最后更新: 2024-10-07 09:22 查看: 503 次反馈同步训练

二重积分换元法

## 二重积分换元法
二重积分从直角坐标系形式变换成极坐标系形式:

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_D f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta ，
$$

这里， $\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array}\right.$ 可以看作是 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(r, \theta) \\ y=\psi(r, \theta)\end{array}\right.$ 的一种特例， 对于一般的变换 $\left\{\begin{array}{l}x=x(u, v) \\ y=y(u, v)^{\prime}\end{array} \quad (x, y)\right. \rightarrow(u, v) ，$
二重积分的形式如何呢?
我们不加证明的给出下面的结论:
定理2 设函数 $f(x, y)$ 在 $x O y$ 平面内的闭区域 $D$ 上连续，变换 $\left\{\begin{array}{l}x=x(u, v) \\ y=y(u, v)\end{array}\right.$ 将
$u O v$ 平面内的闭区域 $D^{\prime}$ 变换成 $x O y$ 平面内的闭区域 $D$ ，且满足
(1) $x(u, v) 、 y(u, v)$ 在 $D^{\prime}$ 上具有一阶连续偏导数;
(2) 在 $D^{\prime}$ 上 $J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} \neq 0$ ；
(3) 变换 $\left\{\begin{array}{l}x=x(u, v) \\ y=y(u, v)\end{array}: D^{\prime} \rightarrow D\right.$ 是一对一的，则有

$$
\boxed{
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}} f(x(u, v), y(u, v))|J(u,v)| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v
}
$$
此式也称为二重积分换元公式.

特别地，取 $\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta^{\prime}\end{array}\right.$ 则 $J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}=\left|\begin{array}{rr}\cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta\end{array}\right|=r$ ，
因此

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta .
$$

取广义极坐标 $\left\{\begin{array}{l}x=a r \cos \theta \\ y=b r \sin \theta\end{array}, \quad J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}=\left|\begin{array}{cc}a \cos \theta & -a r \sin \theta \\ b \sin \theta & b r \cos \theta\end{array}\right|=a b r \right.$
因此

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_{D^{\prime}} f(a r \cos \theta, b r \sin \theta) a b r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta,
$$

## 例题
`例`计算二重积分 $\iint_D \mathrm{e}^{\frac{y-x}{y+x}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $D$ 由 $x=0 ， y=0 ， x+y=2$ 所围 成.
解 作 $\left\{\begin{array}{l}u=y-x \\ v=y+x\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{v-u}{2} \\ y=\frac{v+u}{2}\end{array}, \quad J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right|=-\frac{1}{2} \neq 0\right.$ ，
于是 $D^{\prime}=\{(u, v) \mid-v \leq u \leq v, 0 \leq v \leq 2\}$ ，
因此
$\iint_D \mathrm{e}^{\frac{y-x}{y+x}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}} \mathrm{e}^{\frac{u}{v}} \frac{1}{2} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=\frac{1}{2} \int_0^2 \mathrm{~d} v \int_{-v}^v \mathrm{e}^{\frac{u}{v}} \mathrm{~d} u=\frac{1}{2} \int_0^2\left(\mathrm{e}-\frac{1}{\mathrm{e}}\right) v \mathrm{~d} v=\mathrm{e}-\frac{1}{\mathrm{e}}$.

`例` 求由直线 $x+y=c 、 x+y=d 、 y=a x 、 y=b x(0<a<b, 0<c<d)$ 所 围成的闭区域 $D$ 的面积.
解 作 $\left\{\begin{array}{c}u=x+y \\ v=\frac{y}{x}\end{array} ， J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{1+v} & -\frac{u}{(1+v)^2} \\ \frac{v}{1+v} & \frac{u}{(1+v)^2}\end{array}\right|=\frac{u}{(1+v)^2} \neq 0\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：极坐标系下二重积分的计算

下一篇：曲面的面积

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)