日期: 2023-10-01 11:28 查看: 272 次编辑

微分的定义

我们先来试着计算这样的两组数:
$\Delta y=\sin (1+\Delta x)-\sin 1, \quad \Delta x=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ，$ $\mathrm{d} y=\left.(\sin x)^{\prime}\right|_{x=1} \cdot \Delta x, \Delta x=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001$. 通过计算可以发现什么规律呢?
（1）计算 $\mathrm{d} y$ 比计算 $\Delta y$ 容易得多；
(2) 当 $\Delta x$ 越来越小时， $\mathrm{d} y$ 和 $\Delta y$ 越接近.
所以，有些时候，我们可以用 $\mathrm{d} y$ 来近似替代 $\Delta y$ ，因为它极容易计算， 误差又小.

在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题: 当自变量 $x$ 有微小变化 $\Delta x$ 时，求函数 $y=f(x)$ 的微小改变量

$$
\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)
$$

这个问题初看起来似平只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函 数 $f(x)$ ，差值 $f(x+\Delta x)-f(x)$ 却是一个更复杂的表达式，不易求出其值. 一个想 法是: 我们设法将 $\Delta y$ 示成 $\Delta x$ 的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单 问题. 微分就是实现这种线性化的一种数学模型.

例1 一块正方形金属薄片因受温度变化的影响，其边长由 $x_0$ 变到 $x_0+\Delta x$ ，问: 此薄片的面积改变了多少?
解 设此薄片的边长为 $x_0$ ，面积为 $A$ ，则 $A=x_0^2$ ，薄片受温度变化的影响，当自 变量 $x$ 从 $x_0$ 变到 $x_0+\Delta x$ 取得增量 $\Delta x$ 时，面积的改变量可以看成是因变量 $A$ 取得相 应的增量 $\Delta A$ ，即

$$
\Delta A=\left(x_0+\Delta x\right)^2-x_0^2=2 x_0 \Delta x+(\Delta x)^2 .
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221227b89c0aa.png)

从上式可以看出， $\triangle A$ 由两部分组成：第一部 分 $2 x_0 \Delta x$ 是 $\Delta x$ 的线性函数，即图2-12中灰色的两个 矩形面积之和，而第二部分 $(\Delta x)^2$ 在图中是黑色的 小正方形面积. 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，第二部分 $(\Delta x)^2$ 是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小，即 $(\Delta x)^2=o(\Delta x)(\Delta x \rightarrow 0)$. 由此 可见，如果边长改变很微小，即 $|\Delta x|$ 很小时，面积 的改变量 $\triangle A$ 可近似地用第一部分来代替.

抛开上述例子的实际背景，即得到微分的定义.
定义 设函数 $f(x)$ 在某区间 $I$ 内有定义， $x_0 ， x_0+\Delta x \in I$ 如果函数的增 $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$ 可表示成

$$
\Delta y=A \Delta x+o(\Delta x)
$$

其中 $A$ 为不依赖于 $\Delta x$ 的常数，而 $o(\Delta x)$ 是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处是可微的，而 $A \Delta x$ 叫作函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 相应于自变量 增量 $\Delta x$ 的微分，记作 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=x_0}$ ， 即 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=x_0}=A \Delta x$.

定理 函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微的充分必要条件是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导.
证明 设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微，则有 $\Delta y=A \Delta x+o(\Delta x)$.
当 $\Delta x \neq 0$ 时， $\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$ ，因此

$$
\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_0}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\right]=A,
$$

即 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导.

定理 函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微的充分必要条件是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导.
反之，若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导，则有 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ 存在。因此 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\alpha$ ， 其中 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \alpha=0$ ，即

$$
\Delta y=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \cdot \Delta x+\alpha \cdot \Delta x .
$$

由 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\alpha \Delta x}{\Delta x}=0$ ，知 $\alpha \Delta x=o(\Delta x)$ ，即 $\Delta y=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \cdot \Delta x+o(\Delta x)$ ，
即 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微.
由上述证明可知，若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微，其微分

$$
\left.\mathrm{d} y\right|_{x x x_0}=A \Delta x=f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x .
$$

例2 设 $y=x^2$ ，求 (1) $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=x_0}$ （2 ) $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=1}$ 及 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=0.01}$.
解 (1) $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=x_0}=\left.\left(x^2\right)^{\prime}\right|_{x=x_0} \Delta x=\left.(2 x)\right|_{x=x_0} \Delta x=2 x_0 \Delta x$
(2) $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=1}=2 \Delta x,\left.\quad \mathrm{~d} y\right|_{x=0.1}=0.02 \Delta x$.

例 3 求函数 $y=x^3$ 在 $x=1$ 时， $\Delta x$ 分别等于 $0.01$ 和 $0.0001$ 时的增量与微分.
解 当 $x=1$ ，时 $\Delta x=0.01$ ，

$$
\begin{aligned}
& \Delta y=(x+\Delta x)^3-x^3=(1.01)^3-1^3=1.030301-1=0.030301 ; \\
& \left.\mathrm{d} y\right|_{x=1}=\left.3 x^2 \Delta x\right|_{x=1, \Delta x=0.01}=3 \times 0.01=0.03 ;
\end{aligned}
$$

当 $x=1, \Delta x=0.0001$ 时，

$$
\begin{aligned}
& \Delta y=(x+\Delta x)^3-x^3=(1.0001)^3-1^3=1.000300030001-1=0.000300030001 \\
& \left.\mathrm{~d} y\right|_{x=1}=\left.3 x^2 \Delta x\right|_{x=1, \Delta x=0.0001}=3 \times 0.0001=0.0003
\end{aligned}
$$

通过计算可以发现，
当 $\Delta x=0.01$ 时， $\Delta y-d y=0.0003$ ；当 $\Delta x=0.0001$ 时，
$\Delta y-\mathrm{d} y=0.000000030001$. 这时，用 $\mathrm{d} y$ 的值近似替代 $\Delta y$ 的值，误差是 非常小的.

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