最后更新: 2025-12-07 09:57 查看: 1107 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

微分的定义 ★★★★★

## 微分的引入
我们先来看一个具体的例子：
**引例**：一块正方形金属薄片因受温度变化的影响，其边长由 $x_0$ 变到 $x_0+\Delta x$ ，问: 此薄片的面积改变了多少?

解 设此薄片的边长为 $x_0$ ，面积为 $A$ ，则 $A=x_0^2$ ，薄片受温度变化的影响，当自变量 $x$ 从 $x_0$ 变到 $x_0+\Delta x$ 取得增量 $\Delta x$ 时，面积的改变量可以看成是因变量 $A$ 取得相应的增量 $\Delta A$ ，即

$$
\Delta A=\left(x_0+\Delta x\right)^2-x_0^2=2 x_0 \Delta x+(\Delta x)^2 .
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221227b89c0aa.png){width=300px}

从上式可以看出， $\triangle A$ 由两部分组成：第一部分 $2 x_0 \Delta x$ 是 $\Delta x$ 的线性函数，即图2-12中灰色的两个矩形面积之和，而第二部分 $(\Delta x)^2$ 在图中是黑色的 小正方形面积.

当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，第二部分 $(\Delta x)^2$ 是比 $ 2 x_0 \Delta x$ 高阶的无穷小，即 $(\Delta x)^2=o(\Delta x),(\Delta x \rightarrow 0)$. 由此可见，如果边长改变很微小，即 $|\Delta x|$ 很小时，**面积的改变量 $\triangle A$ 可近似地用第一部分来代替.**

抛开上述例子的实际背景，即得到微分的定义.

## 微分的定义
**定义** 设函数 $f(x)$ 在某区间 $I$ 内有定义， $x_0 ， x_0+\Delta x \in I$ 如果函数的增 $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$ 可表示成

$$
\Delta y=A \Delta x+o(\Delta x)
$$

其中 $A$ 为不依赖于 $\Delta x$ 的常数，而 $o(\Delta x)$ 是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处是**可微**的，而 $A \Delta x$ 叫作函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 相应于自变量 增量 $\Delta x$ 的微分，记作 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=x_0}$ ， 即 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=x_0}=A \Delta x$.

## 微分的代数意义 
在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题: 当自变量 $x$ 有微小变化 $\Delta x$ 时，求函数 $y=f(x)$ 的微小改变量

$$
\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)
$$

这个问题初看起来似平只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函 数 $f(x)$ ，差值 $f(x+\Delta x)-f(x)$ 却是一个更复杂的表达式，不易求出其值. 一个想法是:我们设法将 $\Delta y$ 示成 $\Delta x$ 的主要部分，即舍去次要部分，从而把复杂问题化为简单问题. 微分就是实现这种线性化的一种数学模型.

我们定义：一个函数可微的基本意思是：**这个函数可以表示成主要部分和次要部分，而次要部分是比主要部分更高的高阶无穷小**。即
$$
\boxed{
f(可微)=f(主要)+f(次要)
}
$$

反之，如果一个函数不可微就表示他无法表示成主要部分和次要部分之和。

因此，一个常见的问题是：为什么一个可微函数可以忽略高阶无穷小？因此我们就是这么定义的。这就像问为什么负数比零小一样，是没有异议的。

`例` 求函数 $y=x^3$ 在 $x=1$ 时， $\Delta x$ 分别等于 $0.01$ 和 $0.0001$ 时的增量与微分.
解： 当 $x=1$ ，时 $\Delta x=0.01$ ，

$$
 ①\Delta y=(x+\Delta x)^3-x^3=(1.01)^3-1^3=1.030301-1=0.030301
$$

$$
② dy=(x + \Delta x)^3 - x^3 = 3x^2 \Delta x + 3x (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3
$$

后两项都是$\Delta x$的高级无穷小，如果舍去，可以得到他的近似值为
$$
  \left.\mathrm{d} y\right|_{x=1}=\left.3 x^2 \Delta x\right|_{x=1, \Delta x=0.01}=3 \times 0.01=0.03 ;
$$

同样的，

当 $x=1, \Delta x=0.0001$ 时，

$$
\begin{aligned}
& \Delta y=(x+\Delta x)^3-x^3=(1.0001)^3-1^3=1.000300030001-1=0.000300030001 \\
& \left.\mathrm{~d} y\right|_{x=1}=\left.3 x^2 \Delta x\right|_{x=1, \Delta x=0.0001}=3 \times 0.0001=0.0003
\end{aligned}
$$

通过计算可以发现，
当 $\Delta x=0.01$ 时， $\Delta y-d y=0.0003$ ；
当 $\Delta x=0.0001$ 时，$\Delta y-\mathrm{d} y=0.000000030001$.

这时，用 $\mathrm{d} y$ 的值近似替代 $\Delta y$ 的值，误差是非常小的.
 
 如果把上面结果用图表表示，示意图如下，可以得到微分的代数意义是
  
 > **可微的代数意义：在函数可微的情况下，用函数的的主要部分近似替代函数的增量部分**。

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