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高等数学
第七章 多元函数积分学
二重积分的定义
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2024-10-07 07:33
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二重积分的定义
## 二重积分的定义 设 $f(x, y)$ 是平面闭区域 $D$ 上的有界函数,将 $D$ 任意分割成 $n$ 小块: $\Delta D_1, \Delta D_2, \cdots \Delta D_n$ ,记第 $i$ 块的面积为 $\Delta \sigma_i(i=1,2, \cdots, n)$ ,在第 $i$ 块上任取一点 $\left(x_i, y_i\right)$ (见图 7-4), 图 7-4 作 $\sum_{i=1}^n f\left(x_i, y_i\right) \Delta \sigma_i$ ,取 $\lambda=\max _{1 \leq i \leq n} \operatorname{diam}\left\{\Delta \sigma_i\right\}$ ,即 $\lambda$ 是各 $\Delta D_i$ 的直径中的最大值. 当 $\lambda \rightarrow 0$ 时,如果 $\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(x_i, y_i\right) \Delta \sigma_i$ 总是存在,则极限值称为函数 $f(x, y)$ 在平面闭区域 $D$ 上的二重积分, ![图片](/uploads/2022-12/image_20221231ffff662.png) 记为 $$ \iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(x_i, y_i\right) \Delta \sigma_i . $$ 其中 $D$ 称为**积分区域**, $f(x, y)$ 称为**被积函数**, $\mathrm{d} \sigma$ 称为**面积微元**, $f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 称为**被积表达式**, $\sum_{i=1}^n f\left(x_i, y_i\right) \Delta \sigma_i$ 称为**积分和**. 如果二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 存在,也称函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上可积. 由二重 积分的定义可知,在区域 $D$ 上可积的函数 $f(x, y)$ 一定是 $D$ 上的有界函数. 反过来,什么样的函数一定是可积的呢? 我们不加证明给出下面的定理. ### 连续函数可积 **定理1** 在区域 $D$ 上的连续函数一定是 $D$ 上的可积函数. 很容易知道, ①当 $f(x, y) \geq 0$ 时,曲顶柱体的体积 $V=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ; ②当 $f(x, y)<0$ 时,对应的二重积分是负值,故曲顶柱体的体积 $V=-\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$. `例` 用二重积分表示上半球体 $x^2+y^2+z^2 \leq 1, z \geq 0$ 的体积,并写出积分区域. 解 首先上半球体 $x^2+y^2+z^2 \leq 1$ 与 $x O y$ 面的交线 $$ \left\{\begin{array}{l} x^2+y^2+z^2=1 \\ z=0 \end{array},\right. $$ 即为区域 $D$ 的边界曲线: $\quad x^2+y^2=1$. 上半球面所对应的方程为 $$ z=\sqrt{1-x^2-y^2} . $$ 故上半球面可以看成是以 $D$ 为底的,以 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 为顶的曲顶柱体的体积 (见下图), 故 $V=\iint_D \sqrt{1-x^2-y^2} \mathrm{~d} \sigma$ , 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1\right\}$. ![图片](/uploads/2022-12/image_20221231704e93d.png){width=300px} ## 几个注意事项 #### 二重积分的存在定理 若 $f ( x , y )$ 在闭区域 $D$ 上连续, 则 $f ( x , y )$ 在 $D$ 上的二重积分存在. #### 面积元 $\iint_D f(x, y) d \sigma$ 中的面积元素 $d \sigma$ 象征着积分和式中的 $\Delta \sigma_i$. 由于二重积分的定义中对区域 $D$ 的划分是任意的, 若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域 $D$, 那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外, 绝大多数的小区域都是矩形, 因此, 可以将 $d \sigma$ 记作 $d x \boldsymbol { d } y$ (并称 $d d d y$ 为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为 $\iint_D f(x, y) d x d y$ 。 #### 体积可为负 若 $f(x, y) \geq 0$, 二重积分表示以 $f(x, y)$ 为曲顶, 以 $D$ 为底的曲顶柱体的体积,若若 $f(x, y) \leq 0$, 二重积分表示以 $f(x, y)$ 为曲顶, 以 $D$ 为底的曲顶柱体的体积但是值为负.
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