最后更新: 2025-04-08 18:44 查看: 470 次反馈同步训练

直角坐标系下二重积分的计算

## 直角坐标系下二重积分的计算
根据二重积分的定义，如果函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上可积，则二重积分的值与 对积分区域的分割方法无关.
因此，在直角坐标系中，常用平行于 $x$ 轴 和 $y$ 轴的两组直线来分割积分区域 $D$ ，则除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域 $\Delta \sigma_i$ 的边长为 $\Delta x_i$ 和 $\Delta y_j$ ，于是 $\Delta \sigma_i=\Delta x_i \Delta y_j$ （见 图 7-7).
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故在直角坐标系中，面积微元 $\mathrm{d} \sigma$ 可记为 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，即 $\mathrm{d} \sigma=\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$. 进而把二 重积分记为 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，这里我们把 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 称为直角坐标系下的**面积微元**.

在实际应用中，直接通过二重积分的定义和性质来计算二重积分一般是困难 的，本节和下一节，我们要讨论二重积分的计算方法，**其基本思想是将二重积分化为两次定积分来计算**，转化后的这种两次定积分常称为二次积分或累次积分. 本节先在直角坐标系下讨论二重积分的计算.

## 矩形区域上的二重积分(先y后x)
设函数 $z=f(x, y)$ 在矩形区域

$$
D=\{(x, y) \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\} 
$$ 
上连续，且 $f(x, y) \geq 0$ ，（$f(x, y) \geq 0$ 这个条件不是必须的）.

由前面的内容可知， $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的值等于以 $D$ 为底，以曲面 $z=f(x, y)$ 为 顶的曲顶柱体的体积.

在区间 $[a, b]$ 上任意选定一 点 $x_0$ ，作垂直于 $x$ 轴的平面 $x=x_0$ ，此平面截曲顶柱体所得 到的截面是一个以 $[c, d]$ 为底的 以曲线 $z=f\left(x_0, y\right)$ 为曲边的曲 边梯形 (图 7-8) . 由定积分的 几何应用可知，曲边梯形的面积 可以用定积分来计算，则截面面 积为 $S\left(x_0\right)=\int_c^d f\left(x_0, y\right) \mathrm{d} y$.
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对于区间 $[a, b]$ 上的任何一点 $x$ ，对应的截面面积为

$$
S(x)=\int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y .
$$

故曲顶柱体的体积 $V$ 为

$$
V=\int_a^b S(x) \mathrm{d} x=\int_a^b\left[\int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y
$$

即

$$
\boxed{
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y ...(1)  
}
$$

式(1)的右端称为先对 $y$ 后对 $x$ 的二次积分.
这个公式表明，矩形区域上的二重积分可以转化为先对 $y$ 后对 $x$ 的二次积分 来计算.

`例`计算定积分 $\int_0^1(x+y) \mathrm{d} y$.
解 因为被积函数 $x+y$ 是 $x, y$ 的二元函数，而积分变量是 $y$. 因此求 $x+y$ 的原函数的时候，可以把 $x$ 看成是常数，故原函数为 $x \cdot y+\frac{1}{2} y^2$ ，
故定积分的值为

$$
\int_0^1(x+y) \mathrm{d} y=\left.x \cdot[y]\right|_0 ^1+\left.\left[\frac{1}{2} y^2\right]\right|_0 ^1=x(1-0)+\frac{1}{2}\left(1^2-0^2\right)=x+\frac{1}{2}=\frac{2 x+1}{2} .
$$

这是一个关于 $x$ 的函数.
`例` 计算二重积分 $\iint_D \mathrm{e}^{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中区域 $D$ 是由 $x=0, x=1, y=0 ， y=1$ 所围成的矩形.
解 因为 $D$ 是矩形区域,且 $\mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^x \cdot \mathrm{e}^y$, 所以

$$
\begin{aligned}
\iint_D \mathrm{e}^{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{e}^y \mathrm{~d} y=\int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x \int_0^1 \mathrm{e}^y \mathrm{~d} y \\
= & =\int_0^1 \mathrm{e}^x\left(\left.\mathrm{e}^y\right|_0 ^1\right) \mathrm{d} x=\int_0^1 \mathrm{e}^x(\mathrm{e}-1) \mathrm{d} x=(\mathrm{e}-1)^2 .
\end{aligned}
$$

## 矩形区域上的二重积分(先x后y)

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