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高等数学
第二章 一元函数微分学及其应用
曲率及其计算公式
日期:
2023-10-01 11:28
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曲率及其计算公式
现在研究如何描述曲线弧的弯曲程度. 从几何直观上容易看出,直线不弯曲,抛物线在顶点处弯曲最厉害,当抛物线上的点越远离顶点,弯曲程度越低(见图2-66)圆上各点的弯曲程度是相同的(见图2-67)半径越小,弯曲越厉害. ![图片](/uploads/2022-12/image_202212284e2ba78.png) 如图2-68所示,在曲线 $L$ 上点从 $M_1$ 移动到 $M_2$ 时,切线转过的角度(简称转 角) $\Delta \alpha$ 很小,但点从 $M_1$ 移动到 $M_2$ 时,切线转过的角度 (转角) $\Delta \alpha^{\prime}$ 很大. 但是单 用转角来衡量曲线的弯曲程度是不完全的. 如图2-69所示,当点从 $M$ 沿 $L_1$ 移动到 $M^{\prime}$ 时 (弧长为 $\Delta s$ ) 与点从 $N$ 沿 $L_1$ 移动到 $N^{\prime}$ 时 (弧长为 $\Delta s$ ) 它们有相同的转角,但 显 然 $\overparen{M M}$ '比 $\overparen{N N}$ 的弯曲程度要小. 从图中也可看出,弯曲程度既与转角有关 (成正比)也与经过的弧长 $\Delta \alpha$ 有关(成反比). ![图片](/uploads/2022-12/image_20221228d261484.png) 定义 设曲线 $C: y=f(x)$ 是光滑的,在 $C$ 上任取 一点 $M_0\left(x_0, y_0\right)$ 作为度量弧长的基点. 设曲线 $C$ 上点 $M(x, y)$ 对应弧 $S$ ,点 $M$ 处曲线的切线倾斜角为 $\alpha$. 点 $M^{\prime}(x+\Delta x, y+\Delta y)$ 是 $C$ 上邻近 $M$ 的另一个点,对应 弧 $s+\Delta s$ ,点 $M^{\prime}$ 处曲线的倾斜角为 $\alpha+\Delta \alpha$ (见图2-70) 当动点由点 $M$ 沿 $C$ 移动到点 $M$ '时,切线转过的角度 为 $|\Delta \alpha|$ 比值 $\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|$ 称为弧段 $\overparen{M M^{\prime}}$ 的平均曲率,记作 $\bar{K}$ , 即 $$ \bar{K}=\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right| \text { (单位弧段上切线转角的大小) } $$ ![图片](/uploads/2022-12/image_20221228f33f4fc.png) 当 $M^{\prime} \rightarrow M$ 时, $\Delta s \rightarrow 0$ 将平均曲率取极限(若极限存在),称该极限值为曲 线 $C$ 在点 $M$ 处的曲率, 记作 $K$. $$ K=\lim _{M^{\prime} \rightarrow M} \bar{K}=\lim _{\Delta s \rightarrow 0}\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right| $$ 在 $\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\Delta \alpha}{\Delta s}=\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} s}$ 存在的条件下, $K$ 可以表示为 $$ K=\left|\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{ds}}\right| $$ 例 6 求直线上各点的曲率. 解 直线上各点处切线的倾斜角 0 是常量, $\Delta \alpha=0$ 因此 $$ K=\lim _{\Delta s \rightarrow 0}\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|=0 $$ 这与我们直观认识到的 “直线没有弯曲" 一致. 例7 求半径为 $R$ 的圆上任意一点处的曲率. 解 在圆周上任意两点 $M 、 M^{\prime}$ '处圆的切线所夹角 $\Delta \alpha$ 等于中心角 $M A M^{\prime}$ (见图271),且 $\angle M A M^{\prime}=\frac{\Delta s}{R}$ ,因此 $\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}=\frac{\frac{\Delta s}{R}}{\Delta s}=\frac{1}{R}$ ,即 $K=\frac{1}{R}$ 这表明圆上各点处的曲率都等于半径 $R$ 的倒 数 $\frac{1}{R}$ 这与我们直观认识到的 “圆的弯曲程度处处 一样(且弯曲程度与半径成反比)"一致. ![图片](/uploads/2022-12/image_20221228ce3d17f.png)
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