最后更新: 2025-11-18 16:23 查看: 635 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

引子

## 引子
微积分研究的对象是函数关系, 但在实际问题中, 往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系, 而比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系, 从而得到一个关于末知函数的导数或微分的方程, 即微分方程. 通过求 解这种方程, 同样可以找到指定末知量之间的函数关系. 比如, 已知 $y^{\prime}=\cos 2 x$, 由不定积分的计算很容易知道 $y$ 的表达式:

$$
y=\int \cos 2 x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \sin 2 x+C
$$

但是如果已知 $y^{\prime}+y=\cos 2 x$, 仅仅是求原函数的公式是不够的, 它需要利用微分方程自己的一些方法和技巧才能得到 $y$ 的表达式.

在初等数学中, 含有末知量的等式称为方程, 它表达了末知量所必须满足的 某种条件, 比如一元二次方程 $a x^2+b x+c=0$, 分式方程 $\frac{1}{1+x}+\frac{4 x}{1-x^2}=\frac{2}{x+2}$, 三角方程 $\sin 3 x-3 \cos 2 x-\tan ^2 x+1=0$, 而我们现在要介绍的是含有末知函数的导数的方程, 例如

$$
\begin{aligned}
& y^{\prime}+y \tan x=\cos x, \\
& \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{4 x}{y(x-3)}, \\
& y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=\mathrm{e}^{3 x},
\end{aligned}
$$

下面通过几个具体的例子来说明微分方程的基本概念.

**例1：曲线方程**
一曲线通过点 $(1,2)$ (见图 4-1), 且在该 曲线上任一点 $M(x, y)$ 处的切线的斜率为 $2 x$, 求该曲线的方程.

解: 设所求曲线的方程为 $y=y(x)$ ，根据导数的几何意义，可知末知函数 $y=y(x)$ 应满足关系式
$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=2 x ... (1) $. (称为一阶微分方程)
此外, 末知函数 $y=y(x)$ 还应满足下列条件:
$x=1$ 时, $y=2$, 简记为 $\left.y\right|_{x=1}=2 ...(2)$.(称为**初始条件**)

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123006092bb.png){width=200px}

把(1)式两端积分, 得
$y=\int 2 x \mathrm{~d} x$, 即 $y=x^2+C ...(3)$. (称为**微分方程的通解**)
其中 $C$ 是任意常数.
把条件 “ $x=1$ 时 $y=2$ "代入(3)式, 得

$$
2=1^2+C \text {, }
$$

由此定出 $C=1$. 把 $C=1$ 代入(3)式, 得所求曲线方程
$y=x^2+1$. (称为微分方程满足初始条件 $\left.y\right|_{x=1}=2$ 的**特解**)

> **从上面计算可以看到，传统方程，比如 $x^2+2x=6$ 直接就能够解出$x$ , 没有通解、特解一说。但是在微分方程里，通常得出的是一个通解，还需要根据原始条件计算特解。**

**例2：距离**
列车在平直线路上以 $20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ (相当于 $72 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ) 的速度行驶, 当制动时列 车获得加速度 $-0.4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$. 开始制动后多少时间列车才能停住? 列车在这段时间里行驶了多少路程?

解 设列车在开始制动后 $t$ 时行驶的距离为 $s$ 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数 $s=s(t)$ 应满足关系式
$\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{~d} t^2}=-0.4 ...(1)$. (称为**二阶微分方程**)
此外, 末知函数 $s=s(t)$ 还应满足下列条件:

$$
t=0 \text { 时, } s=0, v=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}=20 ...(2) \text {. }
$$

简记为 $\left.s\right|_{t=0}=0,\left.s^{\prime}\right|_{t=0}=20 ...(3)$. (两个**初始条件**)

$\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{~d} t^2}=-0.4 ...(4)$. (称为二阶微分方程)
把(4)式两端积分一次, 得

$$
v=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}=-0.4 t+C_1 ...(5);
$$

再积分一次, 得

$$
s=-0.2 t^2+C_1 t+C_2  ...(6)
$$

这里 $C_1, C_2$ 都是任意常数.
把条件 $\left.v\right|_{t=0}=20$ 代入(5)得 $\quad 20=C_1$,

把条件 $\left.s\right|_{t=0}=0$ 代入(6)得 $0=C_2$.
把 $C_1, C_2$ 的值代入(5)及(6)式得

$$
v=-0.4 t+20  ...(8)
$$

$$
s=-0.2 t^2+20 t  ...(9)
$$

在 (8)式中令 $v=0$, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间

$$
t=\frac{20}{0.4}=50(s) .
$$

再把 $t=50$ 代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程

$$
s=-0.2 \cdot 50^2+20 \cdot 50=500 \mathrm{~m}
$$

> 后面将会看到，求解特解的难度超过求解通解的难度。

## 微分方程解的研究
考虑下面两个物理背景：
**例1** 设一质量为 $m$ 的物体在常力 $F$ 的作用下沿力所在方向作直线运动，要求物体的运动规律 $s(t)$ ．这里 $s(t)$ 表示时刻 $t$时物体的位置，是未知函数．由于其加速度 $a(t)=\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{~d} t^2}$ ，于是由牛顿第二定律得

$$
m \frac{\mathrm{~d}^2 s}{\mathrm{~d} t^2}=F ...(9.1)
$$

上式就是未知函数 $s(t)$ 的二阶导函数所满足的方程．

**例2** 镭的衰变率与镭的现存量成正比．设 $R(t)$ 是 $t$ 时刻镭的质量，那么，$R(t)$ 满足下列方程：

$$
\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} t}=-a R(t) ...(9.2)
$$

其中 $a>0$ 是常数

粗略地讲，一个包含未知函数（一元函数）及其导函数的方程，称做一个**常微分方程**．

在方程（9．1）中未知函数的导数是二阶的，而在方程（9．2）中未知函数的导数是一阶的。故前者称做二阶常微分方程，后者称做一阶常微分方程。

> 我们之所以在微分方程之前冠以＂**常**＂字，这是为了有别于**偏微分方程**。一个偏微分方程是指一个包含未知函数及其偏导数的方程。

例如典型的拉普拉斯方程
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0
$$

是偏微分方程． 关于偏微分方程教程请点击 [偏微分方程教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=210)

一般说来，一个联系自变量 $x$ ，未知的一元函数 $y=y(x)$ ，及其导数 $y^{(j)}(x)(0<j \leqslant n)$ 的方程（其中导数的最高阶数为 $n$ ）

$$
F\left(x, y, y^{\prime}, \cdots, y^{(n)}\right)=0 ...(9.3)
$$

称做一个 **$\boldsymbol{n}$ 阶常微分方程**．

如果在区间 $(a, b)$ 上存在一个函数 $y=y(x)$ ，它有 $n$ 阶导数，代入（9．3）式后使得（9．3）式变成一个关于 $x$ 的恒等式：

$$
F\left(x, y(x), y^{\prime

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