最后更新: 2025-04-08 18:56 查看: 549 次反馈同步训练

X型区域上的二重积分

## X型区域上的二重积分

若积分区域 $D$ 可以用不等式 $\quad\left\{(x, y) \mid \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x), a \leq x \leq b\right\}$
来表示 (图 7-10)，其中函数 $\varphi_1(x), \varphi_2(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，这样的区域称为 $X$ 型区域，
其区域特征为: 穿过 $D$ 内部且平行于 $y$ 轴的直线与 $D$ 的边界最多相交于两点.

![图片](/uploads/2022-12/image_20221231a58a1f6.png)

`例` 将下列区域 (见图 7-11) 写成 $X$ 型区域的表达式.
解

> **想象你骑着高头大马，手里拿着旗杆，沿着X轴走，此时$x$的取值为$[0,a]$ 而旗杆和图形边界有交点，因此y取值为$[0 \leq y \leq \frac{b}{a} x]$**

(1) 三角形斜边的方程为 $y=\frac{b}{r} x$ ，故区域的 $X$ 型表达式为

$$
\left\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq \frac{b}{a} x, 0 \leq x \leq a\right\} .
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123111fb002.png)

$$
\text { （2）抛物线的方程为 } y=x^2 \text { ，直线的方程为 } y=x \text { ，故区域的 } X \text { 型表达式为 }
$$

$\left\{(x, y) \mid x^2 \leq y \leq x, 0 \leq x \leq 1\right\} . $

![图片](/uploads/2022-12/image_20221231f8ddf59.png)

(3) 上半圆的方程为 $y=\sqrt{1-x^2}$ ，下半圆的方程为 $y=-\sqrt{1-x^2}$, 故区域的 $X$ 型表达式为

$$
\left\{(x, y) \mid-\sqrt{1-x^2} \leq y \leq \sqrt{1-x^2},-1 \leq x \leq 1\right\}
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221231c2bee6b.png)

（4）区域可以写成两个 $X$ 型区域的和: $D_1+D_2$ ，
$D_1$ 的边界曲线分别为
$y=\sqrt{2 x}, y=-\sqrt{2 x}, x=0, x=1$ ， 则 $D_1$ 的 $X$
型表达式为

$$
\{(x, y) \mid-\sqrt{2 x} \leq y \leq \sqrt{2 x}, 0 \leq x \leq 1\} .
$$

$D_2$ 的边界曲线分别为
$y=\sqrt{2 x}, y=x-2, x=1, x=4$ ，则 $D_2$ 的 $X$ 型
表达式为

$$
\{(x, y) \mid x-2 \leq y \leq \sqrt{2 x}, 1 \leq x \leq 4\} .
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123182523d0.png)

注 把区域写成 $X$ 型表达式时，一定注意把边界曲线写成 $y$ 是 $x$ 的函数，同 时注意边界曲线所在的上下位置.
一般地，若 $D$ 是由 $x=a, x=b, y=\varphi_1(x), y=\varphi_2(x)$
所围成的 $X$ 型闭区域，现在求 以 $D$ 为底的，以曲面 $z=f(x, y) \quad(f(x, y)$ 连续且非 负) 为顶的曲顶柱体的体积 (见 图 7-12).
![图片](/uploads/2022-12/image_20221231786ea4f.png)
垂直于 $x$ 轴，可以过 $x$ 轴上的任一点 $x$ 做曲顶柱体的截面，则截面面积是以 $\left[\varphi_1(x), \varphi_2(x)\right]$ 为底，以 $z=f(x, y)$ 为顶的曲边梯形，其面积为

$$
S(x)=\int_{q_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y .
$$

对应的立体体积为 $\quad V=\int_a^b S(x) \mathrm{d} x=\int_a^b\left[\int_{q_1(x)}^{Q_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x$.
该积分是先 $x$ 后 $y$ 次序的二次积分,也可以记作 $\int_a^b d x \int_{Q_{(x)}}^{\varphi_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y$.

$$
\text { 从而 } \iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_a^b S(x) \mathrm{d} x=\int_a^b\left[\int_{Q_{-}(x)}^{\theta_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y\right]_{\mathrm{d}} x=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_{Q_Q(x)}^{\theta_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y
$$

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_a^b S(x) \mathrm{d} x=\int_a^b\left[\int_{q_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_{q_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y .
$$

式 (3) 表明，将二重积分转化为先 $x$ 后 $y$ 次序的二次积分来计算，关键是确定二 次积分中关于变量 $y$ 的积分限，即确定区域 $D$ 的 $X$ 型表达式. 如果区域是图 7-12 所示 $x$ 区域，在区域 $[a, b]$ 上任意取定一点 $x$ ，并过此点做一条平行于 $y$ 轴的直线， 顺着 $y$ 轴正向的方向看去，直线与

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