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高等数学
第五章 向量与空间解析几何
旋转曲面
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2025-11-18 08:55
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旋转曲面
旋转体;单叶旋转双曲面;双叶旋转双曲面;
## 旋转曲面 **定义** 一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做**旋转曲面**,这条定直线就叫做旋转曲面的**轴**. 这个曲线称作**母线**。 {width=500px} ### 准线 对于曲面的形成,还有一个定义法,就是母线沿着平面上的曲线运动,此时这个曲线称作**准线**。准线的“准”类似基准或者轨道的意思。 比如,一条直线(母线)沿着一个圆(准线)且始终平行于某一固定方向移动,形成的曲面 ### 曲面方程 设在 $y O z$ 坐标面上有一已知曲线 $L: f(y, z)=0$ ,将 $L$ 绕 $z$ 轴旋转就得到一个 以 $z$ 轴为旋转轴的旋转曲面 $S$. 设 $M_1\left(0, y_1, z_1\right)$ 为 $L$ 上任一点,则 $f\left(y_1, z_1\right)=0$ ,当 $L$ 绕 $z$ 轴旋转时,点 $M_1$ 也绕 $z$ 轴旋转到另一点 $M(x, y, z)$ , 这 时 $z=z_1$ 保持不变 (见图 5-47). {width=350px} $M$ 到 $z$ 轴的距离 $d$ 保持不变且等于 $\left|y_1\right|$, 而$d=\sqrt{x^2+y^2}=\left|y_1\right|$ , 或 $y_1=\pm \sqrt{x^2+y^2}$, 由 $f\left(y_1, z_1\right)=0$ 得 $f\left(\pm \sqrt{x^2+y^2}, z\right)=0 ...(1)$ , 这就是旋转曲面 $S$ 的方程. 容易看到,不在曲面 $S$ 上的点的坐标不会满足(1) 式,因此 (1) 式就是以曲线 $C$ 为母线, $z$ 轴为旋转轴的曲面 $S$ 的方程. 类似地,在曲
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【高中数学】柱、锥、台、球
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