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第二类换元积分法

## 第二类换元积分法

> **第二类换元积分法又称为变量替换法。**

如果在积分 $\int f(x) \mathrm{d} x$ 中, 令 $x=\varphi(t)$, 且 $\varphi(t)$ 可导, $\varphi^{\prime}(t) \neq 0$, 则有

$$
\int f(x) \mathrm{d} x=\int f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t
$$

若上式右端易求出原函数 $\Phi(t)$,
则得第二类换元积分公式 $\int f(x) \mathrm{d} x=\Phi\left[\varphi^{-1}(x)\right]+C$, 其中 $\varphi^{-1}(x)$ 为 $x=\varphi(t)$ 的反函数, 即 $t=\varphi^{-1}(x)$.

其具体作法可按如下步骤进行.
(1) 变换积分形式,即直接或间接地令 $x=\varphi(t)$, 且保证 $\varphi(t)$ 可导及 $\varphi^{\prime}(t) \neq 0$, 于是有

$$
\int f(x) \mathrm{d} x=\int f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t
$$

(2)求出 $f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t)$ 的原函数 $\Phi(t)$, 即得 $\int f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t=\Phi(t)+C$, 从而

$$
\int f(x) \mathrm{d} x=\Phi(t)+C \text {; }
$$

(3)回到原来变量, 即由 $x=\varphi(t)$ 解出 $t=\varphi^{-1}(x)$, 从而得所求的积分

$$
\int f(x) \mathrm{d} x=\Phi\left[\varphi^{-1}(x)\right]+C
$$

定理 2 设 $x=\varphi(t)$ 是可导的函数, 且 $\varphi^{\prime}(t) \neq 0$, 又 $f[\phi(t)] \phi^{\prime}(t)$ 具有原函数 $\Phi(t)$, 则 $\Phi\left[\varphi^{-1}(x)\right]$ 是 $f(x)$ 的原函数,即有换元公式

$$
\int f(x) \mathrm{d} x=\Phi\left[\varphi^{-1}(x)\right]+C=\left.\left[\int f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t\right]\right|_{t=\varphi^{-1}(x)} .
$$

证明 设 $f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t)$ 的原函数为 $\Phi(t)$, 记 $\Phi\left[\varphi^{-1}(x)\right]=F(x)$, 由于

$$
F^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t} \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x}=f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) \cdot \frac{1}{\varphi^{\prime}(t)}=f[\varphi(t)]=f(x),
$$

即 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数, 所以有

$$
\int f(x) \mathrm{d} x=F(x)+C=\Phi\left[\phi^{-1}(x)\right]+C=\left.\left\{\int f[\phi(t)] \phi^{\prime}(t) \mathrm{d} t\right\}\right|_{t=\phi^{-1}(x)}
$$

`例`求 $\int \frac{\sqrt{x-1}}{x} \mathrm{~d} x$.
解 令 $t=\sqrt{x-1}$, 则 $t^2=x-1$, 即 $x=t^2+1, \mathrm{~d} x=2 t \mathrm{~d} t$.

$$
\begin{aligned}
\int \frac{\sqrt{x-1}}{x} \mathrm{~d} x & =\int \frac{t}{t^2+1} \cdot 2 t \mathrm{~d} t=2 \int \frac{t^2}{t^2+1} \mathrm{~d} t=2 \int\left(1-\frac{1}{t^2+1}\right) \mathrm{d} t=2(t-\arctan t)+C \\
& =2(\sqrt{x-1}-\arctan \sqrt{x-1})+C .
\end{aligned}
$$

## 三大技巧
**一，倒代换**（令 $x=\frac{1}{t}$ 或 $t=\frac{1}{x}$ ）
可作倒代换的条件：设 $p, q$ 分别为被积函数 $f(x)$ 的分母，分子关于 $x$ 的最高次数，若 $p-q>1$ ，则可作倒代换：$x=\frac{1}{t}$ ；若 $p-q \leqslant 1$ ，则不作倒代换．

**二，三角函数代换**
（1）若 $f(x)$ 中含有 $\sqrt{a^2-x^2}$ ，则令 $x=a \sin t, t \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，最后用三角形法回代．
（2）若被积函数 $f(x)$ 中含有 $\sqrt{a^2+x^2}$ ，则令 $x=a \tan t, t \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，最后用三角形法回代．
（3）若被积函数 $f(x)$ 中含有 $\sqrt{x^2-a^2}$ ，则当 $x>|a|$ 时，令 $x=a \sec t, t \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，最后用三角形法回代；当 $x<|a|$ 时，令 $x=-u$ ，则 $u>|a|$ ，由前面结果可以写出相应结果．

注意：参数 $t$ 所属的区间在解题时可以不写出．

**三，指数代换**
指数代换适用于：由 $a^x$ 或 $e ^x$ 所构成的代数式的积分，令 $a^x=t$（或 $e ^x=t$ ）．

`例` 求 $\int \frac{\mathrm{d} x}{1+\sqrt[3]{x+2}}$.
解 令 $\sqrt[3]{x+2}=t$, 则 $t^3=x+2$, 即 $x=t^3-2, \mathrm{~d} x=3 t^2 \mathrm{~d} t$.

$$
\begin{aligned}
\int \frac{\mathrm{d} x}{1+\sqrt[3]{x+2}}=\int \frac{3 t^2 \mathrm{~d} t}{1+t} & =3 \int \frac{t^2-1+1}{1+t} \mathrm{~d} t=3 \int\left(t-1+\frac{1}{1+t}\right) \mathrm{d} t \\
& =3\left(\frac{t^2}{2}-t+\ln |1+t|\right)+C \\
& =\frac{3}{2} \sqrt[3]{(x+2)^2}-3 \sqrt[3]{x+2}+3 \ln |1+\sqrt[3]{x+2}|+C .
\end{aligned}
$$

注 当被积函数中含有 $\sqrt[n]{a x+b}$ 时, 可令 $\sqrt[n]{a x+b}=t$.

`例` 求 $\int \frac{\mathrm{d} x}{(1+\sqrt[3]{x}) \sqrt{x}}$.
解 令 $\sqrt[6]{x}=\mathrm{t}$, 则 $t^6=x$, 即 $\mathrm{d} x=6 t^5 \mathrm{~d} t$.

$$
\begin{aligned}
\int \frac{\mathrm{d} x}{(1+\sqrt[3]{x}) \sqrt{x}} & =\int \frac{6 t^5 \mathrm{~d} t}{\left(1+t^2\right) t^3}=6 \int \frac{t^2}{1+t^2} \mathrm{~d} t \\
& =6(t-\arctan t)+C=6(\sqrt[6]{x}-\arctan \sqrt[6]{x})+C .
\end{aligned}
$$

`例` 求不定积分 $\int \sqrt{4-x^2} \mathrm{~d} x$.
解 令 $x=2 \sin t \Rightarrow \mathrm{d} x=2 \cos t \mathrm{~d} t, t \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac

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