u$ 复合而成.

### 显函数与隐函数的表示方式

函数 $y=f(x)$ 表示变量 $y$ 与 $x$ 之间的对应关系， 这种对应关系可以用不同的方式表达。例如， $y=\sin x, y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ ，用这种方式表达的函数叫作**显函数**. 但也有些函数的表达方式不是这样，如 $x \mathrm{e}^y-y+1=0 ， \quad x+y^3+1=0 \quad$ 通过一个方程确定变量 $y$ 与 $x$ 之间的对应关系，这样的函数称为**隐函数**.

### 由参数确定的方程 
在实际问题中，函数 $y$ 与自变量 $x$ 可能不是直接由 $y=f(x)$ 表示， 而是通过一参变量 $t$ 来表示，即

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\varphi(t) \\
y=\psi(t)
\end{array}\right.
$$

比如
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\sin^2 t \\
y=\cos^2 t
\end{array}\right.
$$

对于 显函数、隐函数和参数方程确定的函数进行求导统称为符合函数求导。

## 复合函数的求导法则 
如果 $y=f(u)$ 在点 $u$ 处可导， $u=g(x)$ 在点 $x$ 处可导，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 在点 $x$ 处可导，则有如下结论

$$\boxed{
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x} \text { (即 } y^{\prime}(x)=f^{\prime}(u) \cdot g^{\prime}(x) )
}
$$

**证明**：由 $u=g(x)$ 在点 $x$ 处连续(可导 $\Rightarrow$ 连续)知， 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，
$\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x) \rightarrow 0$ 故 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \alpha=\lim _{\Delta u \rightarrow 0} \alpha=0$ 因此，

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[f^{\prime}(u) \frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha \frac{\Delta u}{\Delta x}\right]=f^{\prime}(u) g^{\prime}(x) \text { 即 } \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}
$$

> 在实际应用中，可将 $\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d z} \cdot \frac{d z}{d x}$ 看作是**分数的约分**过程。

复合函数的求导法则也称为**链式法则**， 它可推广到有限个函数复合的情形.
比如，若 $y=f(u) ， u=g(v)$ 和 $v=h(x)$ 可导，则 $y=f\{g[h(x)]\}$

$$
\boxed{
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} v} \cdot \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} x}=f^{\prime}(u) \cdot g^{\prime}(v) \cdot h^{\prime}(x)
}
$$

> 复合函数求导，犹如剥洋葱，一层层从外往里剥，直到剥到最里层。最里层即是微分表里所载的16个[基本微分函数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1274)，这种法则被称为**洋葱法则**。

## 例题

`例` 求下列函数的导数
(1) $y=e^{2x}$
设 $y=\mathrm{e}^u, u=2 x$ 则

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=\left(\mathrm{e}^u\right)^{\prime} \cdot(2 x)^{\prime}=\mathrm{e}^u \cdot 2=2 \mathrm{e}^u=2 \mathrm{e}^{2 x}
$$

(2) $y=\sin x^2$
设 $y=\sin u, u=x^2$ ，则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=(\sin u)^{\prime} \cdot\left(x^2\right)^{\prime}=\cos u \cdot 2 x=2 x \cos x^2$

(3) $y=\left(x^2+1\right)^{10}$
设 $y=u^{10}, u=x^2+1$ ，则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=10 u^9 \cdot 2 x=10\left(x^2+1\right)^9 \cdot 2 x=20 x\left(x^2+1\right)^9$

（4) $y=\sqrt{1-x^2} \quad$ 函数 $y=\sqrt{1-x^2}$ 可以看作由 $y=\sqrt{u}$ 和 $u=1-x^2$ 复合而成，故

$$
y^{\prime}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=(\sqrt{u})^{\prime} \cdot\left(1-x^2\right)^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot(-2 x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
$$

在实际做题过程中，我们通常不写出中间函数，而是一气呵成，中间函数这在大脑里闪存，然后立刻写出他的导数。

`例` 求下列符合函数的倒数
(1)$y=\ln (\sin x)$

$$
y^{\prime}=\frac{1}{\sin x} \cdot(\sin x)^{\prime}=\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x=\cot x
$$

(2) $y=\cos ^2 x$

$$
y^{\prime}=2 \cos x \cdot(\cos x)^{\prime}=2 \cos x \cdot(-\sin x)=-\sin 2 x
$$

(3) $y=\mathrm{e}^{\sin \frac{x}{2}}$
函数 $y=\mathrm{e}^{\sin \frac{x}{2}}$ 由 $y=\mathrm{e}^u$ 和 $u=\sin v$ 及 $v=\frac{x}{2}$ 复合而成，故

$$
y^{\prime}=\left(\mathrm{e}^u\right)^{\prime} \cdot(\sin u) \cdot\left(\frac{x}{2}\right)^{\prime}=\mathrm{e}^u \cdot \cos v \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\prime}=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{\sin \frac{x}{2}} \cos \frac{x}{2}
$$

(4)  $y=\left(x+\sin ^2 x\right)^3$

$$
\begin{aligned}
y^{\prime} & =\left[\left(x+\sin ^2 x\right)^3\right]^{\prime}=3\left(x+\sin ^2 x\right)^2\left(x+\sin ^2 x\right)^{\prime} \\
& =3\left(x+\sin ^2 x\right)^2\left[1+2 \sin x \cdot(\sin x)^{\prime}\right] \\
& =3\left(x+\sin ^2 x\right)^2(1+\sin 2 x)
\end{aligned}
$$

`例` 求 $y=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ 的导数.
解 $y^{\prime}=\frac{1}{\sqrt[2]{\frac{1-x}{1+x}}} \cdot\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}} \cdot \frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2}=\frac{1}{(1-x) \sqrt{1-x^2}}$

`例` 求函数 $y=\ln \sqrt{x^2+1}$ 的导数.
解 因为 $y=\frac{1}{2} \ln \left(x^2+1\right)$ ，所以

$$
y^{\prime}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2+1} \cdot\left(x^2+1\right)^{\prime}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2+1} \cdot 2 x=\frac{x}{x^2+1} .
$$

`例` 求幂指函数 $y=x^{\frac{1}{x}}(x>0, x \neq 1)$ 的导数.
解 由对数的性质可知， $y=x^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{\ln x^{\frac{1}{x}}}=\mathrm{e}^{\frac{\ln x}{x}}$ ，因此

$$
y^{\prime}=\left(x^{\frac{1}{x}}\right)^{\prime}=\left(\mathrm{e}^{\frac{\ln x}{x}}\right)^{\prime}=\mathrm{e}^{\frac{\ln x}{x}} \cdot\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{\prime}=x^{\frac{1}{x}} \frac{1-\ln x}{x^2}
$$

`例` 已知 $f(u)$ 可导，求函数 $y=f(\tan x)$ 的导数.
解 $y=f(\tan x)$ 由 $y=f(u)$ 和 $u=\tan x$ 复合而成，由复合函数求导法则可知， $y^{\prime}=[f(\tan x)]^{\prime}=f^{\prime}(u) \cdot(\tan x)^{\prime}$ ， 即 $y^{\prime}=[f(\tan x)]^{\prime}=f^{\prime}(\tan x) \cdot(\tan x)^{\prime}=f^{\prime}(\tan x) \cdot \sec ^2 x$

> 注 求此类含抽象函数的导数时，应特别注意记号表示的真实含义. 此例中， $f^{\prime}(\tan x)$ 表示对 $\tan x$ 求导，而 $[f(\tan x)]^{\prime}$ 表示对 $x$ 求导.

`例` 设 $\left\{\begin{array}{l}x=\sin t \\ y=t \sin t+\cos t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数 $)$ ，求 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}$

解： 因为 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{(t \sin t+\cos t)_t^{\prime}}{(\sin t)_t^{\prime}}=t$所以 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=(t)_x^{\prime}=\frac{(t)_t^{\prime}}{(\sin t)_t^{\prime}}=\frac{1}{\cos t}$ ，所以
$$
\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}=\left.\frac{1}{\cos t}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2} .
$$

### 在线教程

本节课程在线教程：[《高等数学》同济版复合函数求导法则](https://www.bilibili.com/video/BV1Eb411u7Fw?spm_id_from=333.788.videopod.episodes&vd_source=ce36ec6d3df912c631a78d26e9e63ed8&p=26)

## 多元函数复合求导链式法则
相比一元复合函数的求导法则，多元复合函数的求导法则要复杂的多。要查看多元函数的求导法则，请点击 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=385)

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