最后更新: 2024-10-02 15:18 ● 参与者查看: 379 次纠错分享评论参与项目

微分的定义

## 微分的定义与几何意义
我们先来试着计算这样的两组数:
$\Delta y=\sin (1+\Delta x)-\sin 1, \quad \Delta x=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ，$ $\mathrm{d} y=\left.(\sin x)^{\prime}\right|_{x=1} \cdot \Delta x, \Delta x=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001$. 通过计算可以发现什么规律呢?
（1）计算 $\mathrm{d} y$ 比计算 $\Delta y$ 容易得多；
(2) 当 $\Delta x$ 越来越小时， $\mathrm{d} y$ 和 $\Delta y$ 越接近.
所以，有些时候，我们可以用 $\mathrm{d} y$ 来近似替代 $\Delta y$ ，因为它极容易计算， 误差又小.

在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题: 当自变量 $x$ 有微小变化 $\Delta x$ 时，求函数 $y=f(x)$ 的微小改变量

$$
\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)
$$

这个问题初看起来似平只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函 数 $f(x)$ ，差值 $f(x+\Delta x)-f(x)$ 却是一个更复杂的表达式，不易求出其值. 一个想 法是: 我们设法将 $\Delta y$ 示成 $\Delta x$ 的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单 问题. 微分就是实现这种线性化的一种数学模型.

例1 一块正方形金属薄片因受温度变化的影响，其边长由 $x_0$ 变到 $x_0+\Delta x$ ，问: 此薄片的面积改变了多少?
解 设此薄片的边长为 $x_0$ ，面积为 $A$ ，则 $A=x_0^2$ ，薄片受温度变化的影响，当自 变量 $x$ 从 $x_0$ 变到 $x_0+\Delta x$ 取得增量 $\Delta x$ 时，面积的改变量可以看成是因变量 $A$ 取得相 应的增量 $\Delta A$ ，即

$$
\Delta A=\left(x_0+\Delta x\right)^2-x_0^2=2 x_0 \Delta x+(\Delta x)^2 .
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221227b89c0aa.png)

从上式可以看出， $\triangle A$ 由两部分组成：第一部 分 $2 x_0 \Delta x$ 是 $\Delta x$ 的线性函数，即图2-12中灰色的两个 矩形面积之和，而第二部分 $(\Delta x)^2$ 在图中是黑色的 小正方形面积. 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，第二部分 $(\Delta x)^2$ 是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小，即 $(\Delta x)^2=o(\Delta x)(\Delta x \rightarrow 0)$. 由此 可见，如果边长改变很微小，即 $|\Delta x|$ 很小时，面积 的改变量 $\triangle A$ 可近似地用第一部分来代替.

抛开上述例子的实际背景，即得到微分的定义.
定义 设函数 $f(x)$ 在某区间 $I$ 内有定义， $x_0 ， x_0+\Delta x \in I$ 如果函数的增 $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$ 可表示成

$$
\Delta y=A \Delta x+o(\Delta x)
$$

其中 $A$ 为不依赖于 $\Delta x$ 的常数，而 $o(\Delta x)$ 是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处是可微的，而 $A \Delta x$ 叫作函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 相应于自变量 增量 $\Delta x$ 的微分，记作 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=x_0}$ ， 即 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=x_0}=A \Delta x$.

定理 函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微的充分必要条件是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导.
证明 设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微，则有 $\Delta y=A \Delta x+o(\Delta x)$.
当 $\Delta x \neq 0$ 时， $\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$ ，因此

$$
\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_0}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\right]=A,
$$

即 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导.

定理 函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微的充分必要条件是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导.
反之，若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导，则有 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ 存在。因此 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\alpha$ ， 其中 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \alpha=0$ ，即

$$
\Delta y=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \cdot \Delta x+\alpha \cdot \Delta x .
$$

由 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\alpha \Delta x}{\Delta x}=0$ ，知 $\alpha \Delta x=o(\Delta x)$ ，即 $\Delta y=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \cdot \Delta x+o(\Delta x)$ ，
即 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微.
由上述证明可知，若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微，其微分

$$
\left.\mathrm{d} y\right|_{x x x_0}=A \Delta x=f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x .
$$

例2 设 $y=x^2$ ，求 (1) $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=x_0}$ （2 ) $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=1}$ 及 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=0.01}$.
解 (1) $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=x_0}=\left.\left(x^2\right)^{\prime}\right|_{x=x_0} \Delta x=\left.(2 x)\right|_{x=x_0} \Delta x=2 x_0 \Delta x$
(2) $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=1}=2 \Delta x,\left.\quad \mathrm{~d} y\right|_{x=0.1}=0.02 \Delta x$.

例 3 求函数 $y=x^3$ 在 $x=1$ 时， $\Delta x$ 分别等于 $0.01$ 和 $0.0001$ 时的增量与微分.
解 当 $x=1$ ，时 $\Delta x=0.01$ ，

$$
\begin{aligned}
& \Delta y=(x+\Delta x)^3-x^3=(1.01)^3-1^3=1.030301-1=0.030301 ; \\
& \left.\mathrm{d} y\right|_{x=1}=\left.3 x^2 \Delta x\right|_{x=1, \Delta x=0.01}=3 \times 0.01=0.03 ;
\end{aligned}
$$

当 $x=1, \Delta x=0.0001$ 时，

$$
\begin{aligned}
& \Delta y=(x+\Delta x)^3-x^3=(1.0001)^3-1^3=1.000300030001-1=0.000300030001 \\
& \left.\mathrm{~d} y\right|_{x=1}=\left.3 x^2 \Delta x\right|_{x=1, \Delta x=0.0001}=3 \times 0.0001=0.0003
\end{aligned}
$$

通过计算可以发现，
当 $\Delta x=0.01$ 时， $\Delta y-d y=0.0003$ ；当 $\Delta x=0.0001$ 时，
$\Delta y-\mathrm{d} y=0.000000030001$. 这时，用 $\mathrm{d} y$ 的值近似替代 $\Delta y$ 的值，误差是 非常小的.

## 微分的几何意义
在曲线 $y=f(x)$ 上取相邻的两点 $M_1(x, y)$ 和 $M_2(x+\Delta x, y+\Delta y)$ ，过点 $M_1$ 作曲线的切线 $M_1 T$ ，设 $M_1 T$ 的倾角为 $\alpha$ ，则 $M_1 T$ 的斜率为 $\tan \alpha=f^{\prime}(x)$. 从图2-13可知

$$
\begin{gathered}
M_1 N=\Delta x, N M_2=\Delta y, \\
N T=M_1 N \cdot \tan \alpha=f^{\prime}(x) \Delta x=\mathrm{d} y .
\end{gathered}
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_202212282b4394f.png)

因此，当 $\Delta y$ 是曲线对应于点 $x$ 的函数增量时， $\mathrm{d} y$ 即是过点 $M_1(x, y)$ 的切线的纵坐标增量。图中线段 是 $T M_2$ 与$\Delta y$之差，是比 $y$ 更高阶的无穷小 $\Delta x$

由此可见，对于可微函数 $y=f(x)$ 而言，当 $\Delta y$ 是曲线 $y=f(x)$ 上的 点的纵坐标的增量时 $d y$ 就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量.
当 $|\Delta x| $ 很小时 ,         $ |\Delta y-\mathrm{d} y| $  比  $  |\Delta x| $ 小得多.
因此在点 $M_1$ 的邻近，我们可用切线段来近似代替曲线段.

在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进 行计算，既费力又费时. 利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近 似公式来代替.
如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微，且 (1) $f^{\prime}\left(x_0\right) \neq 0$ ， (2) $|\Delta x|$ 很小，则

$$
\Delta y \approx \mathrm{d} y=f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x
$$

即若记 $x=x_0+\Delta x$ 则有

$$
f(x) \approx f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)
$$

即在 $x_0$ 附近可用 $x$ 的线性函数 $f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$ 来近似表达函数 $f(x)$

例8 利用微分计算 $\sin 30^{\circ} 30^{\prime}$ 的近似值.
解 $30^{\circ} 30^{\prime}=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{360} ，$ 取 $f(x)=\sin x ， x_0=\frac{\pi}{6} ， \Delta x=\frac{\pi}{360}$ ，
因此

$$
\sin 30^{\circ} 30^{\prime} \approx \sin \frac{\pi}{6}+\cos \frac{\pi}{6} \cdot \frac{\pi}{360}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\pi}{360} \approx 0.5076 .
$$

在工程中常用的几种近似公式有
(一般取 $x_0=0 ， \Delta x=x ，|\Delta x|$ 很小 $\left.f(x) \approx f(0)+f^{\prime}(0) x\right)$
(1) $\sqrt[n]{1+x} \approx 1+\frac{1}{n}$;
(2) $\sin x \approx x$;
(3) $\tan x \approx x$;
(4) $\mathrm{e}^x \approx 1+x$;
(5) $\ln (1+x) \approx x$.

例9 计算 $\sqrt[6]{65}$ 的近似值.
解

$$
\sqrt[6]{65}=\sqrt[6]{1+64}=2 \sqrt[6]{1+\frac{1}{64}} \approx 2\left(1+\frac{1}{6} \times \frac{1}{64}\right) \approx 2.0052 .

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