最后更新: 2024-10-07 08:05 ● 参与者查看: 313 次纠错分享评论参与项目

直角坐标系下二重积分的计算

## 直角坐标系下二重积分的计算
根据二重积分的定义，如果函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上可积，则二重积分的值与 对积分区域的分割方法无关.
因此，在直角坐标系中，常用平行于 $x$ 轴 和 $y$ 轴的两组直线来分割积分区域 $D$ ，则除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域 $\Delta \sigma_i$ 的边长为 $\Delta x_i$ 和 $\Delta y_j$ ，于是 $\Delta \sigma_i=\Delta x_i \Delta y_j$ （见 图 7-7).
![图片](/uploads/2022-12/image_2022123123b35ff.png)
故在直角坐标系中，面积微元 $\mathrm{d} \sigma$ 可记为 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，即 $\mathrm{d} \sigma=\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$. 进而把二 重积分记为 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，这里我们把 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 称为直角坐标系下的面积微元.
在实际应用中，直接通过二重积分的定义和性质来计算二重积分一般是困难 的，本节和下一节，我们要讨论二重积分的计算方法，其基本思想是将二重积分 化为两次定积分来计算，转化后的这种两次定积分常称为二次积分或累次积分. 本节先在直角坐标系下讨论二重积分的计算.

### 矩形区域上的二重积分(先y后x)
设函数 $z=f(x, y)$ 在矩形区域

$$
D=\{(x, y) \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\} 
$$ 
上连续，

且 $f(x, y) \geq 0$.
由前面的内容可知， $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的值等于以 $D$ 为底，以曲面 $z=f(x, y)$ 为 顶的曲顶柱体的体积.

在区间 $[a, b]$ 上任意选定一 点 $x_0$ ，作垂直于 $x$ 轴的平面 $x=x_0$ ，此平面截曲顶柱体所得 到的截面是一个以 $[c, d]$ 为底的 以曲线 $z=f\left(x_0, y\right)$ 为曲边的曲 边梯形 (图 7-8) . 由定积分的 几何应用可知，曲边梯形的面积 可以用定积分来计算，则截面面 积为 $S\left(x_0\right)=\int_c^d f\left(x_0, y\right) \mathrm{d} y$.
![图片](/uploads/2022-12/image_202212318cb64fc.png)
对于区间 $[a, b]$ 上的任何一点 $x$ ，对应的截面面积为

$$
S(x)=\int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y .
$$

故曲顶柱体的体积 $V$ 为

$$
V=\int_a^b S(x) \mathrm{d} x=\int_a^b\left[\int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y
$$

即

$$
\boxed{
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y ...(1)  
}
$$

式(1)的右端称为先对 $y$ 后对 $x$ 的二次积分.
这个公式表明，矩形区域上的二重积分可以转化为先对 $y$ 后对 $x$ 的二次积分 来计算.

`例`计算定积分 $\int_0^1(x+y) \mathrm{d} y$.
解 因为被积函数 $x+y$ 是 $x, y$ 的二元函数，而积分变量是 $y$. 因此求 $x+y$ 的原函数的时候，可以把 $x$ 看成是常数，故原函数为 $x \cdot y+\frac{1}{2} y^2$ ，
故定积分的值为

$$
\int_0^1(x+y) \mathrm{d} y=\left.x \cdot[y]\right|_0 ^1+\left.\left[\frac{1}{2} y^2\right]\right|_0 ^1=x(1-0)+\frac{1}{2}\left(1^2-0^2\right)=x+\frac{1}{2}=\frac{2 x+1}{2} .
$$

这是一个关于 $x$ 的函数.
`例` 计算二重积分 $\iint_D \mathrm{e}^{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中区域 $D$ 是由 $x=0, x=1, y=0 ， y=1$ 所围成的矩形.
解 因为 $D$ 是矩形区域,且 $\mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^x \cdot \mathrm{e}^y$, 所以

$$
\begin{aligned}
\iint_D \mathrm{e}^{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{e}^y \mathrm{~d} y=\int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x \int_0^1 \mathrm{e}^y \mathrm{~d} y \\
= & =\int_0^1 \mathrm{e}^x\left(\left.\mathrm{e}^y\right|_0 ^1\right) \mathrm{d} x=\int_0^1 \mathrm{e}^x(\mathrm{e}-1) \mathrm{d} x=(\mathrm{e}-1)^2 .
\end{aligned}
$$

### 矩形区域上的二重积分(先x后y)
我们还可以通过另一个截面来求 曲顶柱体的体积，从而得到二重积分的另一个计算方法.

现过 $y$ 轴上任一 点 $y_0$ 做垂直于 $x O y$ 面的截面，这是一个曲边梯形，是以 $[a, b]$ 为底，以曲面 $z=f(x, y)$ 和平面 $y=y_0$ 的交线 $y=f\left(x, y_0\right)$ 为顶的曲边梯形（见图 79)，即 $Q\left(y_0\right)=\int_a^b f\left(x, y_0\right) \mathrm{d} x$.

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123122599c3.png)
由 $y_0$ 的任意性可知，过 $y$ 轴上任一点 $y$ 的截面面积
为 $Q(y)=\int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x$ ，这是 $y$ 的函数. 利用已知截面面积的立体体积公式可知， 曲顶柱体的体积是

$$
V=\int_c^d Q(y) \mathrm{d} y=\int_c^d\left[\int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y .
$$

上式的右端称为先对 $x$ 、后对 $y$ 的二次积分.

$$
V=\int_c^d Q(y) \mathrm{d} y=\int_c^d\left[\int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y .
$$

上述公式也记为

$$
V=\int_c^d\left[\int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y=\int_c^d \mathrm{~d} y \int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x .
$$

因此我们可以得到矩形区域上的二重积分的计算公式:

$$ \boxed{
\iint_D f(x, y) d \sigma=\int_c^d\left[\int_{\phi_1(y)}^{\phi_2(y)} f( x , y ) d x \right] d y =\int_c^d dy \int _ { \phi _ { 1 } ( y ) } ^ { \phi _ { 2 } ( y ) } f( x , y ) d x
}
$$
上式被称为先$x$后$y$积分，其对 $f(x, y)<0$ 也成立.

`例`计算二重积分 $\iint_D \mathrm{e}^{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中区域 $D$ 是由 $x=0, x=1, y=0 ， y=1$ 所围成的矩形.
现在采用先$x$后$y$方式进行积分

$$
\iint_D \mathrm{e}^{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{e}^y \mathrm{~d} x=\int_0^1 \mathrm{e}^y \mathrm{~d} y \int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x
$$

$$
=\int_0^1 \mathrm{e}^y\left(\left.\mathrm{e}^x\right|_0 ^1\right) \mathrm{d} y=\int_0^1 \mathrm{e}^y(\mathrm{e}-1) \mathrm{d} y=(\mathrm{e}-1)^2 .
$$

`例` 计算 $I=\iint_D x y^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=[0,1] \times[1,2]$.
解 $f(x, y)=x y^2$ 在 $D$ 上连续，若先对 $x$ 积分后对 $y$ 积分，则有

$$
I=\iint_D x y^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_0^1 x y^2 \mathrm{~d} x=\int_1^2 y^2\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \int_1^2 y^2 \mathrm{~d} y=\left[\frac{1}{6} y^3\right]_1^2=\frac{7}{6}
$$

若先对 $y$ 积分后对 $x$ 积分， 则有

$$
I=\iint_D x y^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_1^2 x y^2 \mathrm{~d} y=\int_0^1 x\left[\frac{y^3}{3}\right]_1^2 \mathrm{~d} x=\frac{7}{3} \int_0^1 x \mathrm{~d} x=\left[\frac{7}{6} x^2\right]_0^1=\frac{7}{6}

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