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初中数学
第六章 三角形
射影定理
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更新:
2025-06-08 10:42
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射影定理
## 三角形的射影定理 如图在 Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle ACB=90^{\circ}, C D$ 是斜边 $AB$ 上的高，有射影定理如下： $$ \boxed{ C D^2=A D \cdot BD } $$  证法1：利用勾股定理 $$ \begin{aligned} & \because C D^2+A D^2=A C^2, \quad C D^2+B D^2=B C^2 \text{两式相加}\\ &\begin{aligned} & \therefore 2 C D^2+A D^2+B D^2=A C^2+B C^2 \\ & \therefore 2 C D^2=A B^2-A D^2-B D^2 \\ & \therefore 2 C D^2=(A D+B D)^2-A D^2-B D^2 \\ & \therefore 2 C D^2=A D^2+2 A D \cdot B D+B D^2-A D^2-B D^2 \\ & \therefore 2 C D^2=2 A D \cdot B D \\ & \therefore C D^2=A D \cdot B D \end{aligned} \end{aligned} $$ 证法2：利用相似三角形 $\triangle ACD \sim \triangle CBD$（ CD 是公共边） 所以， $$ \begin{aligned} & \frac{A D}{C D}=\frac{C D}{B D} \\ & C D^2=A D \cdot B D \end{aligned} $$ ## 射影定理的通俗理解 射影定理的“射影”就是太阳照射的影子。 想象太阳“当头照”，,直角边 $AC$投影到 $AD$， 直角边$BC$ 投影到$DB$ 那么，高度$CD$的平方就等于$AD$乘以$DB$ 
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