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参数方程的导数

## 参数方程的导数
考虑由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)^{\prime}\end{array}\right.$ (其中 $t$ 为参数) 确定的函数 $y=y(x)$ 的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$. 如果能从 $x=\varphi(t)$ 中解出 $t=\varphi^{-1}(x)$ ，则由 $y=\psi\left(\varphi^{-1}(x)\right)$ 求得导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$. 这个方法 实质是消去参数 $t$ ，但这个工作是困难的（有时是不可能的，如 $\left\{\begin{array}{l}x=\sin t+\mathrm{e}^t \\ y=t^2+\cos t\end{array}\right.$. 现在我们希望有一种方法，能直接由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array}\right.$ 算出它们所确定的函数 的导数. 下面就来讨论这种求导数的方法.

如果 $x=\varphi(t)$ 的反函数为 $t=\varphi^{-1}(x)$ ， 且它满足反函数的求导条件，则可将 $y=\psi\left[\varphi^{-1}(x)\right]$ 看作 $y=\psi(t)$ 与 $t=\varphi^{-1}(x)$ 的复合函数.
利用反函数的求导法则，得

$$ \boxed{
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} \cdot \frac{1}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(t)}
...(1)
}

这里 $\varphi^{\prime}(t) \neq 0$ 是反函数的求导法则中的条件之一. 公式（1）表明，对$y$对$x$求导，可以分布让$y$对$t$求导和 $x$对$t$ 求导，然后再相除即可。

如果 $x=\varphi(t) 、 y=\psi(t)$ 二阶可导，则有二阶导数

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right) & =\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{\frac{\varphi^{\prime}(t) \psi^{\prime \prime}(t)-\varphi^{\prime \prime}(t) \psi^{\prime}(t)}{\left[\varphi^{\prime}(t)\right]^2}}{\varphi^{\prime}(t)} \\
& =\frac{\varphi^{\prime}(t) \psi^{\prime \prime}(t)-\varphi^{\prime \prime}(t) \psi^{\prime}(t)}{\left[\varphi^{\prime}(t)\right]^3}
\end{aligned}
$$

类似地，我们可求得更高阶的导数.

`例` 已知圆的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y=a \sin t^{\prime}\end{array}(a>0)\right.$ ，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$.
解：分别让$x,y$ 对$t$求导得

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{(a \sin t)^{\prime}}{(a \cos t)^{\prime}}=\frac{a \cos t}{-a \sin t}=-\cot t$

`例` 设参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos ^3 \varphi \\ y=b \sin ^3 \varphi\end{array}(a, b>0)\right.$ ，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$.
解 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} \varphi}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} \varphi}}=\frac{3 b \sin ^2 \varphi \cos \varphi}{3 a \cos ^2 \varphi(-\sin \varphi)}=-\frac{b}{a} \tan \varphi$

`例` 设参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+t^2\right) \\ y=t-\arctan t\end{array}\right.$ ，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
解

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{1-\frac{1}{1+t^2}}{\frac{2 t}{1+t^2}}=\frac{t}{2} ; \\
& \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2 t}{1+t^2}}=\frac{1+t^2}{4 t} .
\end{aligned}
$$

`例` 设参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=a(t-\sin t) \\ y=a \sin t\end{array}\right.$ ，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
解

$$
\begin{gathered}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{a \sin t}{a(1-\cos t)}=\frac{\sin t}{1-\cos t^{\prime}} \\
\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{\frac{\cos t(1-\cos t)-\sin t \cdot \sin t}{(1-\cos t)^2}}{a(1-\cos t)}=-\frac{1}{a(1-\cos t)^2} .
\end{gathered}
$$

`例` 设参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=a(t-\sin t) \\ y=a \sin t\end{array}\right.$ ，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
或直接运用公式求二阶导数:
由 $x_t^{\prime}=a(1-\cos t) ， y_t^{\prime}=a \sin t ， x_t^{\prime \prime}=a \sin t ， y_t^{\prime \prime}=a \cos t$ 得

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2} & =\frac{\varphi^{\prime}(t) \psi^{\prime \prime}(t)-\varphi^{\prime \prime}(t) \psi^{\prime}(t)}{\left[\varphi^{\prime}(t)\right]^3} \\
& =\frac{a(1-\cos t) a \cos t-a^2 \sin ^2 t}{a^3(1-\cos t)^3}=-\frac{1}{a(1-\cos t)^2} .
\end{aligned}
$$

## 参数方程表示导数的几何意义
考虑一个小球运动轨迹是$y=f(x)$，那么对$x$求导的物理意义就是小球在$x_0$时刻的速度$v$。既然是速度，因为速度是矢量，就必须有**大小**和**方向**。而一阶导数只反应了速度的大小，却无法反应速度的方向，这是一阶导数的**局限性**。为此，我们引入参数$t$， 把运动分解为$x$方向和$y$方向运动，这样，分别对$t$求导，就得到$x$方向水平速度$v_x$和$y$方向垂直速度$v_y$，毫无疑问，根据矢量运算的平行四边形法则就有
$$
\vec{v}=\vec{v_x}+\vec{v_y}
$$

> **下面详细讨论一元参数方程表示导数的几何意义，理解这个意义以后，对于拓展多远导数的微分有及其重要的意义。**

我们考虑高中物理的平抛运动,从$O$水平扔出一个小球。在水平方向做匀速运动，垂直方向做自由落体运动，其运动方程是

$$
\left\{\begin{aligned}
& x=v_0 t \\
& y=\frac{1}{2} g t^2
\end{aligned}\right. ...(1)
$$

如果仅从数学的角度，消去参数$t$可以解得方程为
$$
y=\frac{g}{2 v_0^2} x^2 ...(2)
$$

从方程（2）不难看出他就是初中数学学习的的$y=ax^2$二次函数，其图形是一个抛物线，这就是为什么物理学里把他叫做抛体运动的原因。
但是在（2）式中，重力加速度 $g$ 与平抛初速度 $v_0$ 都不随时间$t$变化,不容易看出其中的物理意义。

![图片](/uploads/2025-08/41e4be.svg){width=300px}

物体做平抛运动的位移是这两个分运动位移的矢量和。根据平行四边形定则，位移的大小为

$$
s=\sqrt{x^2+y^2}
$$

位移方向可用其与 $x$ 轴的夹角 $\alpha$ 表示，则

$$
\tan \alpha=\frac{y}{x}=\frac{g t}{2 v_0}
$$

由于将抛出时刻作为初始时刻，做平抛运动的物体在任一时刻沿 $x$ 轴和 $y$ 轴两个分运动的速度大小分别为

$$
\left\{\begin{aligned}
& v_x=v_0 \\
& v_y=g t
\end{aligned}
\right.
$$

根据平行四边形定则，物体在该时刻的速度是两个分运动速度的矢量和，其大小为

$$
v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{v_0^2+(g t)^2}
$$

速度方向可用其与 $x$ 轴的夹角 $\theta$ 表示，则

$$
\tan \theta=\frac{v_y}{v_x}=\frac{g t}{v_0}
$$

### 物理导数的物理意义
对于$y=f(x)$，他的导数可以认为是**速度**，但是，速度既有大小，又有方向，直接表达成$f'(x)$其实并不妥，因为他只记录大小没有记录方向，有大小和方向的只能是向量，所以，我们使用向量表示导数。

例如一个质点的运动轨迹为  $y=x^2$,他的导数为$y'=2x$，则在$x=1$时，$y=2$， 这里的$x,y$ 都是数学的抽象，如果我们将他们写成参数式，就可以得到物理意义

$$
\left\{\begin{aligned}
& x=t \\
& y= t^2
\end{aligned}\right. ...(3)
$$

这样，对参数$t$ 求导，就得到

$$
\left\{\begin{aligned}
& v_x=1 \\
& v_y= 2t
\end{aligned}\right. ...(4)
$$

从（4）的角度理解，他沿水平方向的速度始终是$1$,而沿垂直方向的速度为匀速运动，速度为$2t$，这样如果我们使用一个向量来表示他的速度就可以表示为 $(v_x,v_y)$  即
$$
\boxed{
v=(v_x,v_y)=(f_x'(t)，f_y'(t)) ...(5)
}
$$

（5）式表明，质点的运动速度为 $(f_x'(t)，f_y'(t))$ ,写成这样就可以了，不需要在合并了，比如取$t=1$，他的速度为$(1,2)$,即在$t=1$时刻，他的水平速度为1m/s， 垂直速度为$2m/s$。

![图片](/uploads/2025-08/14f85b.jpg){width=300px}

上面（5）时可以这么理解：

> 小球运动的轨迹可以看成$y=f(x)$形成的曲线，曲线的导数是小球的速度，我们可以把小球的运动分解为沿着$x$方向和$y$方向的运动，其对时间的导数恰好沿着$v_x,v_y$,把这2个数字组成一个向量$(v_x,v_y)$,此时表达的速度，既有大小又有方向。大小是这个向量的模，方向是向量的夹角。

`例`求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^t \sin 2 t, \\ y=\mathrm{e}^t \cos t\end{array}\right.$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程．
解 在点 $(0,1)$ 处，参数 $t=0$ ．则

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y^{\prime}(t)}{x^{\prime}(t)}=\frac{\mathrm{e}^t(\cos t-\sin t)}{\mathrm{e}^t(\sin 2 t+2 \cos 2 t)}=\frac{\cos t-\sin t}{\sin 2 t+2 \cos 2 t} .
$$

故

$$
\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{t=0}=\frac{1}{2},
$$

故切线方程为 $y-1=\frac{1}{2} x$ ．

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