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不定积分的性质

## 不定积分的性质
**性质1** (积分与求导的关系) 设函数 $f(x)$ 及 $f^{\prime}(x)$ 的原函数存在, 则
(1) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\int f(x) \mathrm{d} x\right]=f(x)$;
(2) $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=f(x)+C$.
由此可见, 求导运算与不定积分的运算(简称积分运算, 以记号 $\int$ 表示)是“互逆”的.

**性质2** $ k \int f(x) \mathrm{d} x= k \int f(x) \mathrm{d} x , k \ne 0$

**性质3** 设函数 $f(x)$ 及 $g(x)$ 的原函数存在, 则

$$
\int[\alpha f(x)+\beta g(x)] \mathrm{d} x=\alpha \int f(x) \mathrm{d} x+\beta \int g(x) \mathrm{d} x,
$$
其中 $\alpha, \beta$ 为不全为零常数.

**性质2和性质3反映出不定积分具有线性性质。**

利用上述性质及基本积分公式表, 可以求出一些简单函数的不定积分.

## 积分表
因为不定积分是求导的逆运算，因此，把导数表发过来就是积分表，详见 [微分表与积分表](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=806)

## 例题
利用积分表，就可以求出函数的不定积分，举例如下。

`例` 求不定积分: (1) $\int\left(x^4+3^x+\frac{2}{x}+2 \sin x-3 \cos x\right) \mathrm{d} x$
解

$$
\begin{aligned}
& \int\left(x^4+3^x+\frac{2}{x}+2 \sin x-3 \cos x\right) \mathrm{d} x \\
= & \int x^4 \mathrm{~d} x+\int 3^x \mathrm{~d} x+2 \int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x+2 \int \sin x \mathrm{~d} x-3 \int \cos x \mathrm{~d} x \\
= & \frac{1}{5} x^5+\frac{1}{\ln 3} \cdot 3^x+2 \ln |x|-2 \cos x-3 \sin x+C
\end{aligned}
$$

注 上式中的五个不定积分常数合并为一个任意常数 $C$.

`例` 求不定积分:$\int(1+\sqrt{x})^4 \mathrm{~d}$;
因为 $(1+\sqrt{x})^2=1+2 \sqrt{x}+x$, 故

$$
\begin{aligned}
\int(1+\sqrt{x})^2 \mathrm{~d} x & =\int(1+2 \sqrt{x}+x) \mathrm{d} x \\
& =\int \mathrm{d} x+2 \int x^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} x+\int x \mathrm{~d} x \\
& =x+\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2} x^2+C .
\end{aligned}
$$

注 其中 $\int

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