最后更新: 2025-11-16 08:13 查看: 548 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

向量内积(数量积)★★★★★

> 本文介绍向量的乘法，向量乘法有两种形式：$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 和 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ ，这两种乘法的意义和作用完全不同 。 在本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。由于历史原因，数学学科和物理学科关于“inner product”和“outer product”两个词汇有着五花八门的翻译，大致翻译按照如下归类：
**①按照运算结果命名**。$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 运算结果是一个数，而 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 运算结果是一个向量，所以 数学科翻译为：**数量积**和**向量积**。而物理学科翻译为**标量积**和**矢量积**。 
**②按照“长相”命名**。$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 含有一个点所以翻译为**点乘**或**点积**，而 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$含有一个$\times$所以翻译为**叉乘**或**叉积**。
**③按照英文直译**，$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 英文叫做 inner product 而 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$叫做 outer product ，所以直译为**内积**和**外积**。

> 在“点乘”运算中，经常省略运算的点符号，在《线性代数》中经常会把向量直接看作矩阵乘法，所以，在线性代数里，$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 通常写成 $(a,b)$ 或$[a,b]$,而 两个向量的夹角通常记为 $<a,b>$

总结：
$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 被称作：内积、数量积、点积、标积和 inner product
$\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 被称作：外积、向量积、叉积、矢积和 outer product

## 向量内积（数量积)

### 引例1-物体做功
设一个物体在恒力 $F$ 作用下，沿直线从点 $M_1$ 移动到点 $M_2$ (见图 5-23)， 以 $\boldsymbol{s}$ 表示位移 $\overrightarrow{M_1 M_2}$. 由物理学知道，力 $\boldsymbol{F}$ 所做的功为 $W=|\boldsymbol{F} | |\boldsymbol{s}| \cos \theta$ (见图 5-24)，其中 $\theta$ 为 $\boldsymbol{F}$ 与 $\boldsymbol{s}$ 的夹角.

即功可以写成矢量的的乘法
$$
W= \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{s} 
$$
或写成
$$
W= |F| \cdot |s| cos \theta
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_202212304e4e6df.png)

> 在物理里，我们都知道，力$F$在垂直于$s$方向上不做功，只有沿着$s$方向上做功，所以，上述乘积可以看成$F$在$s$上的投影。

### 引例2-流过曲面的流量

想象水流以速度$v$通过面积是$S$的管道，那么$\Delta t$内通过的水流量就是$V=vS\Delta t$, 现在把管子开口倾斜，通过的水流量是$V=vS \cos \theta \Delta t$,
关注两个极端情况：
（1）$\theta=0$，此时水流量最大
（2）$\theta=\frac{\pi}{2}$, 此时管口和水流平行，水的流量为零
 ![图片](/uploads/2025-01/9477a8.svg){width=400px}
 
 仔细观察 $V=vS \cos \theta \Delta t$ 
 
①如果你这样打括号$V=v (S \cos \theta) \Delta t$, 他的意义是水流速度不变，而通过得面积为**有效面积**。

②如果你这样打括号$V=(v \cos \theta ) S  \Delta t$, 他的意义是面积不变，但是水流速度分解为**垂直截面的速度**和**平行截面的速度**。

这两个理解都对，所以他们的结果是一样的。

考虑水流以速度v流过曲面，因为曲面是弯曲的，可以取极小的面积微元，把这个微元看成平面(切平面)，做平面的垂线，称作法线，这个法线犹如风筝的线，曲面倾斜不同则法线不同，因此，使用法线就可以刻画曲面的倾斜程度。
现在有2个向量：水流向量$\vec{v}$ 和 法线向量$n$，那么水流流过曲面微元的流量就是
$V=\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}=|v| |n| \cos \theta $

![图片](/uploads/2025-11/45ff38.jpg){width=300px}

## 向量内积的几何意义

给定向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$, 我们做这样的运算： $|a|$ 与 $|b|$ 及它们的夹角与 $\theta$ 的余弦的乘积，称为向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的**内积**，也叫**数量积**. 记为 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ ，即

$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \theta=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle \quad(0 \leq \theta<\pi) .
$$

由内积的定义可知，恒力 $F$ 沿直线从点 $M_1$ 移动到点 $M_2$ ，所作的功为

$$
W=|\boldsymbol{F}|\left|\overrightarrow{M_1 M_2}\right| \cos \theta=\boldsymbol{F} \cdot \overrightarrow{M_1 M_2} .
$$

**请务必熟悉上面这种写法的意义，因为在后续的《多元微分与多元积分》里会大量使用**。

两个向量相乘，物理上可以有不同的解释，但是从数学的角度看，
> **向量内积 表示一个向量在另外一个向量的有效分量（也可以认为是投影）再乘以该向量**

$\vec{a} \cdot \vec{b}$ 等于 $\vec{b} \cdot \vec{a}$  ，他等于 $

其他版本
【高中数学】向量垂直【高中数学】向量的向量积(外积)【高中数学】向量的数量积(内积)【线性代数】向量的内积、长度【线性代数】向量投影【高等数学】向量积(叉积)

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