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隐函数的导数

## 隐函数的导数
设变量 $x$ 和 $y$ 满足方程 $F(x, y)=0$ 如果在一定条件下，当 $x$ 取某区间内的 任一值时，相应地，总有满足这个方程的唯一的 $y$ 值存在，那么称方程 $F(x, y)=0$ 在该区间内确定了一个**隐函数**，记为 $y=y(x)$.
将一个隐函数转化成显函数，叫作隐函数的显化. 比如，将 $x+y^3-1=0$ 写成 $y=\sqrt[3]{1-x}$ 就是指这个过程. 但有些函数显化却很困难，甚至不可能，比 如 $\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^y+\sin x y-1=0$ 那么如何对隐函数导呢?
设方程 $F(x, y)=0$ 确定了一个函数 $y=y(x)$ ， 将 $y=y(x)$ "代入" 方程，便得 到恒等式 $F[x, y(x)] \equiv 0$ 在等式 $F[x, y(x)] \equiv 0$ 两边关于 $x$ 求导，且将 $y$ 看作 $x$ 的 函数，即可解得 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$.

`例` 设方程 $y=1+x \mathrm{e}^y$ 所确定的隐函数为 $y=y(x)$ ，求 $\left.y^{\prime}\right|_{x=0}$.
解 将 $y=1+x \mathrm{e}^y$ 两端对 $x$ 求导数，得 $y^{\prime}=0+\left(x \mathrm{e}^y\right)^{\prime}=\mathrm{e}^y+x \mathrm{e}^y y^{\prime}$ ， 故 $y^{\prime}=\frac{\mathrm{e}^y}{1-x \mathrm{e}^y}$.
在上式中，令 $x=0$ ，由 $y=1+x \mathrm{e}^y$ 知 $\left.y\right|_{x=0}=1$ ，故 $\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=\mathrm{e}$.

`例` 求由方程 $x y+\ln y=1$ 所确定的函数 $y=y(x)$ 在点 $M(1,1)$ 处的切线方程 解 在题设方程两边同时对自变量 $x$ 求导，得 $y+x y^{\prime}+\frac{1}{y} y^{\prime}=0$ ， 解得 $y^{\prime}=-\frac{y^2}{x y+1}$.
在点 $M(1,1)$ 处， $\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=-\frac{1^2}{1 \times 1+1}=-\frac{1}{2}$
于是，在点 $M(1,1)$ 处的切线方程为 $y-1=-\frac{1}{2}(x-1)$ ，即 $x+2 y-3=0$.
对隐函数也可以求高阶导数。只要在求导过程中始终将 $y 、 y^{\prime} 、 y^{\prime \prime}$ 等 看成 $x$ 的函数即可.

`例` 设 $x^4-x y+y^4=1$, 求 $y^{\prime \prime}$ 在点 $(0,1)$ 处的值.
解 方程两边对 $x$ 求导，得
代入 $x=0, y=1$ 得

$$
4 x^3-y-x y^{\prime}+4 y^3 y^{\prime}=0,
$$

$$
\left.y^{\prime}\right|_{\substack{x=0 \\ y=1}}=\frac{1}{4} \text {; }
$$

将方程  两边再对 $x$ 求导得 $12 x^2-2 y^{\prime}-x y^{\prime \prime}+12 y^2\left(y^{\prime}\right)^2+4 y^3 y^{\prime \prime}=0$, 代入 $x=0, y=1, y^{\prime}\left|\begin{array}{ll}x=0 \\ y=1\end{array}\right| \frac{1}{4}$ 得

$$
\left.y^{\prime \prime}\right|_{\substack{x=0 \\ y=1}}=-\frac{1}{16} .
$$

`例` 求由方程 $x^y=y^x(x, y>0, x, y \neq 1)$ 所确定的隐函数 $y$ 对 $x$ 的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$. 解 先将方程取对数，得 $y \ln x=x \ln y$ ， 然后两边关于 $x$ 求导，即

$$
y^{\prime} \ln x+\frac{y}{x}=\ln y+x \frac{y^{\prime}}{y}
$$

得

$$
y^{\prime}=\frac{y \ln x-x^2}{x y \ln y-y^2}\left(x y \ln y-y^2 \neq 0\right),
$$

其中 $y=y(x)$ 是由方程 $x^y=y^x$ 所确定的隐函数.

注 对于幂指函数 $y=u(x)^{v(x)}$ ，可将其写成 $y=\mathrm{e}^{v(x)) \mathrm{n} u(x)}$ 再求导，也就是复合函 数求导，也可两边取对数:

$$
\ln y=v(x) \ln u(x)
$$

将其视为隐函数 $y$ 对 $x$ 求导，这种求导的方法称为对数求导法. 对数求导 法还适用于下列形式的函数.

`例` 设 $y=\frac{(x+1) \sqrt[3]{x-1}}{(x+4)^2 \mathrm{e}^x}$ ，求 $y^{\prime}$.
解 等式两边取对数得

$$
\ln y=\ln (x+1)+\frac{1}{3} \ln (x-1)-2 \ln (x+4)-x,
$$

上式两边对 $x$ 求导得

$$
\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{3(x-1)}-\frac{2}{x+4}-1,
$$

故

$$
y^{\prime}=\frac{(x+1) \sqrt[3]{x-1}}{(x+4)^2 \mathrm{e}^x}\left[\frac{1}{x+1}+\frac{1}{3(x-1)}-\frac{2}{x+4}-1\right]
$$

`例` 求椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ 在点 $\left(2, \frac{3}{2} \sqrt{3}\right)$ 处的切线方程．
解 由导数的几何意义知道，所求切线的斜率为

$$
k=\left.y^{\prime}\right|_{x=2} .
$$

把椭圆方程的两边分别对 $x$ 求导，有

$$
\frac{x}{8}+\frac{2}{9} y \cdot \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=0
$$

从而 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{9 x}{16 y}$ ，代人点的坐标，得

$$
k=\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{\substack{x=2 \\ y=\frac{3}{2} \sqrt{3}}}=-\frac{\sqrt{3}}{4},
$$

于是所求的切线方程为

$$
y-\frac{3}{2} \sqrt{3}=-\frac{\sqrt{3}}{4}(x-2), \quad \text { 即 } \sqrt{3} x+4 y-8 \sqrt{3}=0 \text {. }
$$

## 隐函数求导技巧

在某些场合，利用对数求导法求导数比用通常的方法更简便些．这种方法是先在 $y=f(x)$ 的两边取对数，将其化为隐函数，用隐函数求导法求出 $y$ 的导数．

`例` 求 $y=x^{\sin x}(x>0)$ 的导数．
解 这种形式的函数既不是幂函数也不是指数函数，称为幂指函数，先在两边取对数，得

$$
\ln y=\sin x \cdot \ln x .
$$

上式两边对 $x$ 求导，注意到 $y$ 是 $x$ 的函数，得

$$
\frac{1}{y} y^{\prime}=\cos x \cdot \ln x+\sin x \cdot \frac{1}{x}
$$

于是

$$
y^{\prime}=y\left(\cos x \cdot \ln x+\frac{\sin x}{x}\right)=x^{\sin x}\left(\cos x \cdot \ln x+\frac{\sin x}{x}\right) .
$$

幂指函数的一般形式为

$$
y=u^v \quad(u>0),
$$

其中 $u, v$ 是 $x$ 的函数，如果 $u, v$ 都可导，则可利用对数求导法求出幂指函数的导数，具体方法如下：

两边取对数，得

$$
\ln y=v \ln u,
$$

上式两边对 $x$ 求导，注意到 $y, u, v$ 都是 $x$ 的函数，得

$$
\frac{1}{y} \cdot y^{\prime}=v^{\prime} \cdot \ln u+v \cdot \frac{1}{u} \cdot u^{\prime}
$$

于是

$$
y^{\prime}=y\left(v^{\prime} \cdot \ln u+\frac{v u^{\prime}}{u}\right)=u^v\left(v^{\prime} \cdot \ln u+\frac{v u^{\prime}}{u}\right) .
$$

幂指函数也可表示为

$$
y=\mathrm{e}^{v \ln u},
$$

这样，便可直接求得

$$
y^{\prime}=\mathrm{e}^{v \ln u}\left(v^{\prime} \ln u+v \frac{u^{\prime}}{u}\right)=u^v\left(v^{\prime} \ln u+\frac{v u^{\prime}}{u}\right) .
$$

对于含有多个因子相乘、相除或带乘方、开方的函数利用对数求导法也比较方便。

`例` 设 $y=\sqrt{\sin x \cdot x^3 \cdot \sqrt{1-x^2}}$ ，求 $y^{\prime}$ ．

解 两边取对数，得 $\ln |y|=\frac{1}{2}\left[\ln |\sin x|+3 \ln |x|+\frac{1}{2} \ln \left|1-x^2\right|\right]$ ，两边求导得

即

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{y} y^{\prime}=\frac{1}{2} & {\left[\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{3}{x}+\frac{1}{2}\left(\frac{-2 x}{1-x^2}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(\cot x+\frac{3}{x}-\frac{x}{1-x^2}\right) } \\
y^{\prime} & =y \cdot \frac{1}{2}\left(\cot x+\frac{3}{x}-\frac{x}{1-x^2}\right) \\
& =\frac{1}{2} \sqrt{\sin x \cdot x^3 \cdot \sqrt{1-x^2}} \cdot\left(\cot x+\frac{3}{x}-\frac{x}{1-x^2}\right)
\end{aligned}
$$

若函数是由几个初等函数经乘、除、乘方、开方构成的，也可采用对数求导法简化其求导运算．
 `例` 求函数 $y=\sqrt{\frac{(x+1)(x+2)}{(x+3)(x+4)}}$ 的导数．
解 当 $x>-1$ 时，对方程的两端取对数，得

$$
\ln y=\frac{1}{2}[\ln (x+1)+\ln (x+2)-\ln (x+3)-\ln (x+4)],
$$

等式两边对 $x$ 求导

$$
\frac{1}{y} y^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}\right),
$$

得

$$
y^{\prime}=\sqrt{\frac{(x+1)(x+2)}{(x+3)(x+4)}} \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}\right) .
$$

其他版本
【数学分析】隐函数求导法

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