最后更新: 2024-10-02 14:56 查看: 425 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

二阶导数极其意义

## 二阶导数的概念
如果函数 $y=f(x)$ 的导数 $y^{\prime}=f^{\prime}(x)$ 仍是 $x$ 的可导函数，那么就称 $y^{\prime}=f^{\prime}(x)$ 的导数为函数 $y=f(x)$ 的二阶导数，记作

$$
y^{\prime \prime} ， f^{\prime \prime}(x) ， \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2} \text { 或 } \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{~d} x^2}
$$

即 $y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{\prime} ， f^{\prime \prime}(x)=\left[f^{\prime}(x)\right]^{\prime} ， \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)$ 或 $\frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} x}\right)$ 例如， $(\sin x)^{\prime}=\cos x ，(\sin x)^{\prime \prime}=(\cos x)^{\prime}=-\sin x$.

`例` 设 $y=x^2+\ln x$ ，求 $y^{\prime \prime}$.
解 $y^{\prime}=2 x+\frac{1}{x}, y^{\prime \prime}=2-\frac{1}{x^2}$.

`例` 设 $y=\arctan x$ ，求 $f^{\prime \prime}(0)$

$$
\begin{aligned}
& \text { 解 } y^{\prime}=\frac{1}{1+x^2}, y^{\prime \prime}=\left(\frac{1}{1+x^2}\right)^{\prime}=\frac{-2 x}{\left(1+x^2\right)^2}, \\
& f^{\prime \prime}(0)=\left.\frac{-2 x}{\left(1+x^2\right)^2}\right|_{x=0}=0
\end{aligned}
$$

`例` 证明 $y=\mathrm{e}^x \sin x$ 满足关系式 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0$.
证明

$$
\begin{aligned}
& y^{\prime}=\left(\mathrm{e}^x \sin x\right)^{\prime}=\mathrm{e}^x \sin x+\mathrm{e}^x \cos x=\mathrm{e}^x(\sin x+\cos x), \\
& y^{\prime \prime}=\mathrm{e}^x(\sin x+\cos x)+\mathrm{e}^x(\cos x-\sin x)=2 \mathrm{e}^x \cos x,
\end{aligned}
$$

所以 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=2 \mathrm{e}^x \cos x-2 \mathrm{e}^x(\sin x+\cos x)+2 \mathrm{e}^x \sin x=0$ ， 故 $\quad y=\mathrm{e}^x \sin x$ 满足关系式 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0$.

## 二阶导数的物理意义
设质点沿直线运动，在直线上给定原点和单位点(表示实数 1 的点)，使直 线成为数轴. 另外，再取定一个时刻为计时的零点. 质点于时刻 在直线上的 位置的坐标记为 $s$ ， 这样，质点的运动完全由某个函数 $s=s(t)$ 所确定.
在最简单的匀速直线运动的情形中，质点经过的路程与所用的时间成正比， 即 $v=\frac{s}{t}$ 如果是非匀速直线运动，取从 $t_0$ 时刻到 $t_0+\Delta t$ 这样一段时间间隔，在 上质点所走过的路程 $s$ 有相应增量 $\Delta s=s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right)$ ， 这段区间上的平均速度

$$
\bar{v}=\frac{s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right)}{\Delta t}
$$

若令 $t \rightarrow t_0$ ， 即 $\Delta t \rightarrow 0$ ，那么 $\bar{v}$ 的极限值就精确地反映了质点在时刻这一 瞬间运动的快慢程度。因此在 $t=t_0$ 时，瞬时速度即为

$$
v\left(t_0\right)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right)}{\Delta t}=s^{\prime}\left(t_0\right)
$$

一般地，变速直线运动的速度 $v(t)$ 就是位置函数 $s(t)$ 对时间 $t$ 的导数， 即 $v(t)=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}$ ，或 $v=s^{\prime}$
而加速度 $a(t)$ 是速度函数 $v(t)$ 对时间 $t$ 的变化率，即速度函数，对时间 $t$ 的 导数， 即

$$
a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}\right) \text { ，或 } a=\left(s^{\prime}\right)^{\prime}=s^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{~d} t^2} \text {. }

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