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高等数学
第五章 向量与空间解析几何
点到平面的距离
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更新:
2025-02-11 13:09
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点到平面的距离
两点之间距离
## 点到平面的夹角 设 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 为平面 $A x+B y+C z+D=0$ 外的一点，在 平面上任 取 一点 $P_1\left(x_1, y_1, z_1\right)$ (见图 5-39) . 则点 $P_0$ 到平面的距离 $d$ 就是 $\overrightarrow{P_1 P_0}$ 在 $\boldsymbol{n} \quad(\boldsymbol{n}=(A, B, C))$ 上的投影的绝对值，即 $d=\left|\operatorname{Pr}_{\mathrm{j}_n} \overrightarrow{P_1 P_0}\right|$.  注意到 $A x_1+B y_1+C z_1+D=0$ ，故 $$ \begin{aligned} d & =\left|\operatorname{Pr}_{\mathrm{j}_n} \overrightarrow{P_1 P_0}\right|=\frac{\left|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{P_1 P_0}\right|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{\left|A\left(x_0-x_1\right)+B\left(y_0-y_1\right)+C\left(z_0-z_1\right)\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \\ & =\frac{\left|A x_0+B y_0+C z_0-A x_1-B y_1-C z_1\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\fr
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