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Y型区域上的二重积分

## Y型区域上的二重积分
设积分区域 $D$ 可以用不等式

$$
\psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y), c \leq y \leq d
$$

来表示（图 7-15），其中函数 $\psi_1(y), \psi_2(y)$ 在区间 $[c, d]$ 上连续，这样的区域称为 $Y$ 型区域，穿过 $D$ 内部且平行于 $x$ 轴的直线与 $D$ 的边界最多相交于两点.
![图片](/uploads/2022-12/image_20221231d2eb894.png)
若 $D$ 是由 $y=c, y=d, x=\psi_1(y), x=\psi_2(y)$ 所围成的 $Y$ 型闭区域，类似于 $X$ 区域上的曲 顶柱体所围体积求法，以 $D$ 为底的，以曲面 $z=f(x, y)(f(x, y)$ 连续且非负) 为顶的曲顶 柱体的体积是一个先对 $y$ 后对 $x$ 的二次积分 (图 7-16)，

$$
\begin{aligned}
& \text { 即 } \iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_c^d Q(y) \mathrm{d} y \\
& =\int_c^d\left[\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x, y) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y=\int_c^d \mathrm{~d} y \int_{\psi_2(y)}^{\psi_1(y)} f(x, y) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221231144181d.png)

`例` 计算二重积分 $\iint_D x y \mathrm{~d} \sigma$, 其中 $D$ 是由抛物线 $y^2=x$ 及直线 $y=x-2$ 所围 成的闭区域.
解 首先求抛物线 $y^2=x$ 及直线 $y=x-2$ 的交点，即解方程组

$$
\left\{\begin{array}{c}
y^2=x \\
y=x-2
\end{array}\right. \text {, }
$$

解得交点坐标为 $(1,-1)$ 和 $(4,2)$.

如图 7-17，变量 $y$ 的取值范围 $[-1,2]$ ， 在区间 $[-1,2]$ 上任意取定一 点 $y$ ，过此点作平行于 $x$ 轴的直线，直 线交于区域边界于两点，这两点的横坐 标分别为 $x=y+2, x=y^2$, 即为二次积 分的上下限，
![图片](/uploads/2022-12/image_202212315426747.png)
故区域 $D$ 写成 $Y$ 型区域表达式为

$$
D=\left\{(x, y) \mid \frac{y^2}{2} \leq x \leq y+2,-1 \leq y \leq 2\right\} \text {, }
$$

故二重积分 $\quad \iint_D x y \mathrm{~d} \sigma=\int_{-1}^2\left[\int_{y^2}^{y+2} x y \mathrm{~d} x\right] \mathrm{d} y=\int_{-1}^2\left[\frac{x^2}{2} y\right]_{y^2}^{y+2} \mathrm{~d} y$

$$
=\frac{1}{2} \int_{-1}^2\left[y(y+2)^2-y^5\right] \mathrm{d} y=\frac{1}{2}\left[\frac{y^4}{4}+\frac{4}{3} y^3+2 y^2-\frac{y^6}{6}\right]_{-1}^2=5 \frac{5}{8}
$$

`例` 计算 $\iint_D \mathrm{e}^{y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D$ 由 $y=x, y=1$ 及 $Y$ 轴所围.
解 画出区域 $D$ 的图形 (图 7-18).
将 $D$ 看成 $X$ 型区域，得

$$
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1, x \leq y \leq 1\},
$$

则二重积分为

$$
\iint_D \mathrm{e}^{y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_x^1 \mathrm{e}^{y^2} \mathrm{~d} y .
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221231617334e.png)

因 $\int \mathrm{e}^{y^2} \mathrm{~d} y$ 的原函数不能用初等函数表示. 所以我们要变换积分次序.
将 $D$ 表示成 $Y$ 型区域，得 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq 1,0 \leq x \leq y\}$ ，
故二重积分 $\iint_D \mathrm{e}^{y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^y \mathrm{e}^{y^2} \mathrm{~d} x=\int_0^1 \mathrm{e}^{y^2} \cdot\left[\left.x\right|_0 ^y\right] \mathrm{d} y$

$$
=\int_0^1 y \mathrm{e}^{y^2} \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \int_0^1 \mathrm{e}^{y^2} \mathrm{~d}\left(y^2\right)=\frac{1}{2}(\mathrm{e}-1) .
$$

由例 12 可以看出，积分的次序选择不同，二重积分计算的难易程度不同，如 何选择积分的次序呢? 这与积分区域的形状和被积函数的特性有关系.
如果一个积分区域 $D$ 既可以写成 $X$ 表达式:

$$
D=\left\{(x, y) \mid \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x), a \leq x \leq b\right\} \text {, }
$$

又可以写成 $Y$ 型表达式:

$$
D=\left\{(x, y) \mid \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y), c \leq y \leq d\right\} \text {, }
$$

则有下列交换次序公式成立.

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_a^b \mathrm{~d} \int_{q_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y=\int_c^d \mathrm{~d} y \int_{\psi_2(y)}^{\psi_1(y)} f(x, y) \mathrm{d} x
$$

`例`交换二次积分 $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{x^2}^x f(x, y) \mathrm{d} y$ 的积分次序.
解 这是先对 $y$ 后对 $x$ 的二次积分，对应着 $D$ 的 $X$ 型区域（见图 7-19)
为 $D=\left\{(x, y) \mid x^2 \leq y \leq x, 0 \leq x \leq 1\right\}$,
可改写为 $Y$ 型区域，即

$$
D=\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq 1, y \leq x \leq \sqrt{y}\},
$$

所以 $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{x^2}^x f(x, y) \mathrm{d} y=\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_y^{\sqrt{y}} f(x, y) \mathrm{d} x$.
![图片](/uploads/2022-12/image_20221231a2007c3.png)

`例`交换二次积分

$$
\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^x f(x, y) \mathrm{d} y+\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_0^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y \text { 的积分顺序. }
$$

解 设积分区域 $D=D_1+D_2$ ， 其中 $D_1$
由直线 $y=0, y=x, x=1$ 所围成， $D_2$ 由 直
线 $y=0, y=2-x, x=1$ 所围成，由 $D_1, D_2$ 的
边界曲线画出 $D$ 的区域如图 7-20 所示.
![图片](/uploads/2022-12/image_2022123105c2639.png)
把区域 $D$ 改写为 $Y$ 型表达式，即

$$
D=\{(x, y) \mid y \leq x \leq 2-y, 0 \leq y \leq 1\} ，
$$

于是 $\quad \int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^x f(x, y) \mathrm{d} y+\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_0^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y=\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_y^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$

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