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X型区域上的二重积分

## X型区域上的二重积分

若积分区域 $D$ 可以用不等式 $\quad\left\{(x, y) \mid \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x), a \leq x \leq b\right\}$ 来表示 (图 7-10)，其中函数 $\varphi_1(x), \varphi_2(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，这样的区域称为 $X$ 型区域，
其区域特征为: 穿过 $D$ 内部且平行于 $y$ 轴的直线与 $D$ 的边界最多相交于两点.

![图片](/uploads/2022-12/image_20221231a58a1f6.png)

### X型区域上的二重积分计算

一般地，若 $D$ 是由 $x=a, x=b, y=\varphi_1(x), y=\varphi_2(x)$
所围成的 $X$ 型闭区域，现在求 以 $D$ 为底的，以曲面 $z=f(x, y) \quad(f(x, y)$ 连续且非 负) 为顶的曲顶柱体的体积 (见 图 7-12).
![图片](/uploads/2022-12/image_20221231786ea4f.png)
垂直于 $x$ 轴，可以过 $x$ 轴上的任一点 $x$ 做曲顶柱体的截面，则截面面积是以 $\left[\varphi_1(x), \varphi_2(x)\right]$ 为底，以 $z=f(x, y)$ 为顶的曲边梯形，其面积为

$$
S(x)=\int_{q_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y .
$$

对应的立体体积为 $\quad V=\int_a^b S(x) \mathrm{d} x=\int_a^b\left[\int_{q_1(x)}^{Q_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x$.
该积分是先 $x$ 后 $y$ 次序的二次积分,也可以记作 $\int_a^b d x \int_{Q_{(x)}}^{\varphi_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y$.

从而

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_a^b S(x) \mathrm{d} x=\int_a^b\left[\int_{q_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_{q_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y  ...(3)
$$

式 (3) 表明，将二重积分转化为先 $x$ 后 $y$ 次序的二次积分来计算，关键是确定二 次积分中关于变量 $y$ 的积分限，即确定区域 $D$ 的 $X$ 型表达式. 如果区域是图 7-12 所示 $x$ 区域，在区域 $[a, b]$ 上任意取定一点 $x$ ，并过此点做一条平行于 $y$ 轴的直线， 顺着 $y$ 轴正向的方向看去，直线与边界曲线的第一个交点的纵坐标 $\varphi_1(x)$ 就是积分 的下限，第二个交点的纵坐标 $\varphi_2(x)$ 是积分的上限，这个关于变量 $y$ 的积分计算 的结果是 $x$ 的函数，再对变量 $x$ 在区间 $[a, b]$ 上做定积分即可.
式 (3) 对 $f(x, y)<0$ 也成立.

### 积分区域训练
在二重积分里，对积分区域进行训练是考试重点，下面将介绍如何写出积分区域。

`例` 将下列区域 (见图 7-11) 写成 $X$ 型区域的表达式.
  
解 (1) 三角形斜边的方程为 $y=\frac{b}{r} x$ ，故区域的 $X$ 型表达式为

$$
\left\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq \frac{b}{a} x, 0 \leq x \leq a\right\} .
$$

> **想象你骑着高头大马，手里拿着旗杆，沿着X轴走从左往右走，此时$x$的取值为$[0,a]$ 而旗杆和图形边界有交点，因此y取值为$[0 \leq y \leq \frac{b}{a} x]$**

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123111fb002.png){width=400px}

$$
\text { （2）抛物线的方程为 } y=x^2 \text { ，直线的方程为 } y=x \text { ，故区域的 } X \text { 型表达式为 }
$$

$\left\{(x, y) \mid x^2 \leq y \leq x, 0 \leq x \leq 1\right\} . $

> **想象你骑着高头大马，手里拿着旗杆，沿着X轴走从左往右走，此时$x$的取值为$[0,1]$ 而旗杆和图形边界有交点，在前进过程中，旗杆和 $y=x, y=x^2$ 都具有交点，而$y$ 的取值在$x^2$和$x$之间*

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【数学分析】直角坐标系下二重积分

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