最后更新: 2024-10-07 07:14 ● 参与者查看: 376 次纠错分享评论参与项目

二重积分的概念

## 二重积分的概念
在学习定积分的时候我们知道，如果函数 $y=f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续且 $f(x) \geq 0$ ， 那么 对于直线 $x=a, x=b ， x$ 轴以及曲线 $y=f(x)$ 所围成的曲边梯形的面积，可以通过对区间 的任意划分，将曲边梯形分成若干个部分小 的曲边梯形，然后以小矩形来近似替代小的曲 边梯形，得到曲边梯形面积的近似值 (见图 71),
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最后，将区间 "无限细分" 取极限得到曲边梯形面积的精确值. 即通过划分、近似、求和、取极限所得结果就是定积分 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 的 值 (见图 7-2).

![图片](/uploads/2022-12/image_202212313c327ad.png)

作为一元函数的定积分有许多应用，但仍有许多问题无法处理，比如，在定积分的应用中，我们计算了旋转体的体积、并作了已知截面求体积.但对一般形状的物体，用定积分求其体积就显得困难.因此我们需要用二重积分、或三重积分来解决此类问题.
在学习二重积分的时候，注意和定积分的相关概念之间的区别与联系.

与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的， 它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种 “和式 的极限" . 所不同的是: 定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域. 它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.

本节将由**曲顶柱体**的体积公式引入二重积分的概念，并且研究二重积分的相 关性质.

### 曲顶柱体的体积
   如图 7-3，曲面 $z=f(x, y)$ 在平面闭区域 $D$ 上连续，且有 $f(x, y) \geq 0$. 过 $D$ 的边界作垂直于 $x O y$ 面的柱面 $S$ ，则区域 $D$ 和柱面 $S$ 以及 曲面 $z=f(x, y)$ 构成一个封闭的立体，称为以 $D$ 为底的， $z=f(x, y)$ 为顶的曲顶柱体. 
   类似于曲边梯形面积的求法，我们采取 "分割"、“近 似"、"求和"、"取极限" 的步骤来求曲顶柱体的 体积.
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   将 $D$ 任意分割成 $r_1$ 份 : $\Delta D_1, \Delta D_2, \cdots \Delta D_n$ ，记每一份的面积分别为 $\Delta \sigma_1, \Delta \sigma_2, \cdots, \Delta \sigma_n$, 过第 $i$ 份 $\Delta D_i$ 的边界作垂直于 $x O y$ 面的柱体，则构成了一个以 $\Delta D_i$ 为底，以 $z=f(x, y)$ 为顶的小曲顶柱体.
   在 $\Delta D_i$ 上任取一点 $\left(x_i, y_i\right)$ ，做乘积 $f\left(x_i, y_i\right) \Delta \sigma_i$ ，则第 $i$ 块的小曲顶柱体的体 积可以近似的表示为 $V_i \approx f\left(x_i, y_i\right) \Delta \sigma_i$ ，而整个的立体体积可以用和式

$$
\sum_{i=1}^n f\left(x_i, y_i\right) \Delta \sigma_i
$$

来表示，设 $\lambda$ 为 $\Delta D_1, \Delta D_2, \cdots \Delta D_n$ 中区域直径 (区域上任意两点间距离的最大者）的最大值，令 $\lambda \rightarrow 0$ 时，所得的极限值
$\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(x_i, y_i\right) \Delta \sigma_i$ 即为所求的曲顶柱体的体积.

### 平面薄片的质量
设有一平面薄片占有 $x O y$ 面上的区域 $D$, 它在 $( x , y )$ 处的面密度为 $\rho x , y )$, 这里 $\rho( x , y )>0$, 而且 $\rho ( x , y )$ 在 $D$ 上连续, 现计算该平面薄片的质量 $M$.
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将 $D$ 分成 $n$ 个小区域 $\Delta \sigma_1, \Delta \sigma_2, \cdots, \Delta \sigma_n$ 用 $\lambda_i$ 记 $\Delta \sigma _{i}$的直径, $\Delta \sigma _i$ 既代表第 $i$ 个小区域又代表它的面积.

当$\lambda$很小时，由于密度连续， 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, 那么第$i$小块区域的近似质量可取为

$\rho\left(\xi_i, \eta _i\right) \Delta \sigma_i \quad \forall\left(\xi_i, \eta _i\right) \in \Delta \sigma_i$

$$
M \approx \sum_{i=1}^n \rho\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta \sigma_i
$$

于是
 
$$
M=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \rho\left(\xi_i, \eta _i\right) \Delta \sigma_i
$$

## 总结
上面的问题把所求量归结为和式的极限. 由于在物理、力学、几何和工程中技术中，许多的物理量和几何量都可以用这样的和式的极限来表示，所以有必要研究这种和式的极限的一般形式，我们从上述从表达式中抽象出下面的二重积分的定义.

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