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向量的平行四边形法则与向量的坐标运算

## 向量的平行四边形法则
以共起点向量 $a 、 b$ 为平行四边形相邻两边，以 $a$ 向量的起点作为起点的其 对角线表示的向量为两个向量的和，记为 $a+b$ ，见图 5-14. 以 $a$ 向量的终点为 起点， $b$ 向量的终点为终点的对角线向量为向量的差. 见图 5-15，记为 $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{b})$.

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>向量高中版请查看 [高中向量平行四边形法则](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=165)

设 $\lambda$ 是一个数，向量 $a$ 与数 $\lambda$ 的乘积 $\lambda \boldsymbol{a}$ 规定为
当 $\lambda>0$ 时， $\lambda a$ 表示一向量，其大小 $|\lambda a|=\lambda|a|$ ，方向与 $a$ 同向；
当 $\lambda=0$ 时， $\lambda \boldsymbol{a}=0$ 是零向量；
当 $\lambda<0$ 时， $\lambda a$ 表示一向量，其大小 $|\lambda a|=-\lambda|a|$ ，方向与 $a$ 反向（见图 5-16）.
特别地，当 $\lambda=-1$ 时， $(-1) \boldsymbol{a}=-\boldsymbol{a}$.

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由数乘的定义很容易得到以下结论 (见图 5-17)：
（1）如果两个向量 $\boldsymbol{a} ， \boldsymbol{b}$ 满足 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$ ( $\lambda$ 是数)，则 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ ； 反之，若 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ 且 $\boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{0}$ ，则 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$.

（2）若记 $\mathrm{e}_a$ 为非零向量 $\boldsymbol{a}$ 的同向单位向量，则 ${e}_a=\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$ (证明留作习题).

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## 向量单位化
模长为1的向量为单位向量，利用 ${e}_a=\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$ 可以很容易单位化向量。

`例`若 $v=(1,-2,2,0)$, 找出和 $v$ 方向一致的单位向量 $u$.
解：首先计算向量 $v$ 的长度

$$
\|v\|^2=v \cdot v=(1)^2+(-2)^2+(2)^2+(0)^2=9,\|v\|=\sqrt{9}=3
$$

对 $v$ 乘 $\frac{1}{\| v \|}$ 得到

$$
e=\frac{1}{\|v\|} v=\frac{1}{3} v=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{r}
1 \\
-2 \\
2 \\
0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
1 / 3 \\
-2 / 3 \\
2 / 3 \\
0
\end{array}\right]
$$

## 向量的坐标运算
设 $P_1 、 P_2$ 为 $u$ 轴上坐标为 $u_1, u_2$ 的任意两点，又 $\boldsymbol{e}$ 为与 $u$ 轴正向一致 的单位向量 (见图 5-18)，则有 $\overrightarrow{P_1 P_2}=\left(u_2-u_1\right) e$.
证 当 $u_2-u_1>0$ 时， $\overrightarrow{P_1 P_2}$ 与 $\boldsymbol{e}$ 同向，故 $\overrightarrow{P_1 P_2}=\lambda \boldsymbol{e}(\lambda>0)$ ，由 $\lambda=\left|\overrightarrow{P_1 P_2}\right|=u_2-u_1$ ， 因此 $\overrightarrow{P_1 P_2}=\left(u_2-u_1\right) e$ ；
当 $u_2-u_1=0$ 时， $\overrightarrow{P_1 P_2}=\mathbf{0} ，\left(u_2-u_1\right) \boldsymbol{e}=\mathbf{0}$ ，因此 $\overrightarrow{P_1 P_2}=\left(u_2-u_1\right) \boldsymbol{e}$ ；
当 $u_2-u_1<0$ 时， $\overrightarrow{P_1 P_2}$ 与 $\boldsymbol{e}$ 反向，故 $\overrightarrow{P_1 P_2}=-\lambda \boldsymbol{e}(\lambda>0)$ ，由 $\lambda=\left|\overrightarrow{P_1 P_2}\right|=u_1-u_2$ ， 因此 $\overrightarrow{P_1 P_2}=-\lambda \boldsymbol{e}=-\left(u_1-u_2\right) \boldsymbol{e}=\left(u_2-u_1\right) \boldsymbol{e}^{.}$

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### 推论
设空间有一向量 $\boldsymbol{a}=\vec{M}_1 M_2$ ， 其中 $M\left(x_1, y_1, z_1\right) 、 M\left(x_2, y_2, z_2\right)$ ， 由加法定理可知 $a$ 可分解为三个 分别平行于 $x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴的 向量 $a_x 、 a_y$ 和 $a_z$ ，它们称为 $a$ 在 $X$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴的三个分向量. 显 然 $a=a_x+a_y+a_z$. 见图 5-19.

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$$
\begin{aligned}
& \operatorname{Pr} \mathrm{j}_x \boldsymbol{a}=\operatorname{Pr} \mathrm{j}_x \boldsymbol{a}_x=x_2-x_1=a_x, \\
& \operatorname{Pr} \mathrm{j}_y \boldsymbol{a}=\operatorname{Pr} \mathrm{j}_y \boldsymbol{a}_y=y_2-y_1=a_y, \\
& \operatorname{Pr} \mathrm{j}_z \boldsymbol{a}=\operatorname{Pr} \mathrm{j}_z \boldsymbol{a}_z=z_2-z_1=a_z,
\end{aligned}
$$

若用 $i 、 j$ 和 $k$ 分别表示与 $x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴正向一致的三个单位向量称它 们为基本单位向量，则有 $\boldsymbol{a}_x=\left(x_2-x_1\right) \boldsymbol{i} ， \boldsymbol{a}_y=\left(y_2-y_1\right) \boldsymbol{j} ， \boldsymbol{a}_z=\left(z_2-z_1\right) \boldsymbol{k}$ ，因此

$$
\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}_x+\boldsymbol{a}_y+\boldsymbol{a}_z=\left(x_2-x_1\right) \boldsymbol{i}+\left(y_2-y_1\right) \boldsymbol{j}+\left(z_2-z_1\right) \boldsymbol{k}=a_x \boldsymbol{i}+a_y \boldsymbol{j}+a_z \boldsymbol{k} ，
$$

称上式为向量 $a$ 按基本单位向量的分解式或 $a$ 的**向量表示式**.

一方面，从向量 $\boldsymbol{a}$ 可以唯一定出它在三条坐标轴上的投影 $a_x ， a_y$ 和 $a_z$ ， 另一方面从 $a_x ， a_y$ 和 $a_z$ 可以唯一定出向量 $\boldsymbol{a}$ ，这样有序数组 $a_x ， a_y ， a_z$ 就 与向量 $\boldsymbol{a}$ 一一对应，于是将 $a_x ， a_y ， a_z$ 称为向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标，记为 $\boldsymbol{a}=\left(a_x, a_y, a_z\right)$ 也称向量 $a$ 的**坐标表示式**.

以 $M\left(x_1, y_1, z_1\right)$ 为始点， $M\left(x_2, y_2, z_2\right)$ 为终点的向量记为

$$
\frac{M_1 M_2}{M_2}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1\right) \text {, }
$$

特别向径 $r=\overrightarrow{O M}=(x, y, z$ ) (见图 5-20).

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对于向量的运算也可化为对坐标的数量运算:
设向量 $\boldsymbol{a}=\left(a_x, a_y, a_z\right) ， \boldsymbol{b}=\left(b_x, b_y, b_z\right)$ ，

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b} & =\left(a_x \boldsymbol{i}+a_y \boldsymbol{j}+a_z \boldsymbol{k}\right) \pm\left(b_x \boldsymbol{i}+b_y \boldsymbol{j}+b_z \boldsymbol{k}\right)=\left(a_x \pm b_x\right) \boldsymbol{i}+\left(a_y \pm b_y\right) \boldsymbol{j}+\left(a_z \pm b_z\right) \boldsymbol{k} \\
& =\left(a_x \pm b_x, a_y \pm b_y, a_z \pm b_z\right) ; \\
\lambda \boldsymbol{a} & =\lambda\left(a_x \boldsymbol{i}+a_y \boldsymbol{j}+a_z \boldsymbol{k}\right)=\left(\lambda a_x\right) \boldsymbol{i}+\left(\lambda a_y\right) \boldsymbol{j}+\left(\lambda a_z\right) \boldsymbol{k}=\left(\lambda a_x, \lambda a_y, \lambda a_z\right) .
\end{aligned}
$$

### 向量的坐标运算
从上面结论可知，利用向量的坐标，可得向量的加法，减法以及向量与数的乘法的运算如下：
设 $\boldsymbol{a} =\left(a_x, a_y, a_z\right), \boldsymbol{b} =\left(b_x, b_y, b_z\right)$ ，即

$$
\boldsymbol{a}=a_x i+a_y j+a_z k, \quad \boldsymbol{b}=b_x i+b_y j+b_z k .
$$

利用向量加法的交换律与结合律以及向量与数的乘法的结合律与分配律，有

$$
\begin{aligned}
{a + b} & =\left(a_x+b_x\right) i +\left(a_y+b_y\right) j +\left(a_x+b_z\right) k , \\

{a - b} & =\left(a_x-b_x\right) i +\left(a_y-b_y\right) j +\left(a_z-b_z\right) k , \\
{\lambda a} & =\left(\lambda a_x\right) i +\left(\lambda a_y\right) j +\left(\lambda a_z\right) k \quad(\lambda  \in R ),
\end{aligned}
$$

即

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{a + b} & =\left(a_x+b_x, a_y+b_y, a_z+b_z\right), \\
\boldsymbol{a - b} & =\left(a_x-b_x, a_y-b_y, a_z-b_z\right), \\
\boldsymbol{\lambda a} & =\left(\lambda a_x, \lambda a_y, \lambda a_x\right) .
\end{aligned}
$$

由此可见，对向量进行加，减及与数相乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了．
根据[平面向量基本定理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1536) 指出，当向量 $a \neq 0$ 时，向量 $b / / a$ 相当于 $b =\lambda a$ ，坐标表示式为

$$
\left(b_x, b_y, b_z\right)=\lambda\left(a_x, a_y, a_z\right),
$$

这也就相当于向量 $b$ 与 $a$ **对应的坐标成比例**

$$
\boxed{
\frac{b_x}{a_x}=\frac{b_y}{a_y}=\frac{b_z}{a_z}  ...(1.1)
}
$$

①当 $a_x, a_y, a_z$ 有一个为零时，例如 $a_x=0, a_y, a_z \neq 0$ ，这时（1－1）式应理解为

$$
\left\{\begin{array}{l}
b_x=0, \\
\frac{b_y}{a_y}=\frac{b_z}{a_z} ;
\end{array}\right.
$$

②当 $a_x, a_y, a_z$ 有两个为零时，例如 $a_x=a_y=0, a_z \neq 0$ ，这时（1－1）式应理解为

$$
\left\{\begin{array}{l}
b_x=0 \\
b_y=0
\end{array}\right.
$$

`例` 设 $A\left(x_1, y_1, z_1\right)$ 和 $B\left(x_2, y_2, z_2\right)$ 为空间两点，而在 $A B$ 直线上的点 $M$ 分有 向线段 $\overrightarrow{A B}$ 为两个有向线段 $\overrightarrow{A M}$ 与 $\overrightarrow{M B}$ ，使它们的模的比等于某数 $\lambda(\lambda \neq-1)$ ，即 $\frac{|\overrightarrow{A M}|}{|\overrightarrow{M B}|}=\lambda$ ，求分点 $M$ 的坐标 $x ， y$ 和 $z$.

解 如图 5-21 所示， 因为 $\overrightarrow{A M} 、 \overrightarrow{M B}$ 在一直线上，故 $\overrightarrow{A M}=\lambda \overrightarrow{M B}$.

$$
\begin{aligned}
& \text { 而 } \overrightarrow{A M}=\left(x-x_1, y-y_1, z-z_1\right) ， \\
& \overrightarrow{M B}=\left(x_2-x, y_2-y, z_2-z\right)
\end{aligned}
$$

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因此

$$
\left(x-x_1, y-y_1, z-z_1\right)=\lambda\left(x_2-x, y_2-y, z_2-z\right) ，
$$

即 $x-x_1=\lambda\left(x_2-x\right) ， y-y_1=\lambda\left(y_2-y\right) ， z-z_1=\lambda\left(z_2-z\right)$ ， 可得

$$
x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}, \quad y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}, \quad z=\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda} \text {. }
$$

点 $M$ 叫做有向线段 $\overrightarrow{A B}$ 的定比分点，当 $\lambda=1$ 时，点 $M$ 是有向线段 $\overrightarrow{A B}$ 的中 点，其坐标为

$$
x=\frac{x_1+x_2}{2}, y=\frac{y_1+y_2}{2}, \quad z=\frac{z_1+z_2}{2} \text {. }
$$

`例` 设 $\boldsymbol{m}=3 \boldsymbol{i}+5 \boldsymbol{j}+8 \boldsymbol{k}, \boldsymbol{n}=2 \boldsymbol{i}-4 \boldsymbol{j}-7 \boldsymbol{k}, \boldsymbol{p}=5 \boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}-4 \boldsymbol{k}$, 求 $\boldsymbol{a}=4 \boldsymbol{m}+3 \boldsymbol{n}-\boldsymbol{p}$ 在 $y$ 轴上的分向量.
解 $\boldsymbol{a}=4 \boldsymbol{m}+3 \boldsymbol{n}-\boldsymbol{p}=4(3 \boldsymbol{i}+5 \boldsymbol{j}+8 \boldsymbol{k})+3(2 \boldsymbol{i}-4 \boldsymbol{j}-7 \boldsymbol{k})-(5 \boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}-4 \boldsymbol{k})$ $=13 \boldsymbol{i}+7 \boldsymbol{j}+15 \boldsymbol{k}$,
所以 $x$ 轴上的坐标为 13 ，在 $y$ 轴上的分向量为 $7 \boldsymbol{j}$.

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