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第二类换元积分法

## 第二类换元积分法
第二类换元积分法又称为变量替换法。
如果在积分 $\int f(x) \mathrm{d} x$ 中, 令 $x=\varphi(t)$, 且 $\varphi(t)$ 可导, $\varphi^{\prime}(t) \neq 0$, 则有

$$
\int f(x) \mathrm{d} x=\int f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t
$$

若上式右端易求出原函数 $\Phi(t)$,
则得第二类换元积分公式 $\int f(x) \mathrm{d} x=\Phi\left[\varphi^{-1}(x)\right]+C$, 其中 $\varphi^{-1}(x)$ 为 $x=\varphi(t)$ 的反函数, 即 $t=\varphi^{-1}(x)$.

其具体作法可按如下步骤进行.
(1) 变换积分形式,即直接或间接地令 $x=\varphi(t)$, 且保证 $\varphi(t)$ 可导及 $\varphi^{\prime}(t) \neq 0$, 于是有

$$
\int f(x) \mathrm{d} x=\int f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t
$$

(2)求出 $f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t)$ 的原函数 $\Phi(t)$, 即得 $\int f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t=\Phi(t)+C$, 从而

$$
\int f(x) \mathrm{d} x=\Phi(t)+C \text {; }
$$

(3)回到原来变量, 即由 $x=\varphi(t)$ 解出 $t=\varphi^{-1}(x)$, 从而得所求的积分

$$
\int f(x) \mathrm{d} x=\Phi\left[\varphi^{-1}(x)\right]+C
$$

定理 2 设 $x=\varphi(t)$ 是可导的函数, 且 $\varphi^{\prime}(t) \neq 0$, 又 $f[\phi(t)] \phi^{\prime}(t)$ 具有原函数 $\Phi(t)$, 则 $\Phi\left[\varphi^{-1}(x)\right]$ 是 $f(x)$ 的原函数,即有换元公式

$$
\int f(x) \mathrm{d} x=\Phi\left[\varphi^{-1}(x)\right]+C=\left.\left[\int f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t\right]\right|_{t=\varphi^{-1}(x)} .
$$

证明 设 $f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t)$ 的原函数为 $\Phi(t)$, 记 $\Phi\left[\varphi^{-1}(x)\right]=F(x)$, 由于

$$
F^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t} \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x}=f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) \cdot \frac{1}{\varphi^{\prime}(t)}=f[\varphi(t)]=f(x),
$$

即 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数, 所以有

$$
\int f(x) \mathrm{d} x=F(x)+C=\Phi\left[\phi^{-1}(x)\right]+C=\left.\left\{\int f[\phi(t)] \phi^{\prime}(t) \mathrm{d} t\right\}\right|_{t=\phi^{-1}(x)}
$$

例 16 求 $\int \frac{\sqrt{x-1}}{x} \mathrm{~d} x$.
解 令 $t=\sqrt{x-1}$, 则 $t^2=x-1$, 即 $x=t^2+1, \mathrm{~d} x=2 t \mathrm{~d} t$.

$$
\begin{aligned}
\int \frac{\sqrt{x-1}}{x} \mathrm{~d} x & =\int \frac{t}{t^2+1} \cdot 2 t \mathrm{~d} t=2 \int \frac{t^2}{t^2+1} \mathrm{~d} t=2 \int\left(1-\frac{1}{t^2+1}\right) \mathrm{d} t=2(t-\arctan t)+C \\
& =2(\sqrt{x-1}-\arctan \sqrt{x-1})+C .
\end{aligned}
$$

例 17 求 $\int \frac{\mathrm{d} x}{1+\sqrt[3]{x+2}}$.
解 令 $\sqrt[3]{x+2}=t$, 则 $t^3=x+2$, 即 $x=t^3-2, \mathrm{~d} x=3 t^2 \mathrm{~d} t$.

$$
\begin{aligned}
\int \frac{\mathrm{d} x}{1+\sqrt[3]{x+2}}=\int \frac{3 t^2 \mathrm{~d} t}{1+t} & =3 \int \frac{t^2-1+1}{1+t} \mathrm{~d} t=3 \int\left(t-1+\frac{1}{1+t}\right) \mathrm{d} t \\
& =3\left(\frac{t^2}{2}-t+\ln |1+t|\right)+C \\
& =\frac{3}{2} \sqrt[3]{(x+2)^2}-3 \sqrt[3]{x+2}+3 \ln |1+\sqrt[3]{x+2}|+C .
\end{aligned}
$$

注 当被积函数中含有 $\sqrt[n]{a x+b}$ 时, 可令 $\sqrt[n]{a x+b}=t$.

例 18 求 $\int \frac{\mathrm{d} x}{(1+\sqrt[3]{x}) \sqrt{x}}$.
解 令 $\sqrt[6]{x}=\mathrm{t}$, 则 $t^6=x$, 即 $\mathrm{d} x=6 t^5 \mathrm{~d} t$.

$$
\begin{aligned}
\int \frac{\mathrm{d} x}{(1+\sqrt[3]{x}) \sqrt{x}} & =\int \frac{6 t^5 \mathrm{~d} t}{\left(1+t^2\right) t^3}=6 \int \frac{t^2}{1+t^2} \mathrm{~d} t \\
& =6(t-\arctan t)+C=6(\sqrt[6]{x}-\arctan \sqrt[6]{x})+C .
\end{aligned}
$$

例 19 求不定积分 $\int \sqrt{4-x^2} \mathrm{~d} x$.
解 令 $x=2 \sin t \Rightarrow \mathrm{d} x=2 \cos t \mathrm{~d} t, t \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$

$$
\begin{aligned}
\int \sqrt{4-x^2} \mathrm{~d} x & =\int \sqrt{4-4 \sin ^2 t} \cdot 2 \cos t \mathrm{~d} t \\
& =4 \int \cos ^2 t \mathrm{~d} t=4 \int \frac{(1+\cos 2 t)}{2} \mathrm{~d} t \\
& =2 \int(1+\cos 2 t) \mathrm{d} t=2 t+\sin 2 t+C .
\end{aligned}
$$

例 19 求不定积分 $\int \sqrt{4-x^2} \mathrm{~d} x$.
因为 $\sin 2 t=2 \sin t \cos t$, 而 $\cos t=\sqrt{1-\sin ^2 t}$,
又已知 $x=2 \sin t$, 即 $\sin t=\frac{x}{2}, t=\arcsin \frac{x}{2}$, 从而

$$
\cos t=\sqrt{1-\sin ^2 t}=\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{4-x^2}}{2} \text {, }
$$

则

$$
\begin{aligned}
\int \sqrt{4-x^2} \mathrm{~d} x & =2 t+\sin 2 t+C=2 t+2 \sin t \cos t+C \\
& =2 \arcsin \frac{x}{2}+2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}+C \\
& =2 \arcsin \frac{x}{2}+\frac{x \sqrt{4-x^2}}{2}+C
\end{aligned}
$$

例 20 求 (1) $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^2+9}}$;
解 令 $x=3 \tan t, t \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,

$$
\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\int \frac{3 \sec ^2 t \mathrm{~d} t}{3 \sec t}=\int \sec t \mathrm{~d} t=\ln |\sec t+\tan t|+C,
$$

由 $\tan t=\frac{x}{3}$ 知 $\sec t=\sqrt{1+\tan ^2 x}=\sqrt{1+\left(\frac{x}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt{x^2+9}}{3}$, 故

$$
\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^2+9}}=\ln \left|\frac{\sqrt{x^2+9}}{3}+\frac{x}{3}\right|+C=\ln \left|x+\sqrt{x^2+9}\right|+C .
$$

例 20 求 (2) $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^2-1}}$.
令 $x=\sec t, t \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, (设 $x>1$, 当 $x<-1$ 时同理可证)

$$
\begin{gathered}
\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^2-1}}=\int \frac{\sec t \tan t}{\tan t} \mathrm{~d} t=\int \sec t \mathrm{~d} t=\ln |\sec t+\tan t|+C \\
=\ln \left|x+\sqrt{x^2-1}\right|+C=\ln \left|x+\sqrt{x^2-1}\right|+C .
\end{gathered}
$$

一般地, 当被积函数中含有 $\sqrt{a^2-x^2}, \sqrt{x^2 \pm a^2}$ 等因子时, 可作三角代换. 比如
当被积函数中含有因子 $\sqrt{a^2-x^2}$ 时, 可作三角代换: $x=a \sin t, t \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$;
当被积函数中含有因子 $\sqrt{x^2+a^2}$ 时,可作三角代换: $x=a \tan t, t \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$;
当被积函数中含有因子 $\sqrt{x^2-a^2}$ 时,可作三角代换: $x=a \sec t, t \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.

例 21 求 $\int \frac{\mathrm{d} x}{x^8+x}$.
解 被积函数的分母次幕较高, 我们通常采取“倒代换”的方法.
令 $x=\frac{1}{t}$, 则 $\mathrm{d} x=-\frac{1}{t^2} \mathrm{~d} t$, 于是

$$
\begin{aligned}
\int \frac{\mathrm{d} x}{x^8+x}=\int \frac{-\frac{1}{t^2} \mathrm{~d} t}{\frac{1}{t^8}+\frac{1}{t}} & =-\int \frac{t^6}{1+t^7} \mathrm{~d} t=-\frac{1}{7} \int \frac{\mathrm{d}\left(t^7\right)}{1+t^7} \\
& =-\frac{1}{7} \ln \left|1+t^7\right|+C=-\frac{1}{7} \ln \left|\frac{x^7+1}{x^7}\right|+C .
\end{aligned}
$$

在本节的例子中, 有几个积分的类型是以后经常用到的, 通常也可以当做公式 使用,于是又多了几个积分公式. (其中 $a>0$ )
(1) $\int \tan x \mathrm{~d} x=-\ln |\cos x|+C$;
(2) $\int \cot x \mathrm{~d} x=\ln |\sin x|+C$;
(3) $\int \sec x \mathrm{~d} x=\ln |\sec x+\tan x|+C$;
(4) $\int \csc x \mathrm{~d} x=\ln |\csc x-\cot x|+C$;
(5) $\int \frac{1}{a^2+x^2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C$;
(6) $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \mathrm{~d} x=\arcsin \frac{x}{a}+C$;
(7) $\int \frac{1}{x^2-a^2} \mathrm{~d} x==\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$;
(8) $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}=\ln \left|x+\sqrt{x^2 \pm a^2}\right|+C$.

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