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高等数学
第二章 一元函数微分学
微分公式及微分法则
最后
更新:
2025-03-29 21:11
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微分公式及微分法则
微商;可微;微分形式的不变性
## 基本初等函数的微分公式及微分法则 如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内每一点处都可微,称 $f(x)$ 是 $(a, b)$ 内的 可微函数. 函数 $f(x)$ 在任意一点 $x$ 处的微分就称为函数的微分,记为 $\mathrm{d} y$ ,即有 $\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \Delta x$. 我们规定 $\mathrm{d} x=\Delta x$ ,这样微分可记为 $\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ , 并且有 $$ y^{\prime}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} . $$ 导数看作是两个微分(函数微分与自变量微分)的商,因此也称导数为 “**微商**". 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时, $\Delta y 、 \mathrm{~d} y$ 都是无穷小,当 $y^{\prime}(x) \neq 0$ 时 $$ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y-\mathrm{d} y}{\Delta y}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y-y^{\prime} \Delta x}{\Delta y}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[1-\frac{y^{\prime}}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}\right]=0, $$ 这表明在 $y^{\prime}(x) \neq 0$ 的条件下 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时, $\Delta y-\mathrm{d} y$ 不仅为 $o(\Delta x)$ 还是 $o(\Delta y)$ 因此称 $\mathrm{d} y$ 是 $\Delta y$ 的主部. 又由 $\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \Delta x$ 是 $\Delta x$ 的线性函数,则称 $\mathrm{d} y$ 是 $\Delta y$ 的线性主部(当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时). 又因为当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时, $\Delta y d y$ 都是无穷小,且 $$ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{d} y}{\Delta y}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{y^{\prime} \Delta x}{\Delta y}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{y^{\prime}}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=1\left(y^{\prime} \neq 0\right) $$ 故当 $|\Delta x|$ 很小时,可以用 $\mathrm{d} y$ 代替 $\Delta y$ 即 $\Delta y \approx \mathrm{d} y$ 由于导数可看作微商 $y^{\prime}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ , 即 $\mathrm{d} y=y^{\prime} \mathrm{d} x$ ,故由导数的公式和求导法则很 容易得到微分公式及微分法则. (1) $\quad \mathrm{d}(C)=0 \quad(C \in R)$; (2) $\quad \mathrm{d}\left(x^\alpha\right)=\alpha x^{\alpha-1} \mathrm{~d} x(\alpha \in R)$; (3) $\quad \mathrm{d}\left(a^x\right)=a^x \ln a \mathrm{~d} x \quad(a>0$ 且 $a \neq 1)$ ; (4) $\quad \operatorname{de}^x=\mathrm{e}^x \mathrm{~d} x$, (5) $\mathrm{d}\left(\log _a x\right)=\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln a} \mathrm{~d} x(a>0$ 且 $a \neq 1)$ ; (6) $\mathrm{d}(\ln x)=\frac{1}{x} \mathrm{~d} x$; (7) $\mathrm{d}(\sin x)=\cos x \mathrm{~d} x$; (8) $\quad \mathrm{d}(\cos x)=-\sin x \mathrm{~d} x$; (9) $\mathrm{d}(\tan x)=\sec ^2 x \mathrm{~d} x$; (10) $\mathrm{d}(\cot x)=-\csc ^2 x \mathrm{~d} x$ (11) $\mathrm{d}(\sec x)=\sec x \tan x \mathrm{~d} x$; (12) $\mathrm{d}(\csc x)=-\csc x \tan x \mathrm{~d} x$; (13) $\mathrm{d}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$ (14) $\mathrm{d}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$; (15) $\mathrm{d}(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2} \mathrm{~d} x$; (16) $\mathrm{d}(\operatorname{arccot} x)=-\frac{1}{1+x^2} \mathrm{~d} x$; (17) $\quad \mathrm{d}(u \pm v)=(u \pm v)^{\prime} \mathrm{d} x=u^{\prime} \mathrm{d} x \pm v^{\prime} \mathrm{d} x=\mathrm{d} u \pm \mathrm{d} v$; (18) $\quad \mathrm{d}(u \cdot v)=(u \cdot v)^{\prime} \mathrm{d} x=u^{\prime} v \mathrm{~d} x+u v^{\prime} \mathrm{d} x=v \mathrm{~d} u+u \mathrm{~d} v$; (19) $\quad \mathrm{d}\lef
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