最后更新: 2025-08-01 22:55 查看: 836 次反馈同步训练

向量投影定理

## 向量的投影及投影定理
将向量 $a 、 b$ 的始点重合，在两向量的所在平面上，若一个向量逆时针方向转过角度 $\theta$ 后可与另一个向量正向重合 (见图 5-8)，则称 $\theta$ 为向量 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 的夹角，记 作 $\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle$ ， 即

$$
\theta=\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=\langle\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}\rangle(0 \leq \theta \leq \pi),
$$

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已知两向量 $\boldsymbol{a} ， \boldsymbol{b}$ ，如果它们的夹角 $\theta=0$ 或 $\theta=\pi$ ，称这两个向量平行，记为 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ ，其中两个向量指向一致时 $\theta=0$ ；指向相反时 $\theta=\pi $，

指向相同的两个平行向量 $a 、 b$ 如果还满足 $|a|=|b|$ ，那么这两个向量相等，记为 $a=b$. 已与向量 $a$ 的模相同，但方向相反的向量叫做 $a$ 的负向量，记作 $-a$.

对于一向量与一轴的夹角，可将其中一轴看作是向量，按两向量之间的夹角来度量，对于两个轴之间的夹角则看作是两向量的夹角.

通过空间一点 $A$ 作 $u$ 轴的垂直平面 (见图 5-9)，该平面与 $u$ 轴的交点 $A^{\prime}$ 称 为点 $A$ 在 $u$ 轴上投影.

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如果向量 $\overrightarrow{A B}$ 的始点 $A$ 与终点 $B$ 在 $u$ 轴上的投影分别为 $A^{\prime} 、 B^{\prime}$ (见图 5-10)， 则 $u$ 轴上的有向线段 $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ 的值 $A^{\prime} B^{\prime}$ 称为向量 $\overrightarrow{A B}$ 在 $u$ 轴上的投影，记作 $\operatorname{Pr} \mathrm{j}_u \overrightarrow{A B}=A^{\prime} B^{\prime}, u$ 轴称为投影轴.

**注** 值 $A^{\prime} B^{\prime}$ 是指其绝对值等于 $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ 的 长度，即 $\left|\overline{A^{\prime} B^{\prime}}\right|$ ，符号由 $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ 的方向决定： 当 $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ 与 $u$ 轴同向时，取**正号**；当 $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ 与 $u$ 轴反向时，取**负号**.

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### 投影定理1 
向量 $\overline{A B}$ 在 $u$ 轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量 $\overline{A B}$ 的夹角 $\theta$ 的余弦，即

$$
\boxed{
\operatorname{Prj}_u  \overrightarrow{A B}=|\overrightarrow{A B}| \cos \theta .
}
$$

证 将向量 $\overrightarrow{A B}$ 的始点置于 $u^{\prime}$ 轴（见图 5-11)，则由直角三角形关 系得

$$
\operatorname{Pr}_{u_{u^{\prime}}} \overrightarrow{A B}=\operatorname{Pr}_{u^{\prime}} \overrightarrow{A B}^{\prime}=|\overrightarrow{A B}| \cos \theta .
$$

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当一非零向量与其投影轴成锐角时，向量的投影为正；成钝角时，向量的投 影为负; 成直角时，向量的投影为零 (见图 5-12).

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### 投影定理2
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在轴上的投影的和.
证 设点 $A 、 B$ 和 $C$ 在轴上的投影
分别是 $A^{\prime} 、 B^{\prime}$ 和 $C^{\prime}$ ，则 $\operatorname{Prj}_u \overrightarrow{A B}=A^{\prime} B^{\prime}$ ，
$\operatorname{Prj_u} \overrightarrow{B C}=B^{\prime} C^{\prime} ， \operatorname{Prj_u} \overrightarrow{A C}=A^{\prime} C^{\prime}$ ，由于无
论 $A^{\prime} 、 B^{\prime}$ 和 $C^{\prime}$ 在轴上的位置如何，总有 $A^{\prime} B^{\prime}+B^{\prime} C^{\prime}=A^{\prime} C^{\prime}$,

故 $\operatorname{Prj}_u  \overrightarrow{A B}+\operatorname{Prj}_u \overrightarrow{B C}=\operatorname{Prj}_u  \overrightarrow{A C}$ ，见图 5-13.
本性质可推广到有限个向量的情形:
$\operatorname{Pr} \mathrm{j}_u a_1+\operatorname{Pr} \mathrm{j}_u a_2+\cdots+\operatorname{Pr} \mathrm{j}_u a_n=\operatorname{Pr} \mathrm{j}_u\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)$.

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### 投影定理3
$\operatorname{Pr}_u(\lambda a)=\lambda \operatorname{Pr}_u a$. 证 证明留作习题.

## 课外阅读
向量投影，顾名思义，就是一个向量在另外一个向量上的“影子”长度是多少，这里有一个重要概念：**如果两个向量垂直，则投影为零。反之命题也成立，如果投影为零，则两个向量垂直** 这个看起不起眼的结论，撑起了数学的半壁江山。向量投影有一个简单的计算公式：即向量内积（也叫数量级），高中部内积教程见 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=167)

我们把两个向量垂直成为向量正交。现在给你一组向量，如果内积为零，则正交。准备好了吗？下载我们开始进入 线性代数和复变函数的世界。

## 向量的正交
### 正交的引入
在高中都学过力的正交分解，一个质点静止在斜块上，说明受力平衡，老师告诉我们，要进行受力分析，可以把重力$F$分解

其他版本
【线性代数】向量投影【线性代数】施密特正交化过程【高中数学】两直线平行与垂直(解析几何)【线性代数】向量正交

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