最后更新: 2025-11-16 08:25 查看: 1063 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

向量投影

> 在阅读本文前，建议已经熟悉了先驱知识 [向量内积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=354)

## 为什么引入向量投影
想象水流以速度$v$通过面积是$S$的管道，假设管道口倾斜角为 $\theta=0$ ，容易发现，
（1）$\theta=0$，此时水流量最大
（2）$\theta=\frac{\pi}{2}$, 此时管口和水流平行，水的流量为零
 ![图片](/uploads/2025-01/9477a8.svg){width=400px}
 
 因此，流过的流量不能直接用 $V=v S$ 计算，仔细观察$v,S$ 的几何关系，不难得到  $V=vS \cos \theta $ ，换句话说，流过的面积需要使用**有效面积**。更直接的说是面积S在v方向上的**投影**，即 $ S'=S \cos \theta$。因此，引入向量投影这一名词。

①如果你这样打括号$V=v (S \cos \theta) \Delta t$, 他的意义是水流速度不变，而通过的面积为有效面积。

②如果你这样打括号$V=(v \cos \theta ) S  \Delta t$, 他的意义是面积不变，但是水流速度分解为垂直截面的速度和平行截面的速度。显然平行平面的速度流量为零。

这两个理解都对，所以他们的结果是一样的。

### 面积微元
现在我们对上面写成向量的形式：设 $\vec{F}$ 表示流体的速度，$t$ 表示时间 ,$\vec{n}$ 表示平面微元的法向量。

![图片](/uploads/2025-01/e5c9f6.jpg){width=300px}
 
 $\vec{F} \Delta t$ 表示 $\Delta t$ 时间里通过的流量。
通过橘色 $\Delta S$ 区域的流量就是

$$
\frac{\vec{F} \cdot \vec{n} \Delta t \Delta s}{\Delta t}=\vec{F} \cdot \vec{n} \Delta s
$$

因为速度$\boldsymbol{F}$是矢量，平面的方向$\boldsymbol{n}$也是矢量，因而流过的流量为,并取面积为单位元，几面积取1 则

$$
\boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{n}  = |\boldsymbol{F}| \cdot  |\boldsymbol{n}|  cos \theta  
$$
 
希望能理解上面的意思：通过流量，直接使用两个向量的数量积即可。
 
### 法向量
在一个曲面上，取一个面积元，当这个面积非常小时，这个面积可以近似看成平面。既然是平面，就能找到一条直线和这个平面垂直，这个直线就是法线，我们给他一个更专业的名字：法向量。用法向量可以判断曲面的方向，如下图
 ![图片](/uploads/2025-01/e98751.svg)

## 向量投影
对于给定的2个向量，通过平移，让起点重合，就可以得到一个向量在另外一个向量上的投影。
![图片](/uploads/2022-12/image_20221230de69a2f.png){width=300px}

### 投影定理
设向量 $\boldsymbol{a}=\overrightarrow{O M}, \boldsymbol{b}=\overrightarrow{O N}, \boldsymbol{b} \neq \mathbf{0}$ ，且 $(\widehat{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}})=\varphi$ ，过点 $M$ 作平面垂直于 $\boldsymbol{b}$ 所在的直线并交直线于点 $M^{\prime}$（图 8．15），则称有向线段 $\overrightarrow{O M^{\prime}}$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 在向量 $\boldsymbol{b}$ 上的投影向量．

![图片](/uploads/2025-11/167a00.jpg){width=300px}

易知

$$
\overrightarrow{O M^{\prime}}=(|\overrightarrow{O M}| \cos \varphi) \boldsymbol{e}_b=(|\boldsymbol{a}| \cos \varphi) \boldsymbol{e}_b .
$$

称上式中的数 $|\boldsymbol{a}| \cos \varphi$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 在向量 $\boldsymbol{b}$ 上的投影，并记作 $\operatorname{Prj}_b \boldsymbol{a}$ ．

$$
\operatorname{Prj}_b a=\left\{\begin{array}{cc}
\left|\overrightarrow{O M^{\prime}}\right|, & 0 \leqsla

其他版本
【线性代数】施密特正交化过程【线性代数】向量投影【线性代数】向量正交【高中数学】两直线平行与垂直(解析几何)

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