最后更新: 2025-02-10 09:50 查看: 480 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

向量积(叉积)

本文介绍向量之间的简单运算。 在本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。由于历史原因，数学学科和物理学科关于“inner product”和“outer product”两个词汇有着五花八门的翻译。 在物理学科，一般翻译成“标积”和“矢积”，表示运算的结果为标量和矢量。高中数学课本上“数量积”和“向量积”也采用了这种意译的办法。 在数学学科，通常也可以翻译成“内积”和“外积”，是两个名词的直译。“点乘”和“叉乘”是根据运算符号得来的俗称，这种俗称也很常见。 在“点乘”运算中，经常省略运算的点符号，在线性代数中更是会直接看作矩阵乘法，不写点符号。本站介绍数量积通常称为内积。

> 内积被称作点积，记做 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} $ ，从外形看他含有一个 $\cdot$ ，从结果看他的值为一个“数”，所以被称作数量积。 外积也被称作叉积，记做  $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} $，从外形看因为含有 $\times$ 所以被称为叉积，因为结果是一个向量，也被称作向量积或张量积。

> 要查看本文高中部，点击[高中数学叉积教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1537)

## 向量积(又称 外积/叉积/张量积/矢积/outer product)
### 引例1
在研究物体转动问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所产生的力距. 详见[定轴转动定律](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1099)
 ![图片](/uploads/2024-10/c72e22.jpg){width=230px}

如图 5-27 所示，设杆 $L$ ，支点为 $O$ ，受力 $F$ 作用，由力学可知: 力 $F$ 对支点 $O$ 的力距是一个向量 $\boldsymbol{M}$ ，其大小为 $|\boldsymbol{M}|=|\overrightarrow{O Q}||\boldsymbol{F}|=|\overrightarrow{O P}||\boldsymbol{F}| \sin \theta$ ，

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其方向为: $M$ 垂直于 $\overrightarrow{O P}$ 与 $F$ 所在平面， $M$ 的指向是按右手规则从 $\overrightarrow{O P}$ 转向 $F$ ，转角不超过 $\pi$ ，此时，大拇指的方向就是 $M$ 的指向(见图 5-28).

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230bc2dec8.png){width=300px}

### 引例2
在高中物理课中知道，带电粒子在磁场中的运动时，会有洛伦兹力，详见[高中物理(电磁学)](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1004)，并且给出了左手法则判断受力的方向：伸开左手，让磁力线穿过首先，四指指向粒子运动的方向，则大拇指的指向就是粒子受力的方向，参考下图
 
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洛仑兹力写成向量乘法的形式是 $F=q(v \times B)$ 详见[洛伦兹力(大学版)](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1165)

为了和上面说法对应，现在我们捋一捋$F=q(v \times B)$这个公式的物理意义（参考下图），这对理解后面介绍的向量的乘法很有意义。

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四个物理量：
①$q$:一个点电荷 
②$v$:点电荷的运动速度
③$B$:磁场的强度
④$F$:点电荷受到的力

> **整个表达式的意思是**：一个粒子$q$在磁场里运动，运动速度$v$和磁场强度$B$之间的夹角为$\theta$，那么粒子会受到洛伦兹力$F$的作用,力$F$的方向垂直于$v$和$B$张成的平面，力的大小是$F=q · (v \times B)$

在上面都涉及到两个向量的乘积，但是在物理中，一个使用右手法则，一个使用左手法则。按照习惯，数学科中选中了以“右手法则”为基准定义向量积的方向。

## 向量积的方向
**定义2** 若由向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 所确定的一个向量 $\boldsymbol{c}$ 满足下列条件 (见图 5-29) :
(1) $c$ 的方向既垂直于 $\boldsymbol{a}$ 又垂直于 $b ， c$ 的指向按右手规则从 $\boldsymbol{a}$ 转向 $\boldsymbol{b}$ 来确定
(2) $\boldsymbol{c}$ 的模 $|\boldsymbol{c}|=|\boldsymbol{a} \| \boldsymbol{b}| \sin \theta$ ，(其中 $\theta$ 为 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角)， 则称向量 $c$ 为向量 $a$ 与 $b$ 的向量积（或称外积、 叉积)，记为 $\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$.
按此定义，上面的力矩 $\boldsymbol{M}$ 等于 $\overrightarrow{O P}$ 与 $\boldsymbol{F}$ 的向量积，即

$$
\boldsymbol{M}=\overrightarrow{O P} \times \boldsymbol{F} .
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123082beafb.png)

## 向量平行的判断
根据向量积的定义，即可推得
(1) $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ ；
(2)设 $a 、 b$ 为两非零向量，则 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ 的充分必要条件是 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=0$.
证 (1) $|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{a}| \sin \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}\rangle=0$
(2) $\Rightarrow$ 已知 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b} ，\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=0, \pi$ ，故 $\sin \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=0$ ，
即 $|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \sin \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=0 ， \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=0$.
$\Leftarrow$ 若已知 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=0$ ，即 $|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \sin \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=0$ ，
故 $\sin \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=0 ，\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=0, \pi$ ，因此 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$.
由此可知，空间三点 $A 、 B 、 C$ 共线的充分必要条件是 $\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}=\mathbf{0}$.

## 向量积满足下列运算规律
(1) $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a}$;
(2) 分配律 $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{c}+\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$;
(3) 结合律 $\lambda(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})=(\lambda \boldsymbol{a}) \times \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a} \times(\lambda \boldsymbol{b})$ ， ( $\lambda$ 为实数).
证明留作习题.
下面我们来推导向量积的坐标表示式.
设 $\boldsymbol{a}=\left(a_x, a_y, a_z\right)=a_x \boldsymbol{i}+a_y \boldsymbol{j}+a_z \boldsymbol{k}, \boldsymbol{b}=\left(b_x, b_y, b_z\right)=b_x \boldsymbol{i}+b_y \boldsymbol{j}+b_z \boldsymbol{k}$ ， 则

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}= & \left(a_x \boldsymbol{i}+a_y \boldsymbol{j}+a_z \boldsymbol{k}\right) \times\left(b_x \boldsymbol{i}+b_y \boldsymbol{j}+b_z \boldsymbol{k}\right) \\
= & a_x b_x \boldsymbol{i} \times \boldsymbol{i}+a_x b_y \boldsymbol{i} \times \boldsymbol{j}+a_x b_z \boldsymbol{i} \times \boldsymbol{k}+a_y b_x \boldsymbol{j} \times \boldsymbol{i}+a_y b_y \boldsymbol{j} \times \boldsymbol{j}+a_y b_z \boldsymbol{j} \times \boldsymbol{k} \\
& +a_z b_x \boldsymbol{k} \times \boldsymbol{i}+a_z b_y \boldsymbol{k} \times \boldsymbol{j}+a_z b_z \boldsymbol{k} \times \boldsymbol{k},
\end{aligned}
$$

注意到: $i \times i=j \times j=k \times k=0 ， i \times j=k, j \times k=i, k \times i=j$ ，并利用二、三阶行列式 的计算公式 (见本章的拓展阅读本章行列式教程)，则有

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} & =a_x b_y \boldsymbol{k}-a_x b_z \boldsymbol{j}-a_y b_x \boldsymbol{k}+a_y b_z \boldsymbol{i}+a_z b_x \boldsymbol{j}-a_z b_y \boldsymbol{i} \\
& =\left(a_y b_z-a_z b_y\right) \boldsymbol{i}-\left(a_x b_z-a_z b_x\right) \boldsymbol{j}+\left(a_x b_y-a_y b_x\right) \boldsymbol{k} \\
& =\left|\begin{array}{ll}
a_y & a_z \\
b_y & b_z
\end{array}\right| \boldsymbol{i}+(-1)\left|\begin{array}{cc}
a_x & a_z \\
b_x & b_z
\end{array}\right| \boldsymbol{j}+\left|\begin{array}{cc}
a_x & a_y \\
b_x & b_y
\end{array}\right| \boldsymbol{k}=\left|\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z
\end{array}\right| .
\end{aligned}
$$

> 这里使用了三阶行列式，详见 [三阶行列式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=813)

由此可得若 $|a| \neq 0 ，|b| \neq 0$ ，则

$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=0 \Leftrightarrow \boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b} \Leftrightarrow a_y b_z-a_z b_y=0, a_x b_z-a_z b_x=0, a_x b_y-a_y b_x=0 ，
$$

即 $\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}=\frac{a_z}{b_z}$. (亦即 $\boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{b}$ )

`例`求与 $\boldsymbol{a}=3 \boldsymbol{i}-2 \boldsymbol{j}+4 \boldsymbol{k}, \boldsymbol{b}=\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}-2 \boldsymbol{k}$ 都垂直的单位向量.
解 $\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\left|\begin{array}{ccc}\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 3 & -2 & 4 \\ 1 & 1 & -2\end{array}\right|=10 \boldsymbol{j}+5 \boldsymbol{k}$,
因为 $|\boldsymbol{c}|=\sqrt{10^2+5^2}=5 \sqrt{5}$, 所以 $\boldsymbol{e}=\pm \frac{\boldsymbol{c}}{|\boldsymbol{c}|}=\pm\left(\frac{2}{\sqrt{5}} \boldsymbol{j}+\frac{1}{\sqrt{5}} \boldsymbol{k}\right)$.

`例` 在顶点为 $A(1,-1,2), B(5,-6,2)$ 和 $C(1,3,-1)$ 的三角形中，求 $A C$ 边上的 高 $B D$.
解 $\overrightarrow{A C}=(0,4,-3), \overrightarrow{A B}=(4,-5,0)$, 根据向量积的定义，可知三角形 $A B C$ 的面 积为

$$
S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{A C}||\overrightarrow{A B}| \sin \angle A=\frac{1}{2}|\overrightarrow{A C} \times \overrightarrow{A B}|=\frac{1}{2} \sqrt{15^2+12^2+16^2}=\frac{25}{2} \text {, }
$$

又 $S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{A C}| \cdot|B D|,|\overrightarrow{A C}|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5$,
所以 $\frac{25}{2}=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot|B D|$, 从而 $|B D|=5$.

`例`设向量 $\boldsymbol{m}, \boldsymbol{n}, \boldsymbol{p}$ 两两垂直，符合右手规则，且

$$
|\boldsymbol{m}|=4, \quad|\boldsymbol{n}|=2, \quad|\boldsymbol{p}|=3,
$$

计算 $(m \times n) \cdot p$.
解 $|\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{n}|=|\boldsymbol{m} \| \boldsymbol{n}| \sin (\boldsymbol{m}, \boldsymbol{n})=4 \times 2 \times 1=8$, 依题意知 $\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{n}$ 与 $\boldsymbol{p}$ 同向，
则 $\theta=(\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{n}, \boldsymbol{p})=0,(\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{n}) \cdot \boldsymbol{p}=|\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{n}| \cdot|\boldsymbol{p}| \cos \theta=8 \cdot 3=24$.

`例` 设刚体以等角速度 $\omega$ 绕 $l$ 轴旋转，计算刚体上一点 $M$ 的线速度.
![图片](/uploads/2022-12/image_2022123030ddc2e.png)
解 刚体绕 $l$ 轴旋转时，我们可以用在 $l$ 轴上的一个向量 $\omega$ 表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规 则写出: 即右手握住 $l$ 轴，当右手的四个手指的转向与刚体的旋 转方向一致时，大拇指的指向就是 $\omega$ 的方向，如图 5-30 所示， 设点 $M$ 至旋转轴 $l$ 的距离为 $a$, 再在 $l$ 轴上任取一点 $O$ 作向量 $\boldsymbol{r}=\overrightarrow{O M}$ 并以 $\theta$ 表示 $\omega$ 与 $\boldsymbol{r}$ 的夹角，则 $a=|\boldsymbol{r}| \sin \theta$. 设线速度为 $\boldsymbol{v}$, 那么由物理学上线速度与角速度的关系可知， $\boldsymbol{v}$ 的大小为

$$
|\boldsymbol{v}|=|\boldsymbol{\omega}| a=|\boldsymbol{\omega} \| \boldsymbol{r}| \sin \theta ;
$$

$\boldsymbol{v}$ 的方向垂直于通过 $M$ 点与 $l$ 轴的平面，即 $v$, 垂直于 $\omega$ 与 $r$ ；
又 $v$ 的指向是使 $\omega, r, v$ 符合右手规则. 因此有 $v=\omega \times r$.

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