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高等数学
第五章 向量与空间解析几何
曲面方程的概念
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2025-02-11 13:13
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曲面方程的概念
## 曲面方程的概念 本节介绍曲面及曲线方程概念，主要围绕下面两个基本问题：(1) 已知曲面曲线上点的几何特征，建立方程；(2) 已知曲线曲面上的点的坐标所满足的方程，研究曲面曲线的形状和性质.我们着重介绍一些常见 的曲面曲线及其方程. {width=300px} 我们要研究的两个基本问题是: （1）已知曲面作为点的轨迹时，建立这曲面的方程; （2）已知一个三元方程，研究该方程所表示的几何图形，即曲面形状，着重介绍一些常见的曲面. 先讨论第一个基本问题: 建立几种常见的曲面方程. 空间一动点到定点的距离为定值，该动点的轨迹称为球面，定点叫做球心， 定值叫做半径. `例` 建立球心在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ ，半径为 $R$ 的球面的方程. 解 本题实质是求到定点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 的距离为定长 $R$ 的点的轨迹方程，即球面的方程. 设 $M(x, y, z)$ 是球面上任意一点，则有 $\left|\overrightarrow{M_0 M}\right|=R$ ，即 $$ \sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2}=R $$ 或 $$ \left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2=R^2 . $$ `例` 求与原点 $O$ 及 $M_0(2,3,4)$ 的距离之比为 $1: 2$ 的点的全体所组成的曲面方程. 解 设 $M(x, y, z)$ 是曲面上任一点，根据题意有 $\frac{|M O|}{\left|M M_0\right|}=\frac{1}{2}$, 即 (根据[点到平面距离](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=362)) $$ \frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\sqrt{(x-2)^2+
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