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相关变化率

## 相关变化率
设 $x=\varphi(t) 、 y=\psi(t)$ 均可导，且由 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array}\right.$ 确定了 $x$ 与 $y$ 之间存在着某种 关系，这样 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}$ 与 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}$ (变化率) 之间也存在一定的关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 我们研究这种关系，就是希望从一个已知的变化率求出另一个末知的变化率.

`例` 一长为 $5 \mathrm{~m}$ 的梯子斜靠在墙上. 如果梯子下端以 $0.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速率滑离墙壁， 试求梯子下端离墙 $3 \mathrm{~m}$ 时，梯子上端向下滑落的速率.

![图片](/uploads/2022-12/image_2022122711fc6d8.png)

解 如图2-11所示， $x$ 表示梯子下端离墙的距离， $y$ 表示梯子上端到地面的距 离， 这里 $x ， y$ 都是时间 $t$ 的函数，于是 $x^2+y^2=25$. 两边对 $t$ 求导，得

$$
2 x \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}+2 y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=0 \text {, 即 } \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=-\frac{x}{y} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \text {. }
$$

注意到 $x=3, y=4$ 以及 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=0.5$, 代入得

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=-\frac{3}{8},
$$

即梯子上端向下滑落的速率为 $\frac{3}{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$.

`例`已知一气球的半径以 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度增加，求当半径为 10 cm时，这个气球的体积和表面积的增加速度．

解 因半径 $r$ 随时间而增加，故 $r$ 是时间 $t$ 的函数，设 $r=r(t)$ ．求体积与表面积的增加速度，即求体积与表面积对时间 $t$ 的变化率．为此，先建立体积和表面积与半径（即时间 $t$ 的函数）的函数关系：

$$
V=\frac{4}{3} \pi r^3(t), \quad S=4 \pi r^2(t),
$$

它们都是时间 $t$ 的函数，$r$ 为中间变量．上式两边分别对 $t$ 求导得

$$
\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} t}=4 \pi r^2 \cdot \frac{\mathrm{~d} r}{\mathrm{~d} t}, \quad \frac{\mathrm{~d} S}{\mathrm{~d} t}=8 \pi r \cdot \frac{\mathrm{~d} r}{\mathrm{~d} t},
$$

已知条件为 $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} t}=2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ，且在某时刻 $t_0, r\left(t_0\right)=10 \mathrm{~cm}$ ，故

$$
\begin{aligned}
& \left.\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} t}\right|_{t_0}=4 \pi \cdot 10^2 \cdot 2=800 \pi\left(\mathrm{~cm}^3 / \mathrm{s}\right) \\
& \left.\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{~d} t}\right|_{t_0}=8 \pi \cdot 10 \cdot 2=160 \pi\left(\mathrm{~cm}^2 / \mathrm{s}\right)
\end{aligned}
$$

`例`某人以 $2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度通过一座桥，桥面高出水面 20 m ，在此人的正下方有一条小船以 $\frac{4}{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度沿与桥垂直的方向航行，求在时刻 5 s 时，人与小船相分离的速度．

解 设经 $t$ 秒钟后船与人的距离为 $s \mathrm{~m}$ ，人行走距离为 $x \mathrm{~m}$ ，船航行距离为 $y \mathrm{~m}$ ，则 $s^2(t)=x^2(t)+y^2(t)+20^2$ ，所建立的方程并不是 $s$ 与 $t$ 的直接函数关系，但因为所求的 $v=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}$ ，且已知 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=2, \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}=\frac{4}{3}$ ，所以可借助相关变化率来求。

方程两边对 $t$ 求导，得

$$
2 s \frac{\mathrm{~d} s}{\mathrm{~d} t}=2 x \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}+2 y \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t} .
$$

当 $t=5$ 时，$x=10, y=\frac{20}{3}, s=\sqrt{10^2+\left(\frac{20}{3}\right)^2+20^2}=\frac{70}{3}$ ，代人上式得

$$
\left.\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=5}=\left(10 \cdot 2+\frac{20}{3} \cdot \frac{4}{3}\right) / \frac{70}{3}=\frac{26}{21}(\mathrm{~m} / \mathrm{s}),
$$

故在时刻 5 s 时，人与小船相分离的速度为 $\frac{26}{21} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ．

`例`已知函数 $y=f(x)$ 是可导的函数，且 $f^{\prime}(x)>0, b$ 为定义域内任一点，求曲线 $y=f(x)$在点 $(b, f(b))$ 处的切线与 $x$ 轴交点的坐标．

【解题思路】写出切线方程后，直接令 $y=0$ 即可．
【详解】由导数的几何意义，在点 $(b, f(b))$ 处，切线斜率为 $f^{\prime}(b)$ ，故切线方程为： $y-f(b)=f^{\prime}(b)(x-b)$ ，令 $y=0$ ，得 $x=b-\frac{f(b)}{f^{\prime}(b)}$ ，故与 $x$ 轴交点坐标为 $\left(b-\frac{f(b)}{f^{\prime}(b)}, 0\right)$ ．

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