最后更新: 2025-06-14 12:15 查看: 575 次反馈同步训练

二阶导数及其意义

## 二阶导数的概念
如果函数 $y=f(x)$ 的导数 $y^{\prime}=f^{\prime}(x)$ 仍是 $x$ 的可导函数，那么就称 $y^{\prime}=f^{\prime}(x)$ 的导数为函数 $y=f(x)$ 的二阶导数，记作

$$
y^{\prime \prime} ， f^{\prime \prime}(x) ， \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2} \text { 或 } \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{~d} x^2}
$$

即 $y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{\prime} ， f^{\prime \prime}(x)=\left[f^{\prime}(x)\right]^{\prime} ， \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)$ 或 $\frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} x}\right)$ 例如， $(\sin x)^{\prime}=\cos x ，(\sin x)^{\prime \prime}=(\cos x)^{\prime}=-\sin x$.

`例` 设 $y=x^2+\ln x$ ，求 $y^{\prime \prime}$.
解 $y^{\prime}=2 x+\frac{1}{x}, y^{\prime \prime}=2-\frac{1}{x^2}$.

`例` 设 $y=\arctan x$ ，求 $f^{\prime \prime}(0)$

$$
\begin{aligned}
& \text { 解 } y^{\prime}=\frac{1}{1+x^2}, y^{\prime \prime}=\left(\frac{1}{1+x^2}\right)^{\prime}=\frac{-2 x}{\left(1+x^2\right)^2}, \\
& f^{\prime \prime}(0)=\left.\frac{-2 x}{\left(1+x^2\right)^2}\right|_{x=0}=0
\end{aligned}
$$

`例` 证明 $y=\mathrm{e}^x \sin x$ 满足关系式 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0$.
证明

$$
\begin{aligned}
& y^{\prime}=\left(\mathrm{e}^x \sin x\right)^{\prime}=\mathrm{e}^x \sin x+\mathrm{e}^x \cos x=\mathrm{e}^x(\sin x+\cos x), \\
& y^{\prime \prime}=\mathrm{e}^x(\sin x+\cos x)+\mathrm{e}^x(\cos x-\sin x)=2 \mathrm{e}^x \cos x,
\end{aligned}
$$

所以 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=2

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