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高等数学
第二章 一元函数微分学
柯西中值定理
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2024-10-02 15:38
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柯西中值定理
## 柯西中值定理 定理3 (柯西中值定理) 设函数 $f(x) ， F(x)$ 满足 (1) 在 $[a, b]$ 上连续; （2 ) (在 $b)$ 内可导； (3) 当 $x \in(a, b)$ 时， $F^{\prime}(x) \neq 0$ ， 则至少存在一点，使 $$ \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)} $$ 证明从略，几何意义如图2-23所示.  `例` 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导。试证明至少存在一 点 $\xi \in(0,1)$ ，使 $$ f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(1)-f(0)] . $$ 证明 作辅助函数 $g(x)=x^2$, 则 $f(x), g(x)$ 在 [0,1] 上满足柯西中值定理的条 件，故在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使 $$ \frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{2 \xi} . $$ 即 $f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(1)-f(0)]$. `例` $$ x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \text {, 证明 }: \frac{\tan x-x}{x-\sin x}>2 $$ 用柯西中值定理来做:令 $$ f(x)=\tan x-x, g(x)=x-\sin x $$ 由柯西中值定理: $$ \exists \xi \in(0, x) $$ 使得 $\frac{\tan x-x}{x-\sin x}=\frac{\sec ^2 \xi-1}{1-\cos \xi}=\frac{1+\cos \xi}{\cos ^2 \xi}$ $$ =\frac{1}{\cos ^2 \xi}+\frac{1}{
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