最后更新: 2025-08-23 13:28 查看: 20 次反馈同步训练

矩阵的迹

## 特征值之和与特征值之极
矩阵$A$的特征有2个重要性质：
（1）所有特征值的和等于主对角线元素之和，记做$tr(A)$。即
$\lambda_1+\lambda_2+...\lambda_n= a_{11}+a_{22}+...a_{nn}$

（2）所有特征值的乘积等于矩阵的行列式的值。即
$\lambda_1 \lambda_2 ...\lambda_n= |A|$

`例` 设矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -3 & 3 \\ 3 & a & 3 \\ 6 & -6 & b\end{array}\right]$ 有特征值 $\lambda_1=-2, \lambda_2=4$ ， $\lambda_3$ ，求 $a, b$ 的值及 $\lambda_3$ ．

解： 由
$$
\begin{aligned}
\left|\lambda_1 E-A\right| & =\left|\begin{array}{ccc}
-3 & 3 & -3 \\
-3 & -2-a & -3 \\
-6 & 6 & -2-b
\end{array}\right|=3(5+a)(4-b)=0, \\
\left|\lambda_2 E-A\right| & =\left|\begin{array}{ccc}
3 & 3 & -3 \\
-3 & 4-a & -3 \\
-6 & 6 & 4-b
\end{array}\right|=3[72-(7-a)(2+b)]=0,
\end{aligned}
$$

得 $a=-5, b=4$ ．

**现在 $a,b$已经知道，表示主对角线元素都已经知道了，又因为知道了2个特征值，所以，要求充分利用特征值的第一个性质，特征值之和等于主对角线元素之和。**

又由 $\operatorname{tr}(A)=1+a+b=0$ 及 $\operatorname{tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3$ ，得 $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=0$ ，故 $\lambda_3=-2$ ．

## 矩阵的迹
一个 $n \times n$ 矩阵A中（即为一个方阵），主对角线上各个元素的总和被称为矩阵的迹，记作： $\operatorname{tr}( A )$

![图片](/uploads/2025-07/7989ef.jpg)

#### 特征值之和
矩阵A的迹=矩阵A的所有特征值之和

即：方阵主对角线元素之和 $=$ 方阵的全部特征值之和

$$
\operatorname{tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_n
$$

#### 特征值之积
矩阵 $A$ 的行列式 $=$ 矩阵 $A$ 的所有特征值的之积。
即：方阵的行列式 $=$ 方阵的全部特征值之积

$$
|A|=\lambda_1 \times \lambda_2 \times \ldots \times \lambda_n
$$

![图片](/uploads/2025-07/bcc443.jpg)
 
 
 ## 矩阵的迹的意义-相似不变量
迹是相似不变量。如果矩阵 $A$ 和 $B$ 相似（即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B = P⁻¹AP$），那么 $tr(A) = tr(B)$ 。
 
**这意味着迹描述的是线性变换本身固有的、独立于所选择基底的属性。无论你用什么坐标系来描述同一个线

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