最后更新: 2025-08-28 22:01 查看: 553 次反馈同步训练

引子

## 引子
微积分研究的对象是函数关系, 但在实际问题中, 往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系, 而比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系, 从而得到一个关于末知函数的导数或微分的方程, 即微分方程. 通过求 解这种方程, 同样可以找到指定末知量之间的函数关系. 比如, 已知 $y^{\prime}=\cos 2 x$, 由不定积分的计算很容易知道 $y$ 的表达式:

$$
y=\int \cos 2 x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \sin 2 x+C
$$

但是如果已知 $y^{\prime}+y=\cos 2 x$, 仅仅是求原函数的公式是不够的, 它需要利用微分方程自己的一些方法和技巧才能得到 $y$ 的表达式.

在初等数学中, 含有末知量的等式称为方程, 它表达了末知量所必须满足的 某种条件, 比如一元二次方程 $a x^2+b x+c=0$, 分式方程 $\frac{1}{1+x}+\frac{4 x}{1-x^2}=\frac{2}{x+2}$, 三角方程 $\sin 3 x-3 \cos 2 x-\tan ^2 x+1=0$, 而我们现在要介绍的是含有末知函数的导数的方程, 例如

$$
\begin{aligned}
& y^{\prime}+y \tan x=\cos x, \\
& \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{4 x}{y(x-3)}, \\
& y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=\mathrm{e}^{3 x},
\end{aligned}
$$

下面通过几个具体的例子来说明微分方程的基本概念.

#### 例1：曲线方程
一曲线通过点 $(1,2)$ (见图 4-1), 且在该 曲线上任一点 $M(x, y)$ 处的切线的斜率为 $2 x$, 求该曲线的方程.
解: 设所求曲线的方程为 $y=y(x)$ ，根据:导数的几何意义，可知末知函数 $y=y(x)$ 应满足关系式
$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=2 x ... (1) $. (称为一阶微分方程)
此外, 末知函数 $y=y(x)$ 还应满足下列条件:
$x=1$ 时, $y=2$, 简记为 $\left.y\right|_{x=1}=2 ...(2)$.(称为**初始条件**)

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123006092bb.png)
把(1)式两端积分, 得
$y=\int 2 x \mathrm{~d} x$, 即 $y=x^2+C ...(3)$. (称为**微分方程的通解**)
其中 $C$ 是任意常数.
把条件 “ $x=1$ 时 $y=2$ "代入(3)式, 得

$$
2=1^2+C \text {, }
$$

由此定出 $C=1$. 把 $C=1$ 代入(3)式, 得所求曲线方程
$y=x^2+1$. (称为微分方程满足初始条件 $\left.y\right|_{x=1}=2$ 的**特解**)

> 从上面计算可以看到，传统方程，比如 $x^2+2x=6$ 直接就能够解出$x$ 没有通解、特解一说。但是在微分方程里，通常得出的是一个通解，还需要根据原始条件计算特解。

#### 例2：距离
列车在平直线路上以 $20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ (相当于 $72 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ) 的速度行驶, 当制动时列 车获得加速度 $-0.4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$. 开始制动后多少时间列车才能停住? 列车在这段时间 里行驶了多少路程?
解 设列车在开始制动后 $t$ 时行驶的距离为 $s$ 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数 $s=s(t)$ 应满足关系式
$\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{~d} t^2}=-0.4 ...(1)$. (称为**二阶微分方程**)
此外, 末知函数 $s=s(t)$ 还应满足下列条件:

$$
t=0 \text { 时, } s=0, v=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}=20 ...(2) \text {. }
$$

简记为 $\left.s\right|_{t=0}=0,\left.s^{\prime}\right|_{t=0}=20 ...(3)$. (两个初始条件)

$\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{~d} t^2}=-0.4 ...(4)$. (称为二阶微分方程)
把(4)式两端积分一次, 得

$$
v=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}=-0.4 t+C_1 ...(5);
$$

再积分一次, 得

$$
s=-0.2 t^2+C_1 t+C_2  ...(6)
$$

这里 $C_1, C_2$ 都是任意常数.
把条件 $\left.v\right|_{t=0}=20$ 代入(5)得 $\quad 20=C_1$,

把条件 $\left.s\right|_{t=0}=0$ 代入(6)得 $0=C_2$.
把 $C_1, C_2$ 的值代入(5)及(6)式得

$$
v=-0.4 t+20  ...(8)
$$

$$
s=-0.2 t^2+20 t  ...(9)
$$

在 (8)式中令 $v=0$, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间

$$
t=\frac{20}{0.4}=50(s) .
$$

再把 $t=50$ 代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程

$$
s=-0.2 \cdot 50^2+20 \cdot 50=500 \mathrm{~m}
$$

#### 例3 放射性物质
已知放射性物质镭的裂变规律是裂变速度与余存量成比例. 记在某一 时刻 $t=t_0$, 镭的余存量为 $R_0 \mathrm{~g}$, 试确定镭在任意时刻 $t$ 的余存量 $R(t)$.
解 由于 $\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}$ 是镭的增长速度, 因此裂变速度(减少速度)应为 $-\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}$, 从 而按裂变规律, 有 $-\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}=k R(t)$, 其中 $k$ 为比例系数. 要解决上述问题, 就要确 定 $R(t)$.
上式可写成 $\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} R}=-\frac{1}{k R}$, 两边对 $R$ 积分:

$\int \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} R} \mathrm{~d} R=-\int \frac{1}{k R} \mathrm{~d} R$ 得 $t=-\frac{1}{k} \ln R+C_1$, 其 中 $C_1$ 为任意常数. 从而 $R=\mathrm{e}^{-k t+k C}=C \mathrm{e}^{-k t}$, 其中 $C$ 为任意常数.
由 $R\left(t_0\right)=R_0$, 得 $C=R_0 \mathrm{e}^{k t_0}$, 因此 $R=R_0 \mathrm{e}^{-k\left(t-t_0\right)}$ 即为所求.

**注** 式子 $-\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}=k R(t)$ 即为微分方程, 它表示函数 $R(t)$ 的一个变化规律, 即其减少速度 $-\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}$ 与其本身 $R(t)$ 成比例. 尽管我们是从镭的裂变这一特殊问 题导出此方程, 但此方程应用远不止此, 只要某物理量的变化服从同样的规律, 就可用此方程来确定.
上面的几个例子, 尽管实际意义不同, 但是解决问题的方法都是首先建立一 个含有末知函数的导数的方程, 然后通过这个方程, 求满足所给的条件的末知函 数.

## 马尔萨斯模(Malthus)人口模型
几乎关于微分方程的书上都会介绍马尔萨斯模人口模型。1798年，英国经济学家马尔萨斯查看了当地教堂100多年来的人口出生统计资料，发现了如下现象：**人口出生率是一个常数**。在 1798年，他发表了《人口原理》一书，其中提出了著名的 **Malthus人口模型**．

> Malthus人口模型的基本假定条件如下：在人口自然增长的过程中，人口增长率与人口总数成正比．

现在对此进行分析，该假定条件比较简单，因而期望该数学模型也较简单．此模型涉及如下数量：

![图片](/uploads/2025-08/349580.jpg){width=200px}

此模型涉及如下数量：
$t$ 表示时间（变量），$P$ 表示人口数（依赖于时间），$k$ 表示人口增长率与人口数之间的比例常数（参数），参数 $k$ 称为单位增长率．人口数关于时间的增长率是人口数 $P$ 关于时间变量 $t$ 的导数 $\frac{ d P}{d t}$ ，与人口数成正比描述为 $k P$ ，因而得如下微分方程：

$$
\frac{d P}{d t}=k P
$$

这是本课程得出的第一个微分方程的实例，其为一阶常微分方程．

1．定性方法
因为 $\frac{ d P}{d t}=k P$ ；若 $P=0$ ，则 $\frac{ d P}{d t}=0$ ，所以常值函数 $P(t)=0$ 是方程的一个解．因为该解永远是常数，所以称之为平衡解．其现实意义如下，若人口基数为 0 ，则人口增长率为 0 ，表明人口不存在．

如果 $k \neq 0$ ，并且在某一时刻 $t=t_0$ ，人口数 $P\left(t_0\right) \neq 0$ ，那么在时刻 $t=t_0$ ，

$$
\frac{d P}{d t}=k P\left(t_0\right) \neq 0
$$

因此，人口不是常数．如果 $k>0, P\left(t_0\right)>0$ ，那么在时刻 $t=t_0$ ，

$$
\frac{d P}{d t}=k P\left(t_0\right)>0
$$
因此，人口是增长的．当随着时间的推移，人口数 $P(t)$ 越来越大，进而 $\frac

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