最后更新: 2025-11-18 13:32 查看: 588 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

向量外积(向量积)

> 本文介绍向量的乘法，向量乘法有两种形式：$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 和 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ ，这两种乘法的意义和作用完全不同 。 在本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。由于历史原因，数学学科和物理学科关于“inner product”和“outer product”两个词汇有着五花八门的翻译，大致翻译按照如下归类：
**①按照运算结果命名**。$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 运算结果是一个数，而 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 运算结果是一个向量，所以 数学科翻译为：**数量积**和**向量积**。而物理学科翻译为**标量积**和**矢量积**。 
**②按照“长相”命名**。$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 含有一个点所以翻译为**点乘**或**点积**，而 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$含有一个$\times$所以翻译为**叉乘**或**叉积**。
**③按照英文直译**，$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 英文叫做 inner product 而 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$叫做 outer product ，所以直译为**内积**和**外积**。

> 在“点乘”运算中，经常省略运算的点符号，在《线性代数》中经常会把向量直接看作矩阵乘法，所以，在线性代数里，$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 通常写成 $(a,b)$ 或$[a,b]$,而 两个向量的夹角通常记为 $<a,b>$

总结：
$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 被称作：内积、数量积、点积、标积和 inner product
$\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 被称作：外积、向量积、叉积、矢积和 outer product

## 向量积
### 引例1-力矩
在研究物体**转动**问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所产生的力距. 详见[定轴转动定律](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1099)
 考虑两种特殊情况，参考下图
 ①当力F的方向沿着径向r方向时，并不会使物体转动。
 ②当力F的方向垂直r方向时，物体的转动速度最快。
  
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根据这个现象，抽象出下面模型：如图 5-27 所示，设杆 $L$ ，支点为 $O$ ，受力 $F$ 作用，由力学可知: 力 $F$ 对支点 $O$ 的力距是一个向量 $\boldsymbol{M}$ ，其大小为 $|\boldsymbol{M}|=|\overrightarrow{O Q}||\boldsymbol{F}|=|\overrightarrow{O P}||\boldsymbol{F}| \sin \theta$ ，

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230a72625b.png){width=300px}

### 引例2-带点离子的运动
在高中物理课中知道，带电粒子在磁场中的运动时，会有洛伦兹力，详见[高中物理(电磁学)](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1004)，并且给出了左手法则判断受力的方向：伸开左手，让磁力线穿过首先，四指指向粒子运动的方向，则大拇指的指向就是粒子受力的方向，参考下图
 
  ![图片](/uploads/2025-02/b22984.svg){width=300px}

洛仑兹力写成向量乘法的形式是 $F=q(v \times B)$ 详见[洛伦兹力(大学版)](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1165)

> 注意：通过定义可以发现，数学上定义的两个向量叉积的结果和物理学上定义的两个向量叉积的结果本质是相同的。

参考上图，把$F$想象为$z$轴，把$v$想象为$x$轴，把$B$想象为$y$轴，所以$FvB$构成的左手系和$xyz$构成的右手系结果是一样的

**理解向量积的物理意义**

为了和上面说法对应，现在我们捋一捋$F=q \cdot (v \times B)$这个公式的物理意义（参考下图），毕竟数学很多起源于物理。

![图片](/uploads/2024-01/image_202401113fc9d42.png){width=300px}

四个物理量：
①$q$:一个点电荷电量(标量) 
②$v$:点电荷的运动速度
③$B$:磁场的强度
④$F$:点电荷受到的力

> **整个表达式的意思是**：一个粒子$q$在磁场里运动，运动速度$v$和磁场强度$B$之间的夹角为$\theta$，那么粒子会受到洛伦兹力$F$的作用,力$F$的方向垂直于$v$和$B$张成的平面，力的大小是$F=q · (v \times B)$

## 向量积的定义

**定义** 设 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\theta$ ，定义

$$
\text { 向量 } \vec{c}:\left\{\begin{array}{l}
& \text { 方向 }: \vec{c} \perp \vec{a}, \vec{c} \perp \vec{b} \text { 且符合右手规则 } \\
& \text { 模 }: \quad|\vec{c}|=|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \quad \vec{c}=\vec{a} \times \vec{b}
\end{array}\right.
$$

称 $\vec{c}$ 为向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的**向量积**，记作

$$
\vec{c}=\vec{a} \times \vec{b} \text { (外积) }
$$

### 向量积的方向
两个向量的向量积结果是一个向量，向量符合右手法则：即： 伸开右手握着$c$轴，大拇指指向$c$轴方向，其他手指的指向是从$a$的正向旋转到$b$的正向

![图片](/uploads/2025-11/b79404.jpg){width=300px}

## 向量积的几何意义
### 两个向量相乘 
两个向量$\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} $ 相乘的结果仍是一个向量，记结果为 $\boldsymbol{c}$ ，则$\boldsymbol{c}$垂直$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 所张成的平面，且$\boldsymbol{c}$的正向符合右手法则。
$\boldsymbol{c}$的大小可以看成$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 所张成的平行四边形面积。
 
$a \times b$的方向，通常画成如下方式。具体按照上面介绍的右手法则。

![图片](/uploads/2025-09/44fbdf.svg)

> **由于$C$垂直$A \times B$，所以通常使用向量外积获得他们的法向量**

`例`设 $\boldsymbol{a}=(1,0,2), \boldsymbol{b}=(2,-1,1)$ ．求他的法向量 $\boldsymbol{c}$

解:
$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left|\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
1 & 0 & 2 \\
2 & -1 & 1
\end{array}\right|=2 \boldsymbol{i}+3 \boldsymbol{j}-\boldsymbol{k}=(2,3,-1),
$$
 
所以他的一个法向量是$(2,3,-1)$  这里用到了行列式，见下文介绍。

注意：两个向量确定一个平面，一个平面可以有无数个法线量，他们彼此平行，只要取一个即可
 
向量积大小的几何意义是向量$a,b$张成的平行四边形的**有向面积**。如果规定从$a$到$b$为正，那么从$b$到$a$就是负。简单证明：由于

$a \times b$ 的模：$|a \times b|=|a| \cdot|b| \cdot \sin \theta= |\boldsymbol{a}| \cdot(|\boldsymbol{b}| \cdot \sin \theta)=S_{\square}$ ，即模 $|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|$ 表示以 $|a|$ 与 $|b|$ 为边的平行四边形的面积 $S_{\square}$

![图片](/uploads/2025-11/6fcb35.jpg){width=350px}

### 三个向量相乘 
那空间里三个向量的乘积呢？考虑
$(a \times b) \times c$ 的几何意义
根据向量恒等式，$(a \times b) \times c = b(a \cdot c) - a(b \cdot c)$。
证明见后面例题，从结果看 $a \cdot c$ 是向量的内积，他是一个数，$b \cdot c$ 也是向量的内积，他也是一个数，所以最终结果就是$a$与$b$向量的一个线性组合，即所以最终结果得到的向量仍在$a,b$平面内

参考下图$A \times B \ti

其他版本
【高等数学】数量积(点积)【大学物理】定轴转动定律【高中数学】左手坐标系与右手坐标系【高中数学】向量的数量积(内积)【高中数学】向量的向量积(外积)

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