最后更新: 2025-11-22 11:20 查看: 733 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

定积分的概念★★★★★

## 微积分的背景
积分和微分是微积分学中两种基本的极限过程。早在阿基米德时代，古人就研究过曲线围成的面积，到了在16世纪，微积分学吸引越来越多人的重视。然而，微积分的系统的发展，是在 17 世纪才开始，并且通常认为是两位伟大的科学先驱——**牛顿**和**莱布尼兹**的创造。这一系统发展的关键在于他们认识到：微分和积分是彼此互逆地联系着的。

公平的将，我们是不能把微积分这一发明成就归功于一两个人身上的，微积分学的发展是诸多数学家、物理学家集体智慧的结晶，例如费尔马、伽利略 和开普勒，都曾为微积分的思想作出过贡献。

现在学术界也都承认牛顿和莱布尼兹共同建立微积分这一基本思想， 虽然牛顿将概念阐述得要较清楚一些；但是莱布尼兹所用的巧妙的符号和计算方法则具有很大的启发性，并且至今仍然是不可缺少的。他们二人的工作，大幅度促进了数学分析的一些较高深的分支学科的发展，其中包括变分法和微分方程理论。

不过，我们也要看到， 不管是牛顿还是莱布尼兹，他们也都没有完全阐明微积分学工作中所包含着的一些基本概念．比如＂无穷地小的量＂等。现在数学认为，微积分最终形成系统的学科是在黎曼、柯西、魏尔斯特拉斯等人建立的ε-δ 极限语言、函数的连续性等基础上的。

## 定积分的概念
本章要介绍的定积分起源于**求图形的面积和体积**等实际问题. 古希腊的阿基米德用“穷竭法”, 我国的刘徽用“割圆术”, 都曾计算过一 些几何体的面积和体积, 这些均为定积分的雏形. 直到 17 世纪中叶, 牛顿和莱布尼茨先后提出了定积分的概念, 并发现了积分与微分之间的内在联系, 给出了计算定积分的一般方法, 从而使定积分成为解决 有关实际问题的有力工具, 并使各自独立的微分学与积分学联系在一 起, 构成完整的理论体系一微积分学.

### 引入1：曲边梯形的面积
从中学的数学课本中，我们已学会计算一些直线形的面积或圆的面积．但是我们没有一个一般的方法来计算一条任意曲线所围图形的面积．现在定积分就给我们提供了计算面积的一个普遍的方法。

假定连续函数 $y=f(x)$ 定义在区间 $[a, b]$ 上，且其图形在 $x$ 轴之上方 （见图）。那么，$y=f(x)$ 的图形与直线 $x=a, x=b$ 及 $x$ 轴围成一个曲边梯形。如果我们能计算这种曲边梯形的面积，则我们就能计算相当一般的曲线所围图形的面积，只要它能分割为若干个曲边梯形的并即可．

![图片](/uploads/2025-07/f91b33.jpg){width=400px}

在考虑这个曲边梯形的面积问题时，我们采取下面的＂迂回策略＂：先求近似值，然后再通过取极限以达到精确值．

我们在 $[a, b]$ 上插入一串分点 $\left\{x_i \mid 0 \leqslant i \leqslant n\right\}$ ：

$$
a=x_0<x_1<x_2<\cdots x_{n-1}<x_n=b .
$$

对应于每个小区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right](i=1, \cdots, n)$ ，函数图形相应地形成一个小的曲边梯形。而这些小曲边梯形的面积 $S_t$ 有近似值：

$$
S_t \approx f\left(\xi_t\right) \Delta x_t=f\left(\xi_t\right)\left(x_t-x_{t-1}\right),
$$

其中 $\xi_t$是$\left[x_{t-1}, x_t\right]$ 中的任意一点（见上图）．这样，可得整个曲边梯形之面积 $S$ 的近似值

$$
S=\sum_{t=1}^n S_t \approx \sum_{t=1}^n f\left(\xi_t\right) \Delta x_t \quad\left(\Delta x_t=x_t-x_{t-1}\right) .
$$

从直观上看，当我们的分点越加密时，这个近似值就越接近于真正面积的值．因此，自然会把它的极限值作为曲边梯形面积的值，也即

$$
S=\lim _{\max \left\langle\Delta x_i\right\rangle \rightarrow 0} \sum_{t=1}^n f\left(\xi_t\right) \Delta x_t,
$$

### 引入2：变力做功
设质量为 $m$ 的物体沿直线运动．假定它所受的力可以表示为它到初始点的距离 $s$ 的函数 $f(s)$ ．我们要求物体自 $s=a$ 到 $s=b$ 外力所做的功 $W$ ．同样地，在区间 $[a, b]$ 内插入一串分点：

$$
a=s_0<s_1<s_2<\cdots<s_{n-1}<s_n=b
$$

从 $s_{t-1}$ 到 $s_t$ 所做的功近似等于

$$
f\left(\xi_1\right) \Delta s_2=f\left(\xi_1\right)\left(s_t-s_{t-1}\right),
$$

其中 $\xi_{\imath} \in\left[s_{t-1}, s_t\right]$ 。当分点增加使分割变细时，近似值

$$
\sum_{t=1}^n f\left(\xi_t\right) \Delta s_t \quad\left(\Delta s_t=s_t-s_{t-1}\right)
$$

将越来越接近我们所求的值。于是问题再一次归结为求下列形式的极限

$$
W=\lim _{\max \left\{\Delta s_i\right\} \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta s_i
$$

此外，再比如已知运动物体的速度求路程，已知物体（长杆）的密度求其总质量等等，都可以通过这种

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